一個需要完善的經典反例

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

一個需要完善的經典反例

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

一、棱柱定義與經典反例

文1中提到了棱柱概念的進化并提供了一個典型反例，筆者覺得這個反例值得商榷，有必要做進一步完善.

先看一下人教版教材《必修2》1.1.1節中對棱柱下的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.而作為一線教師，一定會同時給出一個辨析題：能否把棱柱定義為“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”.

絕大多數同學會認為可以，當然也有一部分同學覺得不可以，但理由會說：“如果可以這樣簡潔地定義，那教材為何還要這么啰嗦地下定義呢？”這顯然不是數學方面的理由，而是邏輯上的理由.其實，要否定它，只要一個反例就可以了，但要讓學生自己去獨立思考，可能會很難想到.因此，教師就會給出像文1中一樣的一個經典反例，如圖1.

圖1

二、對反例的詰問

首先來看多面體的定義，以人教2004年版教材為例，多面體定義為“由若干個平面多邊形圍成的空間圖形”，并對多面體進行分類，“把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體”，而另一類便是凹多面體.

接著來看圖1這個反例，它雖然是辨析題中那個定義的反例，但顯然這個反例是凹多面體的.筆者以前在上《棱柱》這節課時，也是舉這個經典反例的，可在最近一次上這節課時，有學生一下課就來追問：“老師，棱柱是多面體，而多面體有凹、凸之分，可剛才給出的反例是一個凹多面體，那在凸多面體中有沒有反例呢？如果沒有，則辨析題那個定義中的多面體只要改成凸多面體不就正確了”.最后該生又加了一句話：“反正老師您給出的這個反例不能讓我信服！”

面對學生的詰問，筆者也思索起來，覺得學生說得很有道理.這么說，以前我們舉的經典反例是有問題的，那只不過是凹多面體中的一個反例，還缺少凸多面體中的反例.筆者一方面為學生有這樣的批判性思維而高興，另一方面自己也陷入了深思.

三、數學史上的棱柱定義

回頭再看一看在數學歷史發展過程中對棱柱下的定義.

早在古希臘數學家歐幾里得（約公元前330-275）著的《幾何原本》中，在其第Ⅺ卷有這樣一個定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形.”［2］這個定義不就是辨析題中的說法嗎？由此可見，棱柱的這種錯誤定義來源于影響了2000多年的《幾何原本》.古希臘先賢也犯了錯，難怪現在的學生會重蹈覆轍.這也進一步印證了“歷史發生原理”：學生對數學概念的理解過程與數學概念的歷史發展過程具有一定的相似性，歷史上數學家所遭遇的困難正是學生所經歷的障礙.［3］

由于《幾何原本》是經典幾何中的“圣經”，故沒有數學家對棱柱定義提出懷疑，即使到了二十世紀初依舊如此.在1906年，數學家Failor對棱柱重新下了定義：棱柱是兩個面為全等且平行的多邊形，其他面為平行四邊形的多面體.在1913年，數學家Smith也把棱柱定義為：有兩個面為平行平面上的全等多邊形，其他面均為平行四邊形的多面體.顯然，這兩個定義還是《幾何原本》中棱柱定義的翻版，只是描述得簡潔一點而已，并無本質區別.這說明該定義的反例是很難找的，否則在歷經2000多年的歷史長河中，到了上世紀初竟還無一位數學家提出修正，所以學生想不到反例也很正常.

四、完善反例并制作模型

由于平時舉的這個反例是屬于凹多面體的，故需要再舉一個凸多面體的反例，這樣才完整.當然，也不必重起爐灶，只要在原有反例的基礎上進行完善，把它變成凸多面體就可以了.

1.用“補形”方法來完善

原有的反例是凹的，那只要在凹進去的地方補上一個多面體，使之變成凸的不就行了，當然側面還是要保證平行四邊形的.為了更一般化，原來反例中的上、下底面可改成一般的四邊形，然后為了美觀，還可再“補形”，使上、下底面為平行四邊形，最后就得一個很漂亮的凸多面體反例.具體的“補形”過程見圖2.

2.用“切割”方法來制作

凸多面體的反例是在原有凹多面體反例的基礎上通過“補形”方法得來的，但在給學生說明時，還不太好辦，因為這個反例不容易畫.所以，最好能制作一個模型，直接給學生看，這樣就很有說服力了.

但要憑空制作這個反例的模型也有點困難，于是就聯想到立體幾何中常用的“切割”方法.由于反例有十二個面，取上、下相對的兩個有四條棱的頂點，則發現該頂點可看成一個四棱錐的頂點，即有4個側面，這樣上下就有8個側面，再加上中間四個面，就構成十二個面了.如此一來，就很自然地想到正八面體，然后取各條棱的中點，再把各中點相連就形成了圖2中的凸多面體反例.具體“切割”過程如圖3，最后再旋轉一下觀看，就誕生了一個完美的凸多面體反例模型，如圖4.

圖2

圖3

圖4

五、結束語

至此，針對棱柱錯誤定義的反例就完善了，從而讓學生更加明白了教材中對棱柱所下定義的正確性.由于流傳了2000多年的《幾何原本》中對棱柱下的錯誤定義，從而導致了學生對棱柱定義的誤解也屬正常，因為歷史上這么多大數學家都認為《幾何原本》中的棱柱定義是正確的，更何況學生.而教師舉的反例也不應只局限于凹多面體的，還要補充凸多面體的反例才完整.希望本文完善的反例能給一線教師在教學上帶來方便.

1.馮耀斌.HPM視角下高中數學若干“核心概念”的回歸［J］.中學數學（上），2014（3）.

2.歐幾里得，箸.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

3.汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史［M］.北京：科學出版社，2002.FH