基于能力立意的高考命題研究
——數(shù)學高考復習教學設計的視角

☉淮北師范大學數(shù)學科學學院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

基于能力立意的高考命題研究
——數(shù)學高考復習教學設計的視角

☉淮北師范大學數(shù)學科學學院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

一、試題能力立意的內(nèi)涵

試題的命制過程，包括立意、情境、設問三個方面，立意體現(xiàn)試題的主觀考查目的（目標），情境是支持與實現(xiàn)主觀立意的材料和介質(zhì)（即立意的載體），設問是試題的呈現(xiàn)形式.立意是數(shù)學高考命題者對數(shù)學知識教育價值的理解，高校各不同專業(yè)的學生對數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想的不同層次的要求等，在命題者的觀念中的反映；情境是體現(xiàn)立意需要考查的知識、方法、思想所選擇出來的載體；設問是需要學生通過行動解決的問題.

以能力立意命題，首先要確定數(shù)學試題的能力考查目標.根據(jù)能力考查的要求，選擇適宜的數(shù)學內(nèi)容，根據(jù)能力要求和知識內(nèi)容選定試題表述（呈現(xiàn)）形式，立意是宗旨.情境與設問必須要體現(xiàn)能力立意的宗旨，服務于能力考查的立意.以能力立意的命題，首先在命題理念上要體現(xiàn)從學習能力測試來評價學生.

數(shù)學高考命題的能力立意，要在試卷框架結(jié)構(gòu)上突出全面的能力因素、多元化的能力層次結(jié)構(gòu)和合理的難度分布.在命題構(gòu)思上要堅持用數(shù)學基本方法解決數(shù)學問題，強化能力點的設計，淡化煩瑣的運算和冗長的邏輯推理.在試卷設計上要突出創(chuàng)新題型，開發(fā)、拓展已有題型的功能，發(fā)揮各種題型的組合功能.本文就高考復習教學設計的視角，探究在新課程背景下，高考命題能力立意的現(xiàn)實情況與實現(xiàn)手段.

二、試題能力立意的特點

由于數(shù)學新課程的實施、新理念的引入，教學對象——學生的基本素質(zhì)發(fā)生了變化，主要數(shù)學教育教學目標已經(jīng)發(fā)生了變化，人們對新課標的理解也在實踐與理論的探索中不斷地加深.在數(shù)學教育教學目標中，利用數(shù)學資源實現(xiàn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的要求在提高，數(shù)學高考命題也呈現(xiàn)出新氣象，具體體現(xiàn)在如下幾種特點.

1.數(shù)式處理能力

雖然近幾年高考命題都力求壓縮計算的長度，但是作為數(shù)學知識總是繞不開計算的.運算能力的展開基于以下幾個方面：算理、算法、數(shù)式處理.算理是指在把握問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，從格局上合理布置運算的各個環(huán)節(jié)，使運算承上啟下、有條不紊和結(jié)構(gòu)緊湊，便于運算過程的自然展開；算法是一個將需要引入的運算法則、定理、公式組織成一個緊湊的系統(tǒng)，形成運算的一套程序；數(shù)式處理是指相關(guān)數(shù)的混合運算、式的變形等實際操作過程.

算理、算法與數(shù)式處理組成了運算結(jié)構(gòu)的等級層次性，我們將整個運算過程比喻成動工建造一座大廈，其圖紙的設計制作猶如算理，采購尋找材料有如算法，砌墻架梁有如數(shù)式處理.因此，算理對算法與數(shù)式處理具有指導作用，算法是算理對具體的數(shù)式處理發(fā)揮指導作用的中介與橋梁，具體的數(shù)式處理則是算理與算法的體現(xiàn).

運算能力體現(xiàn)在高考命題中具有相對隱蔽性，在命題者的立意中，往往體現(xiàn)得非常明確，但是在命題設計的情境、命題的設問中，都不會明確地提出來.因此，這種能力的實現(xiàn)，需要考生自己具有相應的素質(zhì)，也是數(shù)學新課程教學與高考復習時，教師要注意的問題.請看下面的例子.

例1（2012年高考新課標卷理科壓軸題）已知函數(shù)f（x）滿足

（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；

分析：對于問題（Ⅰ），依據(jù)題設，能夠得到f（x）=ex-

研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當然需要借助導數(shù)來處理. f′（x）=ex+x-1.當x=0時，f′（x）=0；當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0.于是函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)；在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù).

對于問題（Ⅱ），把③代入②，化簡，得不等式ex-（a+ 1）x-b≥0④.我們想由不等式④構(gòu)造出（a+1）b的表達式，可以將④寫成ex≥（a+1）x+b⑤，具有兩種途徑：將不等式⑤的左右兩邊平方，或者審視⑤的右邊，利用基本不等式，都可以達到目的，可惜，雖然能夠構(gòu)造出（a+ 1）b的表達式，但是后面的思路受阻，這種想法得不到執(zhí)行.此時，我們又產(chǎn)生了一種想法，可否直接構(gòu)造（a+1）b的一種表達式？由不等式④，知b≤ex-（a+1）x⑥，考慮將不等式⑥兩邊都乘以a+1，這需要進行區(qū)別對待.

（1）當a+1＞0時，則（a+1）b≤（a+1）ex-（a+1）2x.設g（x）=（a+1）ex-（a+1）2x.令g′（x）=（a+1）ex-（a+1）2=0，由于a+1＞0，則ex-（a+1）=0?x=ln（a+1）.當x∈（-∞，ln（a+1））時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當x∈（ln（a+1），+∞）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增.

故函數(shù)g（x）有最小值g（ln（a+1））=（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）.所以不等式④等價于（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）⑦.于是只要獲得不等式⑦的右邊的最大值就行了.設h（t）=t2-t2lnt（t＞0）.令h′（t）=2t-2tlnt-t=t-2tlnt=t（1-2lnt） =0，得t=0（舍去）或）時，函數(shù)h（t）單調(diào)

（2）當a+1≤0時，請讀者自己驗證，此時都不能保證不等式⑥恒成立.

本例的問題（Ⅰ）難度不大，只要列出相關(guān)的方程就可以解決了.對于問題（Ⅱ），有許多手段可構(gòu)造出（a+1）b的表達式，但是從不等式⑤中間接產(chǎn)生的不等式都難以達到目的，我們只得直接從不等式⑥中構(gòu)造出（a+1）b的表達式，此時，對a+1的正負判斷也就水到渠成了.于是，構(gòu)造所需要的目標式，使問題得以解決.

事實上，我們在聽課時，老師并沒有給出從不等式④，到不等式⑤，再到不等式⑥的一系列構(gòu)造過程，而是直接針對不等式④設g（x）=ex-（a+1）x，求導數(shù)，再對a+1分正數(shù)與非正數(shù)加以討論.為什么要構(gòu)造函數(shù)g（x）與求導？為什么要對a+1分這些情況進行討論？對學生而言，這些活動環(huán)節(jié)的取得都似乎是教師在變魔術(shù)，學生的心理是難以理解和承受的，學生可能要懷疑自己的智力是否低下，否則，為什么不能產(chǎn)生像老師講題時的那種奇思妙想呢？這些都是算理上要解決的問題.

2.邏輯思維能力

數(shù)學玩的是邏輯、關(guān)系與模式.從某種意義上說，數(shù)學是邏輯的代名詞.盡管對邏輯思維具有各種不同的認識，但是，邏輯過程要求褪盡鉛華，洗去塵滓，純而又純，簡練到一塵不染［1］.邏輯是表達思想、說服他人最為有力的手段.但是從數(shù)學解題教學設計的視角上看，必須將這種邏輯的表達過程轉(zhuǎn)化為滿足學生發(fā)生數(shù)學認識的心理活動過程，這是教師需要努力的關(guān)鍵之處.

例2（2012年高考湖北理科第22題）（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x＞0），其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；

（Ⅱ）使用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：

設a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則≤a1b1+a2b2①；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的結(jié)論.

注：當α為正有數(shù)時，其求導公式為（xα）′=αxα-1.

分析：對于問題（Ⅰ），直接利用導數(shù)求函數(shù)f（x）的最小值就行了.f′（x）=r-rxr-1=r（1-xr-1）.令f′（x）=0，知x=1.當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當x＞1時，f（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù).故函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0.

對于問題（Ⅱ），由（Ⅰ）的結(jié)論知f（x）≥f（1）=0，即rx-xr+（1-r）≥0，即xr≤rx+（1-r）②.如何將a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，b1+b2=1等條件應用到不等式②中去？注意到不等式②，知只要證明不等式中的相關(guān)事實：r+（1-r）=1，對應于b1+b2=1，可設b1=r，則b2=1-r.現(xiàn)在主要問題是如何給x賦值.我們不能直接構(gòu)造出不等式①的左端，它可以寫③，不等式①的右端為a1b1+④.關(guān)聯(lián)③、④、⑤成立就行了.取此時滿足a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數(shù)，代入不等式①，知不等式⑤成立，化簡，知≤a1b1+a（21-b1），即≤a1b1+a2b2①.

本題中將不等式①構(gòu)造成適合不等式②的形式，不是直接的，關(guān)鍵在于我們將不等式①轉(zhuǎn)換成可以適合不等式②的一種形式，這種解法就是：利用b1+b2=1這個等式減少變元的個數(shù).

對于問題（Ⅲ），（Ⅱ）中的命題推廣的形式為：設a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1、b2、…、bn為正有理數(shù)，若b1+b2+…bn=1，則a1b1+a2b2+…+anbn⑥.現(xiàn)在用數(shù)學歸納法證明如下.

（1）當n=1時，b1=1，此時a1≤a1成立，即不等式⑥成立.

（2）假設當n=k時，不等式⑥成立，即若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1、b2、…、bk為正有理數(shù)，b1+b2+…+bk=1，則…·≤a1b1+a2b2+…+akbk.當n=k+1時，若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，ak+1≥0，b1、b2、…、bk、bk+1為正有理數(shù)，b1+b2+…+bk+bk+1= 1，則0＜bk+1＜1，1-bk+1＞0⑦，從而⑧.基于⑦、⑧，我們就是如此引導學生從，由歸納假設，知（1-bk+1）+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故當n=k+1時，不等式⑥成立.

由（1）、（2）知：對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立.

說明：問題（Ⅱ）的解決中，不等式⑤的獲得只是要構(gòu)造已經(jīng)取得的不等式②，這一點對學生來說是比較好理解的.關(guān)鍵問題在于問題（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就給人以神來之筆的感覺，教學中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就應該是仔細研究不等式⑧在學生心理上是如何發(fā)生的.事實上，在實際教學中，學生向老師追問不等式⑧是怎樣想到的，這是教師在解題教學設計中必須要仔細考慮的，否則，在學生的思想中就會產(chǎn)生如波利亞所說的“從帽子里變出兔子”的感覺.

教學設計的修改：本例問題（Ⅲ）中的不等式⑧，構(gòu)成了教師解決這道題的教學設計的關(guān)鍵環(huán)節(jié).處理它的方法之一，就是審視問題的整體結(jié)構(gòu)，在數(shù)學歸納法的“遞推步”中，如何處理題，我們想運用（Ⅱ）的結(jié)論不等式①這一知識框架來套用它，結(jié)合歸納條件，將式⑨寫成式⑩括號內(nèi)的看成一個因式，即不等式①中的a就是不等式①中的ab22.由于b1+b2=1，因此，我們首賦予一個指數(shù)1-bk+1，從而構(gòu)成bk+1+（1-bk+1） =1，于是根據(jù)冪的乘方法則，知心理上構(gòu)造出了等式⑧，如此，就將⑩轉(zhuǎn)化成了等式⑧的右端，它就適應了知識框架不等式①.

我們通過對式⑩的結(jié)構(gòu)分析，靈活地使用了框架不等式①，即將式⑩化歸成不等式①，就必然要構(gòu)造出運用不等式①的重要條件b1+b2=1.在此觀念的指導下行動，進行了一系列的構(gòu)造，完成了從解題過程中數(shù)學知識的邏輯性的發(fā)生，到學生數(shù)學知識心理過程的發(fā)生.

3.空間想象能力

培養(yǎng)學生的空間形象能力是立體幾何的真正價值之所在.在高考命題時，力爭鼓勵學生從具體、直觀的立體幾何圖形中，由自己依據(jù)問題的目標，操作作圖；依據(jù)圖形的主要特點，經(jīng)由觀察、辨別、選擇合適的材料，構(gòu)建決定問題結(jié)構(gòu)的輪廓；經(jīng)過類比、比較、試探等手段，使得聯(lián)想與想象的材料（線、面、體）進入問題的情境，將圖形已經(jīng)具有的特點構(gòu)成穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，這種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)是對圖形的深層次的把握.

例3（2009年高考安徽卷理科第19題）如圖1，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

圖1

（Ⅰ）求二面角B-AF-D的大小；

（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

在命題時，沒有畫出四棱錐E-ABCD的用意，不只是害怕學生在解決問題（Ⅰ）時，圖形中所出現(xiàn)的錯綜復雜的線條對學生造成干擾，更重要的是體現(xiàn)我們上述所論述的數(shù)學課程目標，引導教師在課程實施中如何實現(xiàn)數(shù)學課程目標.學生在尋找這道題的思路時，操作圖形時，便繞不過從圖2到圖3，再到圖4這一整套過程.

圖2

圖3

圖4

考生比較容易畫出圖2，在圖2中確定四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分不是一件容易的事兒，他們必須首先確定圖形的遮掩，分別用實線與虛線加以區(qū)別；然后判斷圖形中線與線之間可能產(chǎn)生的交點，此時，一定會有學生產(chǎn)生圖3形式的錯誤，誤認為P、Q、S、R皆是所得到的線與線之間的交點，考生必須要從這種混亂的觀念中突破出來，否則，就不可能得到正確的問題解答思路.

此時，直觀感知就不能給我們以更多的幫助了，解題者必須要經(jīng)由自己的想象能力與聯(lián)想能力的介入，才能去偽存真，排除掉魚目混珠的假交點.事實上，由于底邊四邊形是菱形，我們知道，面ADE與面ABE、面CDF與面BAF都是關(guān)于面AEFC鏡面對稱，稍作想象，我們就可以直觀地看出，面CDE與面CDF的相交線是CD，于是點S不是直線CE與直線DF的交點，同理可知點P不是直線DE與直線AF的交點，點Q不是直線BE與直線AF的交點；只有點R是直線AF與直線CE的交點.

我們命題的意旨就是促成考生經(jīng)過如此的一系列探究，方能作出判斷與選擇，在所作的四棱錐E-ABCD中，最終確定了只有直線AF與直線CE相較于點R，于是，便能夠迅速地知道面CDE與面ADF相交于直線RD，面BCE與面ABF相交于直線RB，如此，四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐R-ABCD，余下的只是求其體積就行了.

從設想與預計考生的解答思路中，我們發(fā)現(xiàn)，決定問題最終結(jié)論的計算只是一個簡單的平面圖形圖5，這就化歸到了數(shù)學基本知識的要求.然而解決問題的整個過程中探究活動的展開，基本圖形圖5的提取，由我們的分析知道，深刻地體現(xiàn)了數(shù)學新課程所設定的數(shù)學教育一系列的課程目標.命制這道高考數(shù)學題的創(chuàng)新之處正在于在所給定的題圖中不作出四棱錐E-ABCD，考生必須經(jīng)過操作、猜想、想象、比較、辨別、選擇等智力投入，形成千回百轉(zhuǎn)的思想活動，才能獲得解決問題的思路.如此實現(xiàn)了新課程理念：實踐與應用，并且難度也控制得非常成功，誘導考生充分發(fā)揮現(xiàn)實問題與數(shù)學問題相互交替的作用，有效地考查學生的空間想象能力.

4.創(chuàng)新能力

在有意無意中，高考數(shù)學命題被當成了實施數(shù)學課程的“指揮棒”，這是人人都不否認的，它反過來作用于數(shù)學課程目標與數(shù)學教育教學目標.因此，出現(xiàn)在高考數(shù)學真卷上的試題，就不僅僅只具有選拔功能的一面，更為重要的是它從反方向上制約著數(shù)學課程實施中數(shù)學教育教學目標的達成及其實現(xiàn)程度.因此，考查創(chuàng)新能力的命題也就因之而出了.

例4（2012年高考江西理科第21題）若函數(shù)h（x）滿足：（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）對任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；（3）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，則稱函數(shù)h（x）為補函數(shù).已知函數(shù)

圖5

（Ⅰ）判斷函數(shù)h（x）是否為補函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

（Ⅱ）若存在m∈［0，1］，使h（m）=m，稱m是函數(shù)h（x）的中介元.記時h（x）的中介元為xn，且Sn=若對任意的n∈N*，都有，求λ的取值范圍；

（Ⅲ）當λ=0，x∈［0，1］時，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

分析：對于問題（Ⅰ），只要依照補函數(shù)的定義一項一項地驗證就行了.由補函數(shù)的定義，知（λ＞-1，p＞0）是補函數(shù).

對于問題（Ⅲ），當λ=0時，由問題（Ⅱ）的解答，知函數(shù)h（x）的中介元為.（ⅰ）若0＜p≤1，知所以對中介元xp而言，而y=1-，則函數(shù)y=h（x）的圖像不總在直線y=1-x的上方.（ⅱ）當p＞1時，依據(jù)題意只須在x∈（0，1）時恒成立，化簡成xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）時恒成立.設k（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），則k′（x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.由 k′（x）=0，知時，k′（x）＜0；當x∈時，k′（x）＞0.又因為k（0）=k（1）=1，所以在x∈（0，1）時，k（x）＜1.

綜合（ⅰ）、（ⅱ），知p的取值范圍為（1，+∞）.

本例通過定義“補函數(shù)”與“中介元”，以此為基礎(chǔ)，形成了兩個方面的創(chuàng)新：其一，命題的創(chuàng)新，這些雖然是在命題者的要求下所進行的研究活動，而不是學生自發(fā)地進行研究的過程中自己產(chǎn)生的相關(guān)的觀念與思想，但是，也能使得考生真正感受像數(shù)學家一樣地理解數(shù)學、研究數(shù)學、為解決數(shù)學問題而開拓材料、方法等一整套的過程；其二，解題的創(chuàng)新，例如，由“中介元”的定義，生成了一個等比數(shù)列，“中介元”又是解決問題（Ⅲ）的必備條件，解題的創(chuàng)新在這一系列的過程中展示出來了.

三、試題能力立意的啟示

在高考命題從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變時，有部分教師認為：學生最薄弱的環(huán)節(jié)是閱讀理解能力比較差，影響了審題，乃至邏輯推理、運算等能力的發(fā)揮.其實不然，能力的考查中滲透著抽象、概括、數(shù)學聯(lián)結(jié)、數(shù)學交流等方面的能力，交織著對社會生活的體驗程度，對學習數(shù)學的情感、態(tài)度和價值觀的體悟，所有這些方面的實踐，現(xiàn)在都得到相應的強調(diào)（如同學生的運算能力差，是否都可以歸結(jié)為粗心大意的原因呢？），問題也暴露了，但是在理論上還沒有找到真正的原因.［2］

我們知道，客觀上可以如此說：高考是教學的指揮棒.希望在轉(zhuǎn)變教育觀念、更新評價理念和調(diào)整課程內(nèi)容的變革中，使中學數(shù)學教學有所突破，使學生的數(shù)學素養(yǎng)更上一個臺階.高考命題的能力立意正在走向深入，我們將竭盡全力，去實踐能力立意的命題使命.我們相信高考命題全面落實能力立意之時，必將是研究性學習和創(chuàng)新教學產(chǎn)生良性互動作用、一代新人的數(shù)學素養(yǎng)全面提高之日.

1.張昆.滲透目標觀念駕馭數(shù)學高考［J］.中學數(shù)學（上），2013（6）.

2.陳嘉駒，查建國.高考命題體現(xiàn)能力立意的策略［J］，數(shù)學通報，2003（8）.Y