提煉教學主線，讓數學學習從無痕走向有痕*

☉江蘇省南通市教育科學研究中心 曾榮

提煉教學主線，讓數學學習從無痕走向有痕*

☉江蘇省南通市教育科學研究中心 曾榮

“數學是思維的體操”，學生思維能力的形成、提升，以及數學認知結構的建構過程往往是潛移默化的，是無痕的.然而，正是這種“無痕”，使學生對學習數學產生了畏懼心理.對于思維能力正在不斷提升的中學生來說，教師在教學時，若能將體現思維過程的思維鏈“有痕”地展示給學生，無疑會對學生思維能力的提高起到很大的幫助作用［1］.而要實現這種從無痕到有痕的轉變，教師最有效的方式便是善于提煉教學主線，圍繞主線進行教學.本文結合不同課型，重點介紹課堂教學中如何進行教學主線的提煉.

一、新授課中提煉主線，讓新知自然生成

學生數學能力的提升主要表現為以下三方面：掌握基本的知識技能、形成科學的思想方法、培養探究創新的意識和能力.其中知識技能是從事一切數學活動的源頭活水，學生的知識技能主要是在新授課中開始形成的.在新授課中，教師要善于結合知識的自然生成過程、探究方法的類比遷移提煉主線，引導學生獲取新知.

1.以知識的自然生成過程為主線

“數學認知結構是存在于學生頭腦里的數學知識結構與認識結構有機結合而成的心理結構”［2］.學生頭腦里的數學知識結構是課程教材里的數學知識結構和老師的數學知識結構在學生頭腦里的反映.而教師良好的數學知識結構的呈現則表現為：教師善于整合教材，根據知識的自然生成過程提煉課堂教學主線，并圍繞主線精心設計教學的各個環節，幫助學生整體建構，不斷提升學生的思維能力.以“向量的概念及表示”［3］為例進行說明.

“向量的概念及表示”是一節概念講解課，涉及的基本概念有向量、單位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、共線向量等.這些概念看似零碎，但這些概念都扣緊了大小和方向兩個關鍵詞.教材編寫者在編寫時充分考慮到學生的認知規律和知識間存在的嚴格的邏輯順序.在認知規律方面，整體按“建構模型—研究模型—應用模型”順序，局部按“概念—表示法—概念間的關系”順序編排；在知識編排方面，緊扣向量的兩要素，從大小和方向兩個角度進行研究.從大小角度出發，如向量的模是一個單位，則得出單位向量的概念；如向量的模是零，則得出零向量的概念.從方向角度出發，如兩向量方向相同或相反，則得出平行向量的概念；若平行向量的模相等，則得出相等向量、相反向量的概念.理解了教材編寫者的意圖，我們確定了如下的教學主線（也是教師最后完整地呈現給學生的板書設計）.

圖1

2.以探究方法的類比遷移為主線

新課程強調“自主、合作、探究”，數學新知的獲取正是在探究活動中逐漸生成、廓清和發展的.教師在組織學生進行探究的過程中，應重視類比、歸納、綜合、概括、猜測、預見等探究方法的滲透.教師從學生實際的探究意識和探究能力出發，以探究方法的類比遷移為主線，將有利于學生探究能力的培養.以“拋物線的標準方程”為例進行說明.

學生在學習拋物線的標準方程前，已有了學習橢圓、雙曲線的標準方程及其性質的經驗.這種經驗，不應該僅僅體現在知識層面的類比，更應該體現在探究方法層面的遷移.教師要善于類比遷移原有的探究方法，并用它引領學生學習拋物線的標準方程.這樣做，不僅有利于拋物線的學習，更有利于讓學生進一步感受解析幾何的研究方法，體會數形結合的數學思想.具體的操作流程是這樣的：整體回顧橢圓的研究思路（圖2）—類比確定拋物線的研究思路（圖3）—幾何畫板演示拋物線的生成——建構拋物線的定義—建系推導標準方程—簡單運用標準方程.

圖2

圖3

二、習題課中緊扣主線，讓思維有效提升

習題課教學中，教師精致的教學設計、合理的變式流程、清晰的方法比較、精當的總結提升，將有效地提高學生的數學解題能力和思維能力.為此，在新授課中，教師要善于將變式的生成過程、方法的比較提煉作為教學主線，組織學生開展對習題的研究.

1.以變式的生成過程為主線

習題課教學中經常需要對問題進行變式，變式教學是數學教學中常用的一種手段.合理地進行變式教學，不但可以鞏固雙基，還可以提高學生的數學思維能力.通過不斷地把題目的條件和結論適當改變得出新題目，可使學生時時處在一種愉快的探索知識的狀態中，從而充分調動學生的積極性，啟發學生的思維，提高學生的解題能力和探索能力.教師的這種變式訓練，應重視思維層次的不斷提升，演變要體現出思維變化的過程.筆者在執教“由數列遞推關系求通項公式”［4］時，對問題變式設計了如下教學主線：在數列｛an｝中，已知a1=2，試結合下列遞推關系求通項公式.

圖4

通過這一教學主線，將變式演變的思維過程層層深入地展示在學生面前，同時自然地將各種題型概括給學生，學生在豐富的變化中掌握了方法，訓練了思維，提高了能力.

2.以方法的比較提煉為主線

解題教學時，常常需要進行一題多解訓練.這種一題多解教學，不能簡單地停留在方法的堆積層面，要善于進行方法的比較.通過比較，理解每種方法的出發點，發現各種方法的優劣、方法之間的內在聯系，從而達到一題多解、多解歸一的目的.筆者在執教“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”時，以方法的比較提煉作為教學主線，取得了較好的效果.

例題已知直線l：x-y+m=0和圓x2+y2=1，求實數m的取值范圍，使得直線和圓分別有兩個、一個、零個交點.

對于以上例題，筆者在教學時讓學生分別從形和數兩個角度進行求解，并在學生交流總結的基礎上，引導學生用如下的流程圖（圖5、6）進行提煉.通過兩種方法的比較，讓學生體驗數與形的關系，感悟數形結合思想的重要性.在比較提煉的基礎上，再將數與形的關系用圖7表示出來.有了這樣的理性思考，后續的研究也就水到渠成了.

圖5

圖6

圖7

三、復習課中狠抓主線，讓知識有效建構

定期有效的復習，對于幫助學生建構知識網絡、提升思維品質，有著極其重要的作用.在復習課中，教師要善于將知識建構的螺旋上升、理性思維的升華發展作為教學主線，組織學生復習、梳理.

1.以知識建構的螺旋上升為主線

數學知識具有極強的系統性，講究思維的連貫性和延續性.現行各種版本的數學教材都非常注重知識的演繹過程.為此，編者在編寫教材時，通常按照一定的主線層層推進，或注意知識的銜接，前后呼應，螺旋上升.筆者在執教高三復習課“平面向量及空間向量”［1］時，根據知識建構的螺旋上升線索設計了如下主線.

圖8

2.以理性思維的升華發展為主線

通過復習課，教師要幫助學生達到融會貫通的目的.而這種融會貫通，除了解題能力得到提高以外，更重要的是學生對數學本質的認識能力不斷增強.所以教師要善于以理性思維的升華發展為主線組織教學.在進行“函數與方程思想在三角函數中的應用”的教學時.為了讓學生明白該課題的研究背景，筆者設計了如下問題.

問題1：試研究三角函數與一般函數的關系.

（2）個性：___________________________________.

為了讓學生更感性地認識三角函數與一般函數的關系，筆者設計了如下問題.

問題2：利用函數的觀點認識誘導公式.

以上兩個問題使學生從理性層面充分認識到三角函數與一般函數的關系，使“函數與方程思想在三角函數中的應用”成為可能.接下來再研究具體的數學問題便順理成章了.

四、試卷講評課中明晰主線，讓評講有序開展

試卷講評課由于受試卷類型、學生答題情況、試卷難易程度等多種因素限制，所以講解的方式往往較多樣，下面介紹三種常用方式.

1.以知識點的分類為主線

如果試卷是單元測試類試卷，知識點較集中、聯系較密切，那么教師在講解時可以所考查的知識點的分類為主線進行講評.教師可以將單元所學內容根據知識體系進行分類，以表格的形式進行展示，然后將試卷中的試題對號入座，對于同一類題可以選擇具有代表性的進行講解，對于具有一定綜合性的題可以放在最后講解，達到融會貫通的目的.

2.以學生的錯誤分類為主線

如果學生答題情況比較理想，錯誤率不高，教師可以對學生的錯誤進行分類，選擇具有代表性的錯誤進行講解.當然，這種以學生的錯誤為主線的講解方式不能停留在錯誤本身，要對問題進行挖掘、變式，使學生明白錯誤原因，徹底糾正錯誤.

3.以數學思維提升為主線

試卷中的試題難易程度不同，學生答題情況也各不相同，為了幫助學生通過試卷講評達到優化解題思路、規范解題過程、突破重點和難點的目的，我們可以數學思維提升為主線組織教學.具體可以分為以下三步.

（1）會而要優，提高效率.試卷中正確率較高的題并非完全沒有講解的價值，對于這些題重在講解最優化的解題方法，幫助學生提高效率.

（2）會而要全，嚴密規范.對于那些學生思路較清晰的題，除了要幫助學生找到最優化的解法，還要注意展示嚴密、規范的解題過程，幫助學生完整周全地進行解答.

（3）善于挖掘，巧找切口.試卷講解的重點當然是那些學生思維受阻的題，對于這類題，不能簡單地展示解題過程，關鍵在于幫助學生尋找癥結所在，找到解決問題的切口.

“教學過程是一個系統，要求在整體感知教材，理解教材的過程中，盡快找到解決某一類問題的方法和規律，做到舉一反三，提高學習效率”［5］.緊扣主線進行教學，有利于學生整體建構，提高教學質量.

1.曾榮.展示“有痕”的思維鏈——例談數學教學的板書設計［J］.中學數學月刊，2009（1）.

2.涂榮豹.數學教學認識論［M］.南京：南京師范大學出版社，2003.

3.曾榮.深挖教材提煉主線精心設計不斷提升——《向量的概念及表示》教學設計評析［J］.考試·數學版，2010（3-4）.

4.曾榮.回歸高三數學復習的基點——以“由數列的遞推關系求通項公式”為例［J］.中國數學教育，2011（9）.

5.王敏勤.整體建構是和諧教學的基本原則［J］.中國教育報，2005（6）.

Y

*本文是江蘇省“十二五”教育科學規劃課題《高中數學“閱讀·引導·提煉·探究”教學范式的實踐研究》（C-c/2013/02/028）的成果之一.