幾何模型
——解題教學研究的新途徑

☉浙江省嘉善高級中學 楊月榮

☉浙江省嘉興市第一中學沈新權

幾何模型
——解題教學研究的新途徑

☉浙江省嘉善高級中學 楊月榮

☉浙江省嘉興市第一中學沈新權

一、引言

隨著新一輪深化普通高中課程改革的推行，學校將課程學習選擇權交給了學生，把課程開發權交給了教師，其最大的特點就是“選擇”二字．而對數學學科而言，學生學會觀察和思考往往比掌握知識本身更重要．因此，本次課改不僅打開了高中辦學特色的新局面，也賦予了我們一線教師的新思考．

1.解題教學中“學”的缺失

現今的數學解題教學主要是以高考為指揮棒，把“高考考什么”作為開展課堂教學的依據，在課堂中進行著“類型+解法”的整理，而對學生的“想學什么”、“怎樣去學”等問題卻顧及甚少．這是數學解題教學中“學”的缺失，這種“學”不僅僅指學的內容，更重要的是學的方式．

2.解題教學中“題”的漠視

弗里德曼在《怎樣學會解數學題》“致讀者”中呼吁：“應當學會這樣一種對待習題的態度，即：把習題看做是精密研究的對象，而把解答習題看做是設計和發明的目標．”同時指出學生解題“不開竅”的一個基本原因是“獲得答案”之后沒有繼續暴露數學解題的思維過程．可見，數學解題教學中“解”過于“題”，把解出答案作為解題教學的目標，而對題目本身所包含的教育功能卻視而不見．

二、幾何模型下的解題教學

高中數學中有著豐富的幾何模型，如斜率、距離、圓錐曲線、空間幾何體等．無論是直線還是曲線，是平面圖形還是空間幾何體，每一幾何模型都隱含著動態的變化規律或靜態的數量關系．而在幾何模型下的數學解題教學是將題設中的關系設想在某個幾何模型中，通過幾何模型來呈現問題的幾何背景或幾何意義，將抽象關系具體化，靜態關系動態化，為學生提供便于觀察或探究動態變化規律的問題背景，從而直觀地找到解決問題的突破口．

正如我國著名數學家華羅庚所說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非．”幾何模型下的解題教學不只是通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，來達到優化解題途徑的目的，更是為了優化學生的學習方式，提升學生的探究能力，讓學生以最飽滿的參與熱情獲取最深刻的理解．

1.在幾何模型下優化求解過程

解題化簡論認為，數學解題的過程就是在合乎邏輯的前提下，連續地把原題轉化為一個能用基礎知識解決的問題．可見問題的轉化是學生理解和解決問題的關鍵點，因此，我們在進行數學解題研究時要力爭尋求最佳的轉化方向，讓學生在轉化的過程中選擇最佳的解題方案．

例1如圖1，將一個水平放置的正方形ABCD繞直線AB向上旋轉45°得到正方形ABC1D1，再將所得的正方形ABC1D1繞直線BC1向上旋轉45°到正方形A2BC1D2，則平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的正弦值等于________．

該題的呈現方式簡潔、立意新穎，其中的“水平放置的正方形”嚴重束縛了學生的思維與想象，使得學生無從下手．其難點有三：其一是已知條件的運用；其二是二面角棱的確定；其三是二面角的求解．于是，筆者將圖1設想在如圖2所示的幾何體中，將正方形ABC1D1所在的平面水平放置，構建了上下兩個棱長相等的正方體，讓學生在幾何模型下探究思考．

學生1：延長DA與D2A2，令DA∩D2A2=K，連接BK，則直線BK為平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的棱，故可由垂面法求得平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的正弦值．

圖1

圖2

圖3

在幾何模型的啟發下，學生打破了習慣性思維的束縛，將已知條件轉化為長方體中的兩個平面的二面角問題，突破了“已知條件的運用”和“二面角棱的確定”兩大難點；在幾何模型的啟發下，讓學生的想象與思考保持了延續性并綻放了創造性思維的火花，將二面角轉化為兩條異面直線所成的角，破解了“二面角的求解”的運算難點，既簡化了求解運算，又優化了求解過程.

2.在幾何模型下拓展解題視角

浙江省中學特級教師黃宗巧老師曾說：“通法是雪中送炭，柳暗花明；巧法是出奇制勝，錦上添花；巧法是更高層次的通法！通性通法固然是數學解題教學的主旋律，倘若在通性通法的基礎上變換問題思考角度，勢必會拓展學生的解題視角、開闊學生的解題視野、優化學生的解題思維，讓學生解決問題的方法更具‘選擇性’.”

即t2-10t+16≤0，故2≤x+y≤8，所以M+m=10.

盡管像這樣典型的二元條件最值問題的求解方法還有很多，但遺憾的是這些解法中常常疏忽了對問題的整體化認識，缺乏了對問題的動態化解決.于是，筆者引導學生發現該題中將“方程”轉化為“不等式”的關鍵是即問題可從整體入手將其轉化為“A+B=10，A·B≥16”型問題，從而進一步得到如下解法.

圖4

圖5

視角7：（構建模型）如圖5所示，構建橢圓幾何模型，將μ，v看作是橢上一點M到兩個焦點F1（-c，0）、F2（c，0）的距離，故當點M在頂點A或B處時有2a=10，（a+c）（a-c）=16，則有橢圓C的方程為，從而可直觀地判斷出2≤ μ≤8，故M+m=10.

這樣的幾何模型，突出了數學的學科特征，豐富了數學的課堂教學，拓展了數學的解題視角；這樣的幾何模型，讓數學課堂中既有“形”的分析又有“數”的論證；這樣的幾何模型，讓數學解題既有“數”與“形”的有效轉換，又有“代數”與“幾何”的相互滲透.我們的數學解題教學需要這樣的新途徑，只有這樣才能讓“一花獨放不是春”的局面綻放為“百花爭艷春滿園”的場景．

3.在幾何模型下挖掘問題本質

木有本，水有源，題有根．在數學解題教學中，探究命題立意、追溯問題根源是不可忽缺的環節之一．在探究命題立意、追溯問題根源的過程中尋找問題之間的聯系，加深對問題本質的理解，提升研究問題的高度，發揮數學試題的育人功能，引導學生學習方式的轉變．

例3在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）.設曲線C上任意一點P（x，y）滿足|PA|=λ|PB|（λ＞0，且λ≠1）．對λ的兩個不同取值λ1，λ2，記對應的曲線為C1，C2．若λ2＞λ1＞1，判斷兩曲線的位置關系，并說明理由．

該題設計新穎，不落俗套，是一曲新詞，一杯清酒．那么，如何讓學生聽出曲中意，品出酒中味呢？筆者在學生解答的基礎上層層遞進地提出了兩個問題，引導學生探究問題的根源．

圖6

問題2：雖然圓的半徑在減小，但是圓心的位置也在變化，為何就一定有曲線C2內含于曲線C1呢？能否從幾何的角度加以解釋呢？

圖7

兩次提問，兩個幾何模型，將問題的研究從感性判斷引向了理性分析，既探求了問題的命題立意，又呈現了問題的幾何本質．這樣的解題過程不只是解決了問題，更多的是為了優化學生的學習方式，引導學生學會怎樣研究試題．

4.在幾何模型下激活學生思維

英國哲學家羅素說過：“凡是你教的東西，要教得徹底．”在我們的數學課堂中，從不缺少令人拍案叫絕的精彩呈現，也不稀罕另辟蹊徑的解題技巧，但關鍵的是要有學生能解的思路分析，要有學生欣然理解的思維呈現，要有能激活學生思維的解題體驗．

例4已知函數（fx）=ln（x+1），g（x）=ex-1．對于任意的x2＞x1＞0，試比較（fx2）-（fx1）與g（x2-x1）的大小，并說明理由．

該題中的“（fx2）-（fx1）=ln（x2+1）-ln（x1+1），g（x2-x1）=1”．面對題中所涉及的兩個變量，教師通常會給出以下解法.

解法1：令G（x）=g（x）-（fx）=ex-1-ln（x+1），由G′（x）=來判斷函數G（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而有g（x2-x1）＞f（x2-x1），即ex2-x1-1＞ln（x2-x1+1）＞ln（x2+1）-ln（x1+1）.

解法2：令h（x2）=ex2-x1-ln（x2+1）+ln（x1+1）-1（x1為參數，定義域為（x1，+∞）），通過h（x2）在（x1，+∞）上單調遞增，得到h（x2）＞h（x1）=0，從而有g（x2-x1）＞f（x2）-f（x1）．

解題方法固然很好，但是解法1中較難“判斷G′（x）的正負”與“判斷ln（x2-x1+1）＞ln（x2+1）-ln（x1+1）”，解法2中的“構建函數h（x2）”對學生來說都是“莫名其妙”的．同時，該題的本質是什么？讓學生學到了什么？結果也是不言而喻的．為了“要教得徹底”，珍惜一次在“曲折”中構思解題方案的機會，筆者將問題的解決回到了已知函數f（x）= ln（x+1）和g（x）=ex-1的圖像上．通過構建如圖8所示的直線斜率模型，引導學生發現，x＞0時，有kAB＜得解題思路：其一證明k（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上單調遞增；其二證明不等式ex＞x+1在（0，+∞）上恒成立．

圖8

在幾何模型下探究發現解決問題的突破口，就像給予了學生一把開啟思維之門的金鑰匙，讓學生在“有圖有真相”的問題分析中，一切思維都是水到渠成的．正是因為在幾何模型的指引下，學生備受啟發．

學生6：當x＞y＞0時，證明：ex-ey＞ln（x-y）．

從學生提出的解法可見學生明白了設問的立意所在，并在幾何模型的引導下思維得到了啟發，不僅提出了更好的解法，更能發現提出有價值的新問題．

三、結束語

幾何模型下的數學解題教學是基于對優化學生學習方式和拓寬問題解決途徑的思考而需要重新認識的解題教學模式，是培養學生簡化問題、多角度審視問題、挖掘問題本質及探究發現新問題等能力的無二選擇．它是一種理解題意的視角，也是一種優化解題的方法，更是一種發現新問題的途徑，抑或是一本學生喜愛的選修課程．這樣的解題教學一方面符合了數學學科的特點，通過解題過程中“數”與“形”的關系，將數學三角、函數與幾何等內容滲透在一起；另一方面也尊重了數學問題的本身，讓抽象的問題具體化，靜態的問題動態化，更好地凸顯了問題的內在聯系、揭示了問題的本質特征；更重要的是滿足了學生的學習需求，隱性地激發了學生的數學學習興趣，拓展了學生的學習視野，優化了學生的學習方式．

1.張豐.課程改革聚焦轉變學生學習方式［N］.浙江教育報，2013-04-17（3）.

2.曹寶龍.課程改革的核心任務：課程變革［N］.浙江教育報，2013-03-06（3）.

3.沈新權，顧乙.高中數學教學中滲透數學推廣意識的策略［J］.中學數學（上），2014（6）.FH