凸柱體表面纏繞軟繩的橫向摩擦力的曲率無關性

周國全

（武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072）

1 關于圓柱體表面繞繩所受摩擦力的動力學方程問題

當兩物體的接觸面為平面且存在相對滑動（或相對運動的趨勢）時，其相互之間的滑動摩擦力（或最大靜摩擦力）與相互之間的正壓力成比例，比例系數稱為滑動摩擦因素 （最大靜摩擦因素），與兩接觸媒質的材質及表面的粗糙程度有關，并受表面濕潤程度與溫度等環境因素的影響；在材質一定及表面與環境因素不變的情況下，最大靜摩擦因素或滑動摩擦因素是個常量[1-3].對與圓柱體表面接觸并有相對運動或運動趨勢的物體施加于圓柱表面的摩擦力的研究已屢見于諸文獻之中[1-6]，如文獻[4]討論了圓棒表面在顆粒物質中受到的縱向靜摩擦力的規律；文獻[5]則討論了皮帶輪傳動裝置中的皮帶對轉輪的橫向靜摩擦力及主被動輪的動力學方程.

文獻[1]～[3]討論并給出了這一經典的力學問題——在受到橫向最大靜摩擦力時，圓柱體表面纏繞的柔軟輕繩的張力公式

其中，μs為最大靜摩擦因數，θ為軟繩的繞轉角度，而軟繩所受的橫向最大靜摩擦力即為兩端的張力T、T0之差.必須指出，文獻[2]中的指數衰減律與文獻[1]中的指數增長律是彼此一致的，因為摩擦力從繞繩A端到B端的指數增長律，即等價于其從繞繩B端到A端的指數衰減律.但筆者在長期的教學實踐中發現，學者們的討論和研究均局限于圓柱體表面繞繩所受的摩擦力，卻忽略了一個重要事實，即凸柱體表面繞繩的張力公式（1）并不局限于圓形截面情形，而與凸柱體橫截面的形狀無關.本文即專門討論此問題.對具有任意形狀的橫向凸截面的柱體，繞繩所受橫向最大靜摩擦力滿足如下公式

圖1 凸柱形直棒上的橫向繞繩

圖1給出的是橫截面為圓形截面情形的示意圖.我們考察凸截面的柱體對表面繞繩的摩擦力推導過程，就不難得出軟繩與凸柱體表面的橫向摩擦力的曲率無關性的結論.

2 軟繩與凸柱體表面的橫向摩擦力

在凸截面的柱體任一點P處無窮小的一段橫向弧元，它實際上重合于P點的曲率圓的張角為dθ（從θ→θ＋dθ的元角位移）的一段.設這一小段軟繩施加于P處表面的正壓力為dN，受到的靜摩擦力為df，而在忽略這一小段軟繩質量的情況下，如圖2所示，由于該無窮小線元受力平衡，因此有如下力平衡方程組

圖2 在凸柱體表面P點的弧元上的受力圖

對式（4）中T（θ＋dθ）在θ處作泰勒展開并利用近似公式忽略dθ的二次方以上的高階無窮小項，可得

又一般情形df≤μsdN，當繞繩與柱體間處于最大靜摩擦力情形，應有

從式（5）～式（7）可得

從而有

兩邊積分，注意T（θ0）＝T0.當最大靜摩擦因數μs為一常數，可得

其中，θ-θ0為軟繩繞彎曲凸柱體轉過的總角度.從式（5）兩側積分可知，總摩擦力等于軟繩兩端的張力之差

從推導過程可知，柔軟的繞繩對彎曲凸柱體表面的橫向最大靜摩擦力僅與纏繞凸柱體表面的軟繩從起始切向方位，向末端切向方位繞轉的總角度θ-θ0，以及最大靜摩擦因數μs有關，而與凸柱體表面的曲率（或曲率半徑）的分布規律無關.證明過程（式（3）～式（12））的合法性，雖然借助了繞繩與凸柱體表面接觸點P處元弧（θ→θ＋dθ）的曲率圓這一事實，但結果卻與曲率k（θ）（或者曲率半徑ρ（θ））的具體表達式無關.因此，盡管橫截面的周界是一任意平面凸曲線，曲率k（θ）（或者曲率半徑ρ（θ））隨方位θ而變，曲率圓的圓心位置C也隨P點位置不同而變，但式（3）～式（12）總能成立.至此我們證明了前言中的論點.必須指出，前文考慮軟繩纏繞凸柱體的最大靜摩擦力，式（1）和式（2）及式（7）～式（12）中的μs應理解為最大摩擦因數；而當考慮軟繩纏繞并沿凸柱體表面橫向滑動時，式（1）和式（2）及式（7）～式（12）中的μs應替換為滑動摩擦因數μk.

在處處滿足dθ＝0，dN＝Tdθ＝0的平面特例情形，即對保持平直特性不變（θ＝θ0）但有非零摩擦因數的表面，此時公式（1）、式 （2）與式（11）、式（12）依然成立，但最大靜摩擦力（或滑動摩擦力）卻為零.

3 結語

纏繞于凸柱體表面的軟繩所受的橫向最大靜摩擦力 （或滑動摩擦力）的大小，與凸柱體表面的曲率（曲率半徑）的分布無關，即與凸柱體的粗細、形狀 （即表面彎曲的程度與方式）無關，而僅與最大靜摩擦因數（或滑動摩擦因數），以及軟繩在凸柱體表面纏繞的總角度有關，公式（1）和（2）或式（12）和（13）對最大靜摩擦因數（或滑動摩擦因數）不變且橫截面形狀任意的凸柱體表面具有普適性.

[1]梁昆淼.力學[M].北京：高等教育出版社，1978：124-126.

[2]趙凱華，羅蔚英.新概念物理教程：力學[M].1995：72-73.

[3]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程：力學[M].1997：318-325.

[4]胡林，楊平，徐亭，等.顆粒物質中圓棒受到的靜摩擦力[J].物理學報，2003（4）：889-882.

[5]吳偉.簡述皮帶輪傳動裝置中皮帶兩端的張力[J].技術物理教學，2007：（2）.

[6]袁乃榮，宋艷芝.如何計算繩索纏繞木樁的最大靜摩擦力[J].中學物理，2009：（15）.