大學物理課程中“高等數學基礎”教學——以應用為導向

大學物理課程中“高等數學基礎”教學——以應用為導向

賴國忠梁雄

(福建龍巖學院物理與機電工程學院, 福建 龍巖364012)

摘要本文給出了為大學物理課程學習做準備的數學基礎的教學中的3個“應用性”原則, 指出教學重點應放在讓學生理解微分與導數、積分以及矢量運算幾個方面的思想與方法, 特別要讓學生理解: 微分表示變量的微小變化; 導數在幾何上表示函數曲線上切線的斜率, 而且導數中分子和分母兩個微分是既相關聯又可以分開的量; 積分的本質意義是求和, 把物理問題轉化為積分問題通常包括兩個過程, 一是積分區域無限細分, 其目的在于“化變為不變”; 二是無限求和. 通過不定積分與定積分的關系可以幫助學生快速計算一些簡單被積函數的積分. 講述積分的過程中, 可以引入微分方程的概念及分離變量法求解的思想. 矢量運算中的難點是標量積與矢量積的區別以及矢量求導. 前者可通過力做功及力矩的概念幫助學生加深理解. 而矢量求導可以結合曲線運動中的速度、加速度的計算讓學生理解其思想與方法.

關鍵詞大學物理; 數學準備; 思想方法; 應用

收稿日期:2014-10-28；修回日期: 2014-12-26

基金項目:福建省自然科學

通訊作者:賴國忠, 男，教授, 從事薄膜技術研究和物理教學. zhglai55@163.com

THE TEACHING OF ADVANCED MATHEMATICS FOUNDATION IN COLLEGE PHYSICS—TAKING APPLICATIONS AS THE ORIENTATION

Lai GuozhongLiang Xiong

(School of Physics and Electromechanical Engineering, Longyan University, Longyan, Fujian 364012)

AbstractThree applicability principles are given for the teaching of mathematical foundation, which is preparative for college physics. Its keystone must be putted on letting the students understand the ideologies and methods of differential coefficient, integration, and vector operations. Specially, the following views must be let students to know. Namely, differential coefficient expresses the tiny change of variable. On geometry, a derivation is the slope of the tangent line for a curve. The numerator and denominator of a derivation are both associative and separable. Integrating is substantially equivalent to sum. It contains two processes for translating a physical problem into integration, which are fractionizing and sum illimitably. In case of the function integrated is simple, the relation between definite integration and indefinite integral will be helpful to students. When telling about integration, the ideas of differential equation and variables separation can be introduced. The difficulties of vector operation include the difference between scalar product and vector product, and the derivation of vector. The concepts of work and moment can be used to understand the former difficulty. Calculation of velocity and acceleration in curvilinear motion can be used to let students understand the thought and technique of derivation of vector.

Key wordscollege physics; mathematical provision; thought method; application

近代物理學的書寫語言是數學[1].數學是物理的基礎,是研究物理學的工具[2]. 所以, 很多院校都在大學物理課程開設之前開設相應的高等數學[2], 也有很多院校大學物理課程與高等數學課程是同步開設的,要在大學物理課程中正式講授大學物理內容體系之前講授相關數學基礎, 但因總學時有限,學生不可能完全理解相關知識, 往往不知道如何應用高等數學求解物理問題,導致大學物理學習效果不明顯、質量不高.本文以應用為導向, 討論在大學物理學課程之前, 應該如何精選教學內容, 用少量的學時讓學生比較正確地理解大學物理學中最重要的兩種數學模式——矢量與微積分[3],化解學生對相關知識的神秘感,提升學生把物理問題轉化為數學問題的能力.

1應用性原則

因受學時限制, 這里的“應用性”包含3方面的含義: 一是不追求數學定義、定理的嚴格條件, 而注重各種運算的實際意義及其應用; 二是不追求學生對運算的熟練, 注重把物理問題轉變成數學問題的思想方法, 能比較自然地接受并應用相關思想和方法, 而對大學物理學習過程中可能遇到的微分積的具體計算等內容在大學物理的教學過程中根據實際需要穿插進行講述; 三是通過微積分、矢量及其運算的定義、物理意義、幾何意義, 消除學生對微分、導數、積分等運算符號及矢量運算的神秘感, 強化其直觀性和應用性.

2教學內容及應突破的知識點

2.1　微分與導數

由變速直線運動中質點的位移隨時間變化的函數關系x=x(t)求質點瞬時速度的實例, 可得到導數的定義式

對于這個定義,需要強調如下幾個方面:

(1) 符號dt和dx分別是Δt→0和Δx→0的極限條件下的表示,稱為時間的微分和位移的微分. 微分只是一種運算,這種運算是對變量的增量取無限小的極限,用變量前面的符號“d”表示,與其他的運算都要用運算符來表示在思想上并無區別.

(2) 導數表示函數對自變量的變化率. 在一個物理過程中,如果要分析一個量隨另一個量的變化率,就應考慮求導數；而在幾何上它表示函數曲線上一點的切線的斜率.在函數的極值點,導數值為零,當要考慮一個物理量何時取得極值時,也應先找到導數為零的位置或時刻.

(3) 大學物理與中學物理最大的區別在于中學物理通常研究的是穩恒量和離散量,大學物理所研究的基本都是連續量和變量[2].只要是連續變化的量,且變化量充分小,都可以表示為微分的形式. 結合實例, 要引導學生注意這樣一種事實，物理量y隨另一個物理量x變化的規律y=f(x)大致可以分為兩類: 一是物理量隨空間坐標的變化關系,如物質的密度ρ隨空間的連續變化；二是物理過程中物理量之間的客觀關系,如物體運動的位移、速度隨時間變化的關系.

(4) 一般來說,一個函數的導數仍是原來的自變量的函數,導數實際上是導函數的簡稱,因而,還可以定義二階甚至更高階導數.

2.2　積分學

積分通常分為定積分和不定積分兩種,在數學上通常先講不定積分再講定積分.但是,筆者認為,為大學物理課程做準備的高等數學基礎的教學中,先介紹定積分更能讓學生理解積分的本質意義,也更有利于今后把相關物理問題轉化為積分問題.

(1) 定積分的本質是求和. 這可以結合數列求和的情況進行對比討論.在求數列的前n項和的過程中,自變量的取值是分立的,所以用了求和號,但現在自變量是在一個區域內連續變化,求和是對無限多個小曲邊梯形面積求和,這時就把求和號改成了積分號.

(2) 定積分包括兩個過程: 一是“無限細分”,通過把自變量的增量無限變小,使自變量的變化區域分成無限多個無限小區域,在每個小區域內,連續變化的函數值的變化量也很小,可以用區域內任一點的函數值代替小區域內各點的函數值,分別得到自變量的微元和函數增量的微元,這實際起到了“化變為不變”的作用；二是“無限求和”的過程,即對無限多個無限小的函數增量的微元求和.只有無限細分,才能化變為不變；只有先無限細分才能進行無限求和.所以,積分號內必定會出現微分號.求和是對微元求和,沒有微元就談不上求和.而積分號下漏寫微分號是學生常見的錯誤.只有讓學生充分體會到定積分的這種思想和方法,才能在大學物理的學習過程中正確地應用定積分解決實際問題,不容易出現積分號下漏寫微分號的常見錯誤.

(3) 用“化變為不變”的思想指導學生在把物理問題轉化為積分問題時, 積分微元的選取. 例如, 要求如圖1所示半圓形均勻薄板的質心的y坐標時, 只有按圖中陰影所示選取積分微元才能實現“化變為不變”.

圖1　計算均勻半圓形薄板的質心

(4) 定積分與不定積分的關系

不定積分在數學上是求一個函數的原函數. 若能求得函數F(x)的原函數f(x),則定積分

在物理上, 如果從微分的思想能夠得到一個物理量y的微小增量與另一個物理量x的微小增量的關系dy=g(x)dx,則也可以借用定積分表示求和的思想, 直接寫出∫dy=∫g(x)dx, 這時只要說明積分后會出現任意常數c出現的原因,并通過實例說明實際問題中這個常數的確定方法.

討論定積分與不定積分的關系的另一個目的在于, 利用學生中學已有的一些基礎, 引導學生在看到一些比較簡單的被積函數時去聯想什么樣的函數的導數會等于這個被積函數, 這個聯想的結果就是被積函數的原函數. 這樣有助于學生做一些簡單的積分運算.

(5) 積分運算與求解微分方程. 關于微分方程, 很多專業的高等數學并不詳細講授這部分內容. 而物理上很多情況下把實際問題轉化成積分問題之前, 實際上還隱含了微分方程的建立和求解問題. 所以, 結合積分的教學, 可以進行適當的延伸, 為大學物理的學習打下更好的基礎.

例如, 質點作直線運動, 其加速度為a, 要求其速度v. 因為

由于該方程中出現了導數(或說微分),被稱為微分方程. 而求解微分方程最基本的方法是分離變量法.

2.3　矢量

大多數情況下, 物理量可以表征為標量或矢量, 因此, 物理問題的求解就成了滿足物理規律下的矢量和標量運算的綜合運算. 建立物理中的矢量模式,對每個矢量賦予現實意義,使數學與物理學掛鉤,是從初等物理向高等物理教學過渡中的一個重要環節[3].事實上,作為一種數學工具,用矢量來描寫那些既有大小又有方向且遵從平行四邊形法則的物理量及其變化規律,十分方便[4].

矢量部分的難點是矢量的乘法,它涉及標量積、矢量積.這部分內容中,可以先以直角坐標系中的矢量為例,介紹矢量的標量積、矢量積及其幾何意義,然后重點說明以下幾點.

(1) 標量積與矢量積是完全不同的乘法,實際使用時要認真加以區別,特別是標量積的運算符,即兩個矢量之間的點號不是可有可無的.另外,標量積滿足交換律,而矢量積在交換參與運算的兩個矢量時,結果會相差一個負號,表示得到的新矢量的方向相反.

(2) 沒有物理意義的數學矢量可以對給定的坐標作任何的分解, 但是物理問題中的分解卻是有現實研究意義的, 而不是隨意的. 另一方面, 應該通過實例說明, 不同的物理情景選擇用來分解的坐標系不同, 但在不同坐標系中進行矢量分解后, 運算的結果都是一致的.

(3) 矢量的標量積和矢量積運算在大學物理中有很多實際應用,典型的例子是力作功用標量積計算；而力對定點或定軸的力矩、質點運動時對定點或定軸的角動量則應該用矢量積來計算,包括確定它們的方向.

(4) 在數學上沒有定義矢量的除法, 在作業中要引起重視.

2.4　矢量導數

很多物理量都是矢量,所以引入矢量導數的計算思路也是應該重點掌握的內容.

在計算矢量導數時,通常要先選擇坐標系.在直角坐標系中,因為坐標軸方向的單位矢不會變化,只要將矢量在坐標軸上進行投影,求出各分量的導數后就能得出結果.但有時在曲線坐標系中討論物理問題有其便利之處,這部分內容的深入應用有待于在大學物理課程內容中逐步強化,但在作為大學物理做數學準備的課程中,為引起學生的興趣和重視,可舉幾個典型例子.例如,質點作曲線運動,設質點的位置矢量為r(t),則由,利用幾何圖像,很容易說明,當Δt→0,Δr的方向是位矢r(t)處曲線的切線方向,所以,質點作曲線運動時,速度的方向就是曲線的切線方向；又如,在質點作勻速圓周運動時,設在t時刻質點的速度為(t),在t+Δt時刻質點的速度為(t+Δt).因速率不變,由(t)和(t+Δt)及Δ構成等腰三角形,根據三角形內角和為180°以及,當Δt→0時,(t+Δt)與(t)的夾角趨于零,Δ⊥,所以,在勻速圓周運動中,質點的加速度只有法向分量且指向圓心.實際上, 這是矢量導數的一個重要特征: 即使矢量的大小不改變而僅僅方向改變,矢量的增量也不為零,因而其導數也就不為零. 若用A表示這種矢量,則這一事實可表示為=0.

3結語

以應用為導向,介紹了大學物理與高等數學課程同步開出的課程設置方案中,在大學物理課程中學習物理知識之前應準備的數學基礎知識,主要包括微分、積分、矢量及其運算,指出對各部分內容應重點放在引導學生理解數學思想和方法,學會把實際物理問題轉變成數學模式,并結合物理實例學習這些思想方法.

參考文獻

[1]路甬祥. 百年物理學的啟示[J]. 物理,2005,34(7): 467-472.

[2]郝卜, 呼方濤, 王猛, 等. 淺析大學物理中高等數學的應用技巧[J]. 科技信息,2010,21: 659.

[3]胡南. 數學模式與物理世界——剖析建立數學模式對大學物理教學的重要性[J].物理與工程,2004,24(6): 46-48.

[4]漆安慎,杜嬋英, 包景東.力學[M]. 北京: 高等教育出版社,2012: 461.

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