火箭運動微分方程講法的探討

史祥蓉

（海軍工程大學理學院應用物理系，湖北 武漢 430033）

1 對火箭運動微分方程容易引起誤解的講法

大學物理教材[1，2]在推導火箭運動微分方程時有如下描述：把箭體和燃氣組成的系統作為研究對象，選地面為參考系，以火箭前進的方向為正方向，如圖1所示.設t時刻火箭的質量為M，速度為v，在t到t＋dt時間內，有質量為dm的燃料變為氣體，并以恒定速率u相對箭體向后噴出，而火箭質量減為M-dm，速度增為v＋dv.注意：此時噴出的氣體相對地面的速度為v＋dv＋u，

因此在時刻t和t＋dt系統的總動量分別為

動量增量為

所以，系統所受的合外力為

此為火箭運動微分方程.

圖1 火箭運動示意圖

若直接對式（1）微分有

顯然，式（5）與式（4）存在矛盾.因此，這種講法常常會給學生帶來混亂.學習過程中，經常有一些認真思考的學生會提出這樣的問題.

2 利用質量流動問題的講法

在理論力學教程[3]中對質量流動問題的講法如下：設一物體在t時刻的質量為m，速度為v，同時一微小質量Δm以速度v′運動，并在t＋Δt時間與m相合并，合并以后的共同速度是v＋Δv.如果作用在m及Δm上的合外力為F，則由動量定理得

略去式（6）中的二階微量ΔmΔv，除以Δt，并使Δt→0，得質量流動動力學方程

其中，m代表質量流動問題中t時刻的主體質量，v代表問題中t時刻主體的速度，v′代表微質量Δm與m合并前或自m分出后一剎那相對于地的速度為質量的時間變化率（可正可負），而F則為作用在系統上的合外力.

而v′＝v時，式（7）簡化為

式（9）與質量為定值的運動方程形式上沒有什么區別，但實質上并不相同，這里m一般是時間t的函數.

如圖2所示，可以利用質量流動問題講解火箭微分方程.設t時刻火箭主體的質量為M，速度為v，同時有質量為dm＝-dM的燃料氣體以相對箭體的恒定速度u噴出.則根據質量流動動力學方程式（7）可得

圖2 質量流問題

整理，可得

式（11）與式（4）完全相同，且避免了式（5）的矛盾問題.

3 一般動量表達式的講法

雖然利用質量流動動力學方程可以避免式（1）或式（5）與式（4）的矛盾，但應該如何解釋這一矛盾？

根據質量流動動力學方程式（7）可知：只有當v′＝0，即微質量與主體質量合并前或分出后一剎那相對于地的速度為零時，式（8）才成立.一般火箭運動不符合該條件，所以在處理火箭問題時，式（1）的P（t）＝Mv中，由于M是火箭“主體”的質量，且是時間的函數，因此不可直接利用F＝但動量定律是物理學中普遍成立的規律，在此應如何解釋呢？

比較式（1）、式（2）與式（6）可以發現，式（1）只是火箭“系統”動量在t時刻的特殊表達形式，并不能用于表達火箭“系統”在t＋dt時刻的動量，因此其對時間的微分不可能滿足“系統”的動量定律.實際上，在t時刻火箭“系統”動量的一般表達形式為

式中，第1項Mv為火箭的動量，第2項PΔ（t）＝mΔ（t）vΔ（t）為噴出氣體的動量.

在t時刻，燃料尚未噴出，mΔ（t）＝0，vΔ（t）＝v，有

所以，式（12）可以表達為式（1）的特殊形式；而在t＋dt時刻，噴出的氣體mΔ（t＋dt）＝dm，vΔ（t＋dt）＝v＋dv＋u，因此，

此時，由式（12）和式（14）可得式（2）.

因此，在式（5）的動量定律中應該采用式（12）的火箭“系統”動量一般表達形式，而不能采用式（1）的特殊形式.雖然在t時刻，PΔ（t）＝0，式（1）與式（12）完全相同，但由式（13）和式（14）可知其導數并不為零

對火箭“系統”動量的一般表達式（12）應用動量定律，有

可見，由式（12）獲得的式（16）與式（4）完全相同.這種講法不僅避免了式（5）的矛盾問題，而且很好地解釋了式（5）與式（4）矛盾的原因.

注意：由式（13）和式（14）可以看出，由于速度vΔ（t）不是連續函數，不存在因此，不能采用的方式計算，而需要采用式（15）方式計算.

[1]康穎.大學物理[M].北京：科學出版社，2010.

[2]馬文蔚.物理學[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，1986.