基于Matlab軟件GUI功能對氣體分子麥克斯韋速率分布的比較分析

徐 斌 陳 浩

（華南師范大學物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006）

分子的麥克斯韋速率分布是學習統計物理的基礎，而它除了在熱學領域內有很豐富的內涵和應用外，在物理學的其他方面同樣有著重要的體現，如在激光原理與技術方面，研究粒子躍遷發光譜線的譜線增寬原因時，就要考慮到麥克斯韋速率分布對光頻率改變的多普勒效應的影響.因此，在大學物理教學中，麥克斯韋速率分布始終是重點.

然而，以往對麥克斯韋速率分布的教學局限于抽象的理論分析，借助軟件作出的圖像也一般是靜態的，缺乏交互性.本文呈現一種新的麥克斯韋速率分布的教學方法，試圖通過該方法增強課堂講授的效果，加深學生對知識的理解.該方法主要借助Matlab軟件的圖形用戶界面（Graphical User Interface，簡稱 GUI，又稱圖形用戶接口，是指采用圖形方式顯示的計算機操作用戶界面），具體實施時，以Matlab作為平臺，先通過建模，確定研究對象，再建立Matlab中的圖形用戶界面，根據不同的環境和情境條件，輸入一定的程序與指令，在計算機平臺上操作運行，可實現交互式的比較分析.實現從原來抽象的理論分析到圖形交互的比較分析的轉化，有助于形象深入地了解麥克斯韋速率分布，提高課堂教學的效果[1].

1 運用Matlab的GUI功能對麥克斯韋速率分布的比較分析

基于Matlab的圖形用戶界面功能分析氣體分子在正常狀態和瀉流狀態下的麥克斯韋速率分布：

1.1 比較正常狀態與瀉流狀態下，分子的麥克斯韋速率分布特點

瀉流是指分子通過器壁上的小孔溢出的現象[2]，當分子溢出容器時，它在小孔口處的那些分子的速率分布可以通過Matlab的圖形用戶界面功能來模擬，進而分析它的特點.由于瀉流時氣體分子的狀態與正常的不同，相應的速率分布函數也會不同，所以要先建立一個瀉流狀態的速率分布函數模型.由統計物理可知，氣體分子的碰壁數公式適用于瀉流狀態，所以我們可以先得出氣體分子的碰壁數，進而推導出其碰壁的速率分布，最后得出瀉流狀態的速率分布函數模型.

1.2 建立瀉流狀態的速率分布的理論模型

正常狀態下的分子麥克斯韋速率分布函數及特點已被廣泛研究[3]，本文不再對其理論模型進行推導.下面推導出瀉流狀態下的速率分布模型，首先通過麥克斯韋速率分布可以導出，在單位時間內碰到單位面積器壁上，速率介于v與v＋dv之間的分子數dΓ為

則單位時間內碰到器壁單位面積上的分子數Γ為[2]

所以氣體的碰壁速率分布為

即瀉流狀態下，單位時間單位體積內的分子速率分布函數就是g（v）.

建立了速率分布函數后，我們可導出瀉流狀態下的3個特征速率[3]，所要求的最概然速率可由

給出，則最概然速率為

平均速率

方均根速率

以上即為瀉流狀態下，氣體分子的速率分布以及相應的3個特征速率.接下來，通過Matlab軟件的圖像用戶界面，討論瀉流狀態下和正常狀態下氣體分子的速率分布以及3個特征速率的情況.

1.3 編寫相應程序

由于要進行正常狀態和瀉流狀態的速率分布比較，所以在GUI上要建立兩套坐標體系.在設置好相應的GUI后，保存運行即可進入編程狀態.由于有兩套坐標體系，所以分別包含有1個坐標軸、“確定”按鈕，2個輸入文本框，3個輸出文本框，最后通過一個主函數運行此程序[1].

因為氣體分子瀉流狀態下的速率分布函數可由麥克斯韋速率分布函數導出，所以編寫程序時，在相應的主函數的地方輸入麥克斯韋速率分布函數的相應程序[4]：

得出主函數后，由于建立了兩組坐標體系，所以此處設定了兩個“確定”按鈕.輸入回調函數時，先在第一個“確定”按鈕處輸入繪制正常麥克斯韋速率分布函數曲線的的回調函數程序1：

回調函數程序1輸入完畢后，輸入回調函數程序2：

回調函數程序2能描繪瀉流狀態下，分子速率分布函數曲線，并計算3個特征速率.輸入完畢后，即可點擊運行程序.程序運行后可以得到，正常狀態麥克斯韋速率分布圖和瀉流狀態速率分布圖.

1.4 運行程序并分析

編程完成后，輸入一定的參數（T和mu），就可繪制出正常狀態和瀉流狀態的分子速率分布圖像.

（1）比較對于某種氣體，在某容器內溫度一定時，正常狀態的麥克斯韋速率分布和瀉流狀態的速率分布.選取CO2為研究對象，其摩爾質量為44kg／mol，溫度T＝300K，設定GUI，在左右兩組參數輸入框內分別輸入以上參數，再分別單擊確定運行，最后的運行結果如圖1.

圖1 運行結果

比較兩種情況下的速率分布可知：第一，瀉流狀態下的氣體分子速率分布和正常狀態的麥克斯韋速率分布曲線的概率密度的取值和分子的速率分布的寬度都是基本一致.第二，瀉流狀態下的分子的最概然速率與正常情況下的方均根速率相同，這顯然是由于方均根速率是跟平均動能聯系一起的，瀉流狀態下具有平均動能的分子最有可能穿出容器.第三，在瀉流狀態下的3個特征速率都比正常狀態的要大，這是顯然的，因為必然是速率更大的氣體分子更容易從小孔飛出，所以，總體來說，瀉流狀態下的氣體分子速率都會比正常狀態下的大.我們通過修改回調程序的部分，使得兩幅曲線畫到同一坐標上，見圖2.

圖2 同一坐標上的兩幅曲線

把正常狀態和瀉流狀態的兩條曲線畫到同一坐標系中，可以更清晰直接地辨別出它們二者之間的異同，更利于分析研究.如圖3，對比分析兩條曲線可知，曲線頂峰偏左的是正常狀態下的麥克斯韋速率分布曲線，而曲線頂峰偏右的是瀉流狀態下的分子速率分布曲線.瀉流狀態的分布曲線大致可看作是正常狀態的分布曲線向右平移得到，但兩者有差別，例如，最概然速率不同，瀉流狀態的明顯要比正常狀態的大，但對應的概率密度就稍小一點，而瀉流狀態下的速率分布寬度又要比正常的速率分布的寬度稍大，這都是歸一化條件要求的.同時也看到，瀉流狀態的分子對應速率為零的概率基本為零，這是因為要穿出器壁的分子速率不可能為零的緣故.

（2）比較相同條件下，氣體在容器內的正常麥克斯韋速率分布與瀉流時的速率分布.如選取相同溫度，比較不同氣體分子的情況（見圖3），或選定某種氣體分子，比較不同溫度的情況（見圖4）：

圖3 不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線

圖3顯示的是CO2、O2、N2的麥克斯韋速率分布圖像，比較兩種情況容易發現，在溫度相同（都設定在常溫狀態下）時，隨著摩爾質量的增加，概率密度明顯增大，而相應的最概然速率、平均速率、方均根速率都分別增加.

圖4描述的是O2在不同溫度下的速率分布情況.如果修改部分回調程序，可把兩種情況下的分布曲線置于同一個坐標軸下（見圖5），此時又可以明顯地比較分析出正常狀態和瀉流狀態下的氣體麥克斯韋速率分布與溫度之間的關系.從以上的結果我們可以進一步比較分析出，在不同情況下的氣體分子的速率分布的特點.從圖3我們可以直觀地看到，在溫度相同時，摩爾質量越大的氣體分子其速率分布越集中，氣體分子速率的取值范圍較小，其最概然速率也相應的偏小.用經典力學的思維，或許可以理解為質量越大的分子越難“驅動”，所以速率分布集中，而且相對較小；而質量越小的分子越“散漫”，速率分布較廣，而且相對較大.當然，這里的分析應用于瀉流狀態下也是相同的.而從圖4可以直觀地看到，對于同一種氣體分子（摩爾質量相同），溫度越高氣體分子的速率分布就越分散，速率的取值范圍也較寬廣，其最概然速率相應的偏大.根據熱力學統計理論，定性來看，溫度越高說明分子的熱運動越劇烈，則速率較大的氣體分子會較多，那么相應的3種特征速率當然都會偏大.這里，把不同情況下的速率分布及變化特點都通過圖像動態直觀地呈現，顯然，這些特點在麥克斯韋速率分布表達函數中是難以直接看到的，而且我們也給出了對應兩個參數（溫度和摩爾質量）的3種特征速率，顯示了Matlab軟件中應用GUI功能研究問題的交互性與清晰性[5].

圖4 不同溫度下的氣體分子麥克斯韋速率分布曲線

2 結語

通過借助Matlab軟件的圖形用戶界面來動態描繪氣體分子的速率分布曲線，利用其高度交互和形象化的特點，有助于課堂上對氣體分子的麥克斯韋速率分布進行深入的分析和研究，加深學生對知識的理解，提高教、學的效果.本文僅利用GUI功能對麥克斯韋速率分布的部分特征進行了比較分析，此外，還可以進行更多的拓展分析，比如，通過修改本文程序中的一些參數（如x軸的速率取值范圍），研究低溫或高溫下，氣體分子的麥克斯韋速率分布.也可以通過改寫分布函數，探究其他類型的速率分布問題，如在重力場中的氣體密度隨高度的分布問題等.

Matlab軟件的GUI功能以及對應的程序為學習麥克斯韋速率分布及其拓展分析提供了一個方便使用的平臺，有助于把抽象問題具體化和形象化，更重要的是實現了課堂教學的高度交互性.雖然本文只是利用該平臺的一個例子，但能開闊我們在統計物理教學中的思路，進一步拓展到其他的有關分布教學中，如玻耳茲曼分布、費米分布、玻色分布等.

[1]陳垚光，毛濤濤，王正林，等.精通 MATLAB GUI設計[M].北京：電子工業出版社，2008.

[2]汪志誠.熱力學·統計物理[M].5版.北京：高等教育出版社，2013.

[3]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程.熱學[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]蘇金明，王永利.MATLAB 7.0實用指南[M].北京：電子工業出版社，2004.

[5]曾立.Matlab在大學《熱學》課程教學中的應用[J].廣西師范學院學報（自然科學版），2008，27（3）：104-110.