帶電導(dǎo)體系的電場能量

冀 敏 蔣 平

（復(fù)旦大學(xué)物理系，上海 200433）

高等院校基礎(chǔ)物理課程中靜電學(xué)是極重要的一部分，而其中涉及能量的章節(jié)更是不可或缺的內(nèi)容.在一些教材中經(jīng)常出現(xiàn)電場能、電勢能、電荷之間的相互作用能以及靜電能等等的術(shù)語不一而足.但是這些術(shù)語涉及的物理意義以及相關(guān)的基本概念有的并不很清晰，或者理解不夠深刻.本文旨在將同靜電相關(guān)的能量統(tǒng)一于場的觀點(diǎn)或電荷的觀點(diǎn)之中，以便對其有更為透徹的認(rèn)識.

先從最簡單的真空中兩個(gè)體積足夠小的荷電導(dǎo)體的電場出發(fā)，設(shè)荷電量分別為q1和q2.空間位矢為r的任意一場點(diǎn)P的電場強(qiáng)度E（r）為q1與q2的場強(qiáng)E1（r）和E2（r）的疊加，即

其中，

r1和r2為q1和q2的位矢，e1、e2為從q1、q2指向P點(diǎn)的單位矢量.下面為簡單計(jì)將略去式（1）中的矢量r，即取

空間電場能量密度為

其中，φ1為電荷q2的電場E2在q1處的電勢，因而q1φ1即為q1在q2的電場中的電勢能；而φ2為電荷q1的電場E1在q2處的電勢，q2φ2即為q2在q1的電場中的電勢能.一個(gè)電荷在另一電荷電場中的電勢能正是彼此間的相互作用能.就是說ρ12的全空間積分正是q1與q2的相互作用能W12.亦可寫成

式（4）可推廣至n個(gè)分別帶電荷q1，q2，…，qn的導(dǎo)體組成的體系的電場能量密度

其中，φi為除qi自身之外其他所有電荷的電場在qi處的電勢.

由此可見場能密度交叉項(xiàng)的空間積分就是電荷間的相互作用勢能，各個(gè)電荷電場強(qiáng)度的交叉項(xiàng)代表相互作用的能量密度.對比式（7）的第二項(xiàng)和式（8）已可看到靜電相互作用勢能——電勢能既可從場的觀點(diǎn)也可從電荷的觀點(diǎn)理解；而這二者之間的聯(lián)系正在于電荷之間的相互作用通過電場傳遞，電荷間的相互作用就是電場的相互作用.

應(yīng)該說明的是，雖然式（4）或式（7）在基礎(chǔ)物理教學(xué)實(shí)踐中不常使用，卻包含著豐富的物理內(nèi)涵.事實(shí)上式（4）原則上適用于任意兩個(gè)荷電導(dǎo)體構(gòu)成的體系.以帶正電的無限大金屬薄板與一個(gè)帶電量不大的正電荷q的金屬小球?yàn)槔?設(shè)板面與紙面垂直，取x軸在紙面上沿板的法線向右，原點(diǎn)在極板上.x＞0處板的電場沿x軸正向，x＜0處沿x軸負(fù)向.設(shè)小球的位置用x0代表，其電場以小球?yàn)橹行膹较蜉椛?令板的電場為E1，小球電場為E2.注意在板上與球上電荷分布不變的情形下式（4）的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的全空間積分不因小球的位置而變化，只有交叉項(xiàng)及其全空間積分即勢能受小球位置的影響.因此電場能的變化就只是相互作用能即勢能的變化.電場能量變化表示電場做功，因而必有電場力存在.本例即屬此情形.設(shè)板的位置固定，由于體系具有平行于板面的平移對稱性，當(dāng)小球沿平行于板平面移動時(shí)電場能量不變，說明電場力并無平行于板面的分量.體系能量只同x0有關(guān).設(shè)x0＞0，則在小球右邊E1·E2＞0，在平板左邊同樣有E1·E2＞0，而在板與球之間E1·E2＜0.如球的位置向右移動，則球右邊ε0E1·E2的空間積分不變，而板-球之間ε0E1·E2空間積分的絕對值增加，板左邊ε0E1·E2的空間積分減少；以致板-球相互作用的能量即勢能下降.而且，相對于其他方向小球沿x軸方向移動時(shí)勢能變化率最大；換言之小球在板的電場中的勢能梯度沿x軸負(fù)向.小球勢能的負(fù)梯度就是板對球的靜電作用力，顯然此時(shí)板對球的電場力應(yīng)沿板的法向指向右方，與熟知的常識相符.

值得注意的是式（7）和式（8）同樣適用于單個(gè)的帶電導(dǎo)體，只要將其中的qi視為分布在導(dǎo)體表面的任一電荷元Δqi.于是帶電總量為Q的導(dǎo)體的電場能Wt可寫成

其中，ΔEi為電荷元Δqi的場強(qiáng)，φi為除Δqi之外所有其他電荷元Δqj在Δqi處的電勢，而＝Q.其實(shí)，φi再加上Δqi自身對電勢的貢獻(xiàn)Δφi就是導(dǎo)體的電勢φ

因?yàn)閷?dǎo)體的電勢就是分布在其表面上的所有電荷的貢獻(xiàn)之和.

不難看出，式（10）中Δφi的絕對值遠(yuǎn)比φi的絕對值小.事實(shí)上φi為將單位正電荷從導(dǎo)體表面移至無窮遠(yuǎn)處時(shí)Δqi之外所有電荷元Δqj共同產(chǎn)生的電場所做的功.若將這一電場記為E′，則

E為導(dǎo)體在場點(diǎn)r處的電場強(qiáng)度，而式（11）第二項(xiàng)則為Δqi在該場點(diǎn)處的場強(qiáng)ΔEi，ΔEi＝式中，ri為Δqi的位矢，而為從Δqi指向該場點(diǎn)的單位矢量.這一項(xiàng)對應(yīng)的電場力所做的功與Δqi成正比，為一小量，在極限情形為零.因此，在極限情形

A為導(dǎo)體所在的位置.從而在極限情形φi無限趨近φ，即φi→φ.注意在靜電平衡時(shí)導(dǎo)體應(yīng)為等勢體，于是式（9）第二項(xiàng)可化為

其中，φ即為導(dǎo)體的電勢，是其上所有電荷的總貢獻(xiàn).進(jìn)一步可以看出，由于ΔEi與Δqi成正比，式（9）第一項(xiàng)和Δqi的平方成比例，相對于第二項(xiàng)為高級小量.因此在極限情形可略去第一項(xiàng)而將單個(gè)荷總電量Q導(dǎo)體的電場能寫為

從上面的分析可以看出單個(gè)導(dǎo)體的電場能就是其上各個(gè)電荷元間相互作用勢能的總和.因此，有的作者稱這一能量為固有能或“自能”.

既然式（14）代表單個(gè)導(dǎo)體的電場能，當(dāng)同時(shí)存在多個(gè)導(dǎo)體，各自帶電量為Qi的情形就是第i個(gè)帶電導(dǎo)體的電場能，對所有導(dǎo)體累加的總和即為式（7）第一項(xiàng)的全空間積分.于是帶電導(dǎo)體系的總電場能WT便可寫成

式中

則為所有電荷，包括Qi自身在第i個(gè)導(dǎo)體處對電勢貢獻(xiàn)的總和.

以上用不太嚴(yán)格的辦法得出式（15），其實(shí)這一公式可以嚴(yán)格推導(dǎo)得出［1］.式（15）提供一種從電荷觀點(diǎn)計(jì)算荷電導(dǎo)體系總電場能量的方法，只需記得式中Φi為所有電荷，包括Qi自身對第i個(gè)導(dǎo)體電勢的貢獻(xiàn)；而其物理意義可以理解為電場能量可視為體系中所有電荷元相互作用勢能的總和.

在式（15）中，雖然形式上只出現(xiàn)各個(gè)導(dǎo)體上的總電荷Qi，并不意味著電荷在導(dǎo)體上的分布對電場能全無影響.例如，設(shè)想兩個(gè)相距不遠(yuǎn)的金屬球A與B，A球帶正電荷Q，而B球不帶電.當(dāng)只有A球時(shí)，根據(jù)式（14）電場能為為A球自身的電勢.當(dāng)有B球時(shí)，在A球電場影響下B球上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷.在靠近A球的近端出現(xiàn)感應(yīng)負(fù)電荷，而在遠(yuǎn)端出現(xiàn)等量的正電荷.此時(shí)，由于B球的總電荷仍為零，按照式（15）空間總電場能為為A、B兩球上的電荷對A球電勢貢獻(xiàn)的總和，由于B球近端為負(fù)電荷，易見φ′＜φ，即感應(yīng)電荷雖不改變B球上的總電荷量，卻使A球電勢因而總電場能下降.其原因是感應(yīng)電荷的出現(xiàn)是由于B球中的電子在A球電場力作用下由遠(yuǎn)端向近端輸運(yùn).這一過程電場力做正功導(dǎo)致電場能下降.

必須看到，雖然形式上式（8）和式（15）類似，其實(shí)含義迥異.式（8）中的φi為除qi以外所有其他電荷對其所處位置電勢的貢獻(xiàn)，該式只代表電荷之間的總相互作用能，只是電場能的一部分，不包括單個(gè)電荷對電場能的貢獻(xiàn)，即不包括固有能.至于式（15）則是帶電導(dǎo)體系的總電場能，既包括固有能，也包括相互作用能；其中Φi是所有電荷對第i個(gè)導(dǎo)體電勢貢獻(xiàn)的總和.將式（7）與式（15）相比，在計(jì)算電場能量方面前者更具基礎(chǔ)性意義，而后者在實(shí)用上往往更為方便.下面通過幾個(gè)大家耳熟能詳?shù)睦觼砭唧w認(rèn)識各個(gè)公式的具體作用.

例1半徑為R帶電量為Q的孤立導(dǎo)體球的電場能W.由場能密度的定義可知

導(dǎo)體球的電勢

根據(jù)式（14）

上式結(jié)果和式（17）完全一樣.顯然φ為總電量Q的所有電荷元對導(dǎo)體球電勢貢獻(xiàn)的總和.當(dāng)然這里將無限遠(yuǎn)處取為電勢的零點(diǎn).

例2球形電容器.設(shè)電容器的兩極板分別為半徑是R1和R2的同心球殼，R2＞R1，極板上的電荷為＋Q（內(nèi)球殼）和-Q（外球殼）.眾所周知，電場只存在于兩球殼之間，場強(qiáng)

電場能

易知內(nèi)球殼電勢

而外球殼處的電勢

于是由式（15）

恰與式（18）一致.

我們還可分別考察Q和（-Q）的電場能以及它們之間的相互作用能W＋、W-以及W±.

同理

W±可寫成

應(yīng)該說明的是，除式（4）和式（7）外本文的討論都是在導(dǎo)體分布在有限空間，電場并不延伸至無窮遠(yuǎn)處的前提之下的.因此，原則上不適用于理想無限大平板電容器的情形；但仍可根據(jù)本文的觀點(diǎn)對實(shí)際情形作一些有益的討論.

例3理想無限大電容器.將其看作兩個(gè)帶電導(dǎo)體，仍可應(yīng)用式（4）.設(shè)用E＋和E-分別表示正極板和負(fù)極板的電場，則在電容器外部E＋＝因而ρe＝0，符合電場僅集中于電容器內(nèi)部的實(shí)際.在電容器內(nèi)部其中，σ為極板電荷面密度的絕對值.實(shí)際電容器極板面積S總是有限的為極板帶的電量.如忽略邊緣效應(yīng)，電場總能量W＝ρeSl，l為極板間距.注意極板間電場強(qiáng)度為電容器兩板間的電壓，可得這正是熟知的結(jié)果.而根據(jù)式（15）當(dāng)然二者相同.但應(yīng)注意Φ＋和Φ-都是正負(fù)極板上所有電荷對兩極板電勢貢獻(xiàn)的總和.值得注意的是，由于極板上的電荷量在理想情形下為無限大，單個(gè)極板的固有能和彼此間的相互作用能均發(fā)散.由以上數(shù)例可以使我們體會到應(yīng)用式（15）可計(jì)算單個(gè)荷電導(dǎo)體或荷電導(dǎo)體系的電場能，使用式（8）則可計(jì)算兩個(gè)荷電導(dǎo)體或多個(gè)荷電導(dǎo)體之間的相互作用能.但在對與這些能量相關(guān)的基本概念的理解方面式（7）卻更為有益也更為深刻.

［1］蔡聖善，朱耘.經(jīng)典電動力學(xué)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1985：90-94.

［2］張三慧.大學(xué)物理學(xué)（第三冊）電磁學(xué)［M］.2版.北京：清華大學(xué)出版社，1990：80.