彈簧參與的微小振動一定是簡諧運動嗎

郭 敏 閆誠實 王靖淇 崔景鳳 戴 瑞

（1東北師范大學物理學院，吉林長春 130024；2沈陽市第四中學，遼寧沈陽 110023）

1 簡諧運動的充要條件

在一維情況下，振子系統的位置可用單一坐標變量x來表示，設任意系統的勢能為U＝U（x），受力為f＝f（x），若x0為穩定平衡位置，則有

一般情況下，在平衡位置附近（Δx＝x-x0極小），可以將勢能函數展開為泰勒級數［1］：

當Δx→0時，若忽略高階無窮小，則

根據機械能守恒定律有

兩側同時對時間求一階導數有

若

此時系統勢能為極小值.

需要說明，當式（3）不成立時，如果勢能對位置的高階變化率滿足大于零，即那么x0處也是系統的穩定平衡位置，但此時f（x）可能不再滿足f（x）＝-kx這種形式，這樣的振動也就一定不是簡諧運動了［4］.

2 彈簧參與的微小振動

例1如圖1所示，一個原長為l勁度系數為k的彈簧，將其一端固定，另一端連接質量為m中心穿有小孔的質點小球，小球套在光滑的水平細剛性桿上，剛性桿到彈簧固定端的距離剛好等于彈簧的原有長度l.以平衡位置為坐標原點O，建立如圖所示坐標軸Ox.外力作用下，小球偏離平衡位置，靜止于x處，某一時刻，突然撤去外力，系統沿光滑的水平剛性細桿作微小振動［5］.

圖1 套在水平剛性細桿上的彈簧振子

系統的彈性勢能可以表示為

彈簧的伸長量為

由于小球的橫向位移x?l，將勢能在x＝0處展開有

例2光滑水平面上一個質點小球連接兩個原長均為l、勁度系數均為k的彈簧，將彈簧的另外兩端分別固定，使彈簧處于原長，并與質點小球在同一直線，以平衡位置為坐標原點O，建立如圖2（a）所示的坐標軸Ox.在外力作用下，小球偏離平衡位置，如圖2（b）所示，靜止于x處，某一時刻，突然撤去外力，系統將在光滑平面上沿x方向作微小振動［6］.

圖2 兩個彈簧相連的系統

系統的勢能為

進行泰勒級數展開得

例3若在例2的基礎上再加一個彈簧，3根勁度系數為k，原長為l的彈簧互成120°就得到如圖3所示的系統，平衡時各彈簧均恰好為原長.以平衡位置為坐標原點O，建立如圖所示的坐標軸Ox.在外力作用下，質點小球沿圖中Ox軸方向偏離平衡位置，靜止于x處，某一時刻，突然撤去外力，系統將在光滑平面上沿x方向作微小振動［6］.

圖3 二維對稱3彈簧振子

系統的總勢能為

進行泰勒級數展開得

例4若在例3的基礎上再加一個彈簧，4根勁度系數為k，原長為l的彈簧互成90°就得到如圖4（a）所示的系統.平衡時各彈簧均恰好為原長，以平衡位置為坐標原點O，建立如圖所示的坐標軸Ox.若在外力作用下將質點小球沿圖4（a）的x方向移動微小距離，撤去外力，系統將在光滑平面上沿x方向作微小振動［6］.

系統的總勢能為

進行泰勒級數展開得

圖4 彈簧振子系統

同樣，若在外力作用下將質點小球沿圖4（b）中所示的x方向移動微小距離，其中角α＝45°，可以得到系統的總勢能為

變形后進行泰勒級數展開得

如果保留低階無窮小，忽略高階無窮小時，此系統的微小振動也是簡諧振動.

3 結語

部分學生在學習彈簧參與的微小振動時，會產生這樣的錯誤觀念：①認為只要系統在平衡位置附近作往復的小振動就是簡諧運動，但如例1所示，小球沿光滑的水平剛性細桿在平衡位置附近作往復振動，但系統不滿足簡諧運動的充要條件，其微小振動不是簡諧運動；②認為多個彈簧參與的微小振動，如果其中每個彈簧產生的作用力為線性回復力，則系統在平衡位置附近的往復振動是簡諧運動，但如例2所示，每個彈簧產生的作用力為線性回復力，但系統不滿足簡諧運動的充要條件，其微小振動不是簡諧運動；③認為多個個彈簧參與的微小振動，不是簡諧運動，但如例3和例4所示，分別有3個和4個彈簧參與的微小振動，但其系統滿足簡諧運動的充要條件，其微小振動是簡諧運動.所以在判斷彈簧參與的微小振動是否為簡諧運動時，一定要根據簡諧運動的充要條件進行詳細分析.

［1］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］梁紹榮，劉昌年，盛正華，等.普通物理學（第四分冊）力學［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］李棟.物體在穩定平衡位置附近的微小振動不一定都是簡諧振動［J］.物理與工程，2006，16（1）：59-61.

［5］林少光，龔善初.彈簧振子非線性振動的周期計算［J］.湖南文理學院學報（自然科學版）.2009，21（4）：19-22.

［6］廖旭，任學藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動［J］.大學物理，2008，27（2）：25-28.