彈弓效應原理簡析

李品鈞

（嶺南師范學院基礎教育學院，廣東 湛江 524037）

張三慧教授編著的教材《大學物理學》[1：104-106]（以下簡稱《教材》）以例題的形式介紹了“彈弓效應”這一物理學的應用問題，文獻[2]對其進行了更為深入細致的討論.以探測器因掠過土星而在日心系內被加速的問題為例，在以上文獻中，均隱含了如下的兩個近似：（1）由于土星的質量遠大于探測器的質量且兩者“碰撞”時間相對比較短，故在整個“彈弓效應”過程（視為無接觸“碰撞”）中，土星的運動狀態（速度）不變.（2）若以土星中心作為參考系（土心系），則探測器機械能守恒，于是探測器的入射速率和出射速率相等.由此看來，這應是一個質量懸殊的兩體問題，這類問題較為準確的近似處理在文獻[3]中有詳細的討論.然而若基于以上兩條近似，完全可以利用探測器速度在土心系和日心系之間的變換來簡潔直觀地說明“彈弓效應”的加速原理.這樣做，有利于突出物理問題的過程，相反，若用兩體問題中的典型分析方法——動量守恒加機械能守恒來處理，則弱化了整個加速過程由因到果的物理情景.另外，關于探測器的偏轉角與瞄準距離之間的關系，也可以通過對照同為兩體問題的散射理論而得出.

1 “彈弓效應”的加速原因

如圖1（a）所示，一探測器掠過土星，可視為與土星發生了無接觸的“碰撞”，《教材》正是用兩體碰撞理論對這一過程進行分析，設置了一個特殊的過程，解得在日心系內探測器在“碰撞”之后的速率比“碰撞”之前要大，即“碰撞”使探測器獲得了加速，是為“彈弓效應”，也稱“引力推進”.下面用速度變換理論來解釋該效應.

圖1 彈弓效應原理

在土心系中探測器以vda的速度入射并掠過土星，然后以速度v′da出射，因機械能守恒，入射速率與出射速率應該相等.即

設土星在日心系中的速度為vau，則探測器在日心系中的入射速度

同樣，在日心系中的出射速度

將上述兩個矢量關系式繪成矢量圖（見圖1（b）），顯然有

即在日心系中看來，探測器的出射速率比入射速率大.

由此可見，從速度在不同參考系內的變換這一角度來看，“彈弓效應”的實質無非是通過行星對探測器的引力改變了探測器在該行星參考系中的運動方向，使得相對速度vda與牽連速度vau的方向在出射后比入射前更接近，從而增大探測器在日心系中的速率vdu.當探測器的出射方向與土星運動方向相同時，探測器將獲得最大的出射速率

《教材》的原例中選擇日心系作為參考系，如圖2（a）所示，土星的速率vau＝9.6km／s，探測器以速率vdu＝10.4km／s逆向土星飛行，繞過土星后沿與原來相反的方向飛離.求此飛離速率.

將參考系變換到土心系，則太陽的速度vua＝-vau，探測器速度

由圖2（b），可得探測器的速率vda＝vdu＋vua＝（10.4＋9.6）m／s＝20.0m／s.

根據前文提到的“近似”，在土心系內探測器將以同樣的速率出射且土星的速度不變.

2 彈弓效應的加速條件

探測器與土星“相撞”之后方向發生了偏轉，出射速度與入射速度之間的夾角為偏轉角.圖1（b）中的θ即為探測器在土心系中的偏轉角，而α為其在日心系中的偏轉角.如前所述，探測器的出射方向與行星運動方向越接近，出射速度越大.當出射方向與行星運動方向完全相同時，出射速度最大（見圖3（a））.設此時兩參考系中的偏轉角分別為θ0和α0，則探測器實現加速的偏轉角在兩個參考系中的范圍分別是：0＜θ＜2θ0和0＜α＜2α0.超過這一范圍，則起到減速（引力制動）的作用，如圖3（b）所示，很明顯＜vdu.由此可見，多數的偏轉角是小于90°的，且出射方向常與行星軌跡平行（由此獲得最大的出射速度）.卡西尼-惠更斯號探測器的飛行軌跡可以印證這一結論，見圖4（圖片來源于互聯網[4]）.

圖2 《教材》原例示意圖

圖3 出射速度與偏轉角的關系

圖4 卡西尼-惠更斯號探測器飛行軌跡

3 彈弓效應與α粒子散射中的偏轉角對照分析

α粒子的散射角問題在很多普通物理類教材中都有涉及，在理論力學尤其原子物理學教材中更是一個必談內容.巧合的是，在張三慧的這本《教材》中就將其作為例題，討論了瞄準距離與散射角之間的關系[5：73-74].其實，彈弓效應又何嘗不是一種散射？只不過與α粒子的散射相比較而言，前者為引力散射，后者為斥力散射，前者為匯聚散射，后者為發散散射（如圖5所示）.

α粒子散射中入射粒子與靶粒子之間的斥力為

《教材》中推導出的散射角公式為

圖5 引力偏轉與斥力偏轉

彈弓效應中探測器與行星之間的引力為

在這兩類“散射”問題中，引力或斥力具備相同的形式（距離平方反比率），“散射角”（偏轉角）的計算方式完全相同.注意到，式（2）中的分母即為式（1）中的分子，現只需將其用式（3）中的分子替換，即得彈弓效應中的偏轉角所滿足的等式

即

若將式（4）中的探測器質量考慮為折合質量，即

則可得到更為準確的散射角公式與文獻[2]的結論相同.

4 普通尺度下的“彈弓效應”

通過兩個質量差距較大的物體之間的碰撞，實現小質量物體在實驗室參考系中得到加速的實例，在普通尺度上就有.如文獻[5]提到的一個有趣的課堂演示實驗：將一個小皮球（也可以用乒乓球——筆者注）放在一個大皮球的上面，使之自由落下.當它們落到地面上反彈時小球跳得比原來高許多倍（被加速彈出），往往會打到天花板上.這其實就是一個普通尺度上的彈弓效應，其加速原理在該文獻上正是采用了速度變換的方式予以解釋的.

以上用速度變換的方式簡潔直觀地解釋了彈弓效應，將大尺度中的彈弓效應、小尺度中的粒子散射和一般尺度的兩體問題聯系起來，相互關照印證，有利于學生理解廣泛的普通物理體系的兩體問題，而非將其視作零散的知識點.

[1]張三慧.大學物理學：上冊[M].3版.北京：清華大學出版社，2010：104-106.

[2]秦月婷.淺議彈弓效應[J].大學物理，2014（2）：26-27.

[3]胡明政，何榮良.質心系在近似問題中的特殊作用——質量懸殊的兩體問題的近似處理[J].物理與工程，2007（3）：24-26.

[4]Nicholas M.Short，Sr.The Cassini-Huygens Mission[DB／OL].http：／／www.fas.org／irp／imint／docs／rst／Sect19／Sect19＿19.html.

[5]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學[M].北京：高等教育出版社，1995：145-146.