抓住結(jié)構(gòu)特征，巧解根式問題

黃開琴 高明

二次根式一直是競(jìng)賽中的重點(diǎn)內(nèi)容，它涵蓋的知識(shí)面較廣，通常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，靈活性較強(qiáng)，其解答過程中包含豐富的數(shù)學(xué)思想。“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要。”啟發(fā)我們?cè)谧鲱}時(shí)應(yīng)仔細(xì)觀察根式的結(jié)構(gòu)特征，利用其信息特征“對(duì)癥下藥”。

一、構(gòu)造模型，轉(zhuǎn)化視角

構(gòu)造是數(shù)學(xué)解題的重要方法和技巧，在解一些與二次根式有關(guān)的題時(shí)，不可墨守成規(guī)，要善于抓住已知根式的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，往往能減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化解題過程，起到出奇制勝的作用。

例1：函數(shù)?（x）=√x4-3x2-6x+13-√x4-x2+1的最大值為（ ?）。（1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

分析與解答：兩根式下都含x4，仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)兩根式下都可以寫成平方和的形式，即，此時(shí)函數(shù)可看成點(diǎn)p（x，x2）與點(diǎn)A（3，2）的距離及點(diǎn)B（0，1）距離差的最大值，即把一個(gè)代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離這樣一個(gè)幾何模型（如圖1）。

圖1

易知P點(diǎn)軌跡是一條拋物線，其方程為y=x2，由于A、B兩點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過這兩點(diǎn)的直線必與拋物線相交。對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，到 兩點(diǎn)的距離差大于等于√10，故?（x）max=|AB|=√10，取最小值時(shí)如圖1所示。

例2：方程√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2的解x為 ? ? ? ? ?（ ? ? ?）。（第12屆希望杯高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

分析與解答：該式為含根式的無(wú)理方程，涉及正余弦運(yùn)算，化簡(jiǎn)異常復(fù)雜，不易直接解出方程的解，解題思路受阻，不妨轉(zhuǎn)變角度，視該方程為一個(gè)整體，再構(gòu)造結(jié)構(gòu)類似的對(duì)偶式：

√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2m，

將兩式進(jìn)行和差運(yùn)算，得：

從而有，解得m=0，

于是，，因此。

二、巧妙代換，化繁為簡(jiǎn)

代換即是將題目整體或某一部分用另一個(gè)字母或符號(hào)來(lái)替換，通過代換，把復(fù)雜的根式去掉，使問題的條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的，代換是化簡(jiǎn)的重要方法。

例3：若不等式，則k的取值范圍是（ ? ） ? ? ? ? ?。（2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽青海賽區(qū)初賽）

分析與解答：將不等式變形為：，并令，此題則轉(zhuǎn)變只需求u的最大值。而在u中，分子、分母都含根式，不妨把u拆分，使得

，觀察其結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量特征，易知，故此題可先配湊，再采用三角代換。令：

則可知，

即，故。

例4：若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x的取值范圍是（ ? ） ? ? ? ? 。（2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

分析與解答：觀察其結(jié)構(gòu)特征，是含根式的方程，不妨采用局部代換，令，，易知x=a2+b2，代入原方程可得：a2+b2-4a=2b，從而a、b滿足方程（a-2）2+（b-1）2=5（a，b≥0），其軌跡是以 （2，1）為圓心，√5為半徑的圓在a，b≥0的部分，而x=a2+b2的取值范圍可看成該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的范圍。（如圖2）可知，從而，20]。

圖2

三、利用函數(shù)單調(diào)性，化簡(jiǎn)根式

對(duì)于某些含二次根式的函數(shù)的值域問題，可借助函數(shù)單調(diào)性，利用其性質(zhì)去解決相應(yīng)問題。

例5：函數(shù)的值域是（ ? ）。（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

分析與解答：易知?（x）的定義域?yàn)閇5，8]，且?（x）在[5，8]上為增函數(shù)，故，。

二次根式問題具有極強(qiáng)的靈活性，能考察學(xué)生的觀察、類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新等多種能力，技巧性較強(qiáng)，做題時(shí)一定要抓住根式結(jié)構(gòu)特征，采用合理的方法化難為易。

（作者單位：四川西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）