高等數(shù)學課程應用性模式教學探究

董銀麗 張俊麗

【摘要】本文分析了高等數(shù)學課程內容及教學在以應用型為教育目標的前提下存在的問題，隨后從注重數(shù)學思想及其實際應用價值、課程內容配置的應用性與啟發(fā)性、培養(yǎng)采用多種方式闡述問題的能力等方面，利用一些實際案例給出建議。

【關鍵詞】應用型 數(shù)學思想 闡述問題的能力

應用型本科教育對于滿足中國經(jīng)濟社會發(fā)展，對高層次應用型人才需要以及推進中國高等教育大眾化進程起到了積極的促進作用。進入20世紀80年代以后，國際高教界逐漸形成了一股新的潮流，那就是普遍重視實踐教學、強化應用型人才培養(yǎng)。因為人們已越來越清醒的認識到，實踐教學是培養(yǎng)學生實踐能力和創(chuàng)新能力的重要環(huán)節(jié)，也是提高學生社會職業(yè)素養(yǎng)和就業(yè)競爭力的重要途徑。在應用型本科教育的形勢下，高等數(shù)學課程應用性模式教學研究顯得尤為重要。

在以應用型為目標的本科教育理念下，對高等數(shù)學課程的批評大多是缺少應用性。隨著時代的發(fā)展，教學目標除了傳統(tǒng)的目標，沒有建立新形勢下的教育目標；應采用什么樣的教學方式、課程內容以及評價方式，提升學生的邏輯推理和問題解決能力，并對此能力的提升作出綜合評價等。本文就下面提出的課程問題進行探討。

一、高等數(shù)學課程存在的問題

1、在講授數(shù)學課程時存在的問題是過于重視方法的訓練，注重法則和過程的介紹，忽略數(shù)學本質及其實際價值。

2、教學中的許多例題、習題，多樣性較差，具有實際應用背景的問題就更少，導致學生不會運用所學的知識對一些實際問題進行分析。評價的方法也存在問題，設計的考試題型僅僅是選擇題、簡答題，這樣學生便會采取“死記硬背”的方法應付考試，學生的分析技能并未獲得實質性的進步。

3、闡述問題的方式有四種，包括幾何圖形、數(shù)值規(guī)律、解析表達式和語言敘述。在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，對于這四種方式并不是給予同等的重視對于解析表達式給予更多的重視，像數(shù)值規(guī)律、語言敘述很少涉及。

4、在教學中注重強調邏輯推理，既注重數(shù)字游戲和應用公式如何計算，很少結合不同的數(shù)學軟件，例如繪圖儀等，來幫助學生建立數(shù)學思維。

總之，傳統(tǒng)的數(shù)學課程模式過于重視方法的訓練而忽視了其他品格的養(yǎng)成；教學方式還是采用填鴨式講授法，考試只注重事實性知識的記憶，缺少批判性思維的考查；課程內容設置使學生感受不到有助于提高分析問題和批判性思考能力的發(fā)展，學生在很大程度上不會使用數(shù)理推理的方式解決實際問題。

二、高等數(shù)學課程應用性教學的幾點建議

1、注重數(shù)學思想及其實際應用價值

數(shù)學思想是數(shù)學課程教學的精髓。數(shù)學課程固然應該教會學生許多必要的結論，但絕不僅僅以教會定理、公式和計算程序、解題方法為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數(shù)學思維。

例如，在講解定積分時，曲邊梯形的面積通過分割，近似代換，求和，取極限的積分思想而得到，學生也可以通過微積分基本公式求解定積分，介紹的應用大多是幾何方面的應用，很少涉及其實際應用價值的介紹。

類似地，像利用積分的思想求函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值，二元函數(shù)的的等值線圖在天氣圖，地形圖，某地區(qū)農作物受當?shù)乜偨涤炅亢推骄鶜鉁赜绊懙漠a(chǎn)量等方面的應用。通過數(shù)學思想在實際應用中的案例介紹，有助于激發(fā)和培養(yǎng)學生將數(shù)學思想創(chuàng)新性的應用于自己的工作和生活中。

2、課程內容配置的應用性與啟發(fā)性

在教學中，應借鑒國外優(yōu)秀數(shù)學教材的內容編排，提升課程內容的應用性和啟發(fā)性。力求做到：對重要概念都盡可能介紹實際背景；重要結果都盡可能地舉出應用實例。設計與課程目標緊密相關的平時作業(yè)和測驗；及時給予學生反饋，以幫助學生了解自己的學習進展以及還需要做什么。

習題的配置應具有多樣性，給學生所布置的作業(yè)，不能只是通過尋找“已經(jīng)做好的”例題來完成。以文獻 5 為例 該教材除了配置大量的練習題外 還配置了四種類型的小課題 它們是應用課題（ applied project），探索課題 （Discovery project），實驗課題 （Laboratory project）和寫作課題（Writing project）。

例如，在研究導數(shù)應用，求函數(shù)在某一區(qū)間的拐點時，給出了求解及判斷方法，我們還應進一步讓學生了解其應用性。即研究類似下面的問題：

圖2表明某個種群向極限人口L增長，人口達到L/2的點為圖像的拐點，拐點說明人口的什么特征？

通過這樣問題的學習，學生不但知道如何求解拐點，而且理解拐點給函數(shù)帶來怎樣的變化。

下面氣壓與海拔的例子，不但具有探索性，也具有實驗課的特性，同時通過完成這種問題，也有助于培養(yǎng)學生的自我表達能力。

例如：海平面的氣壓是30英寸汞柱，在海拔 的高度上，氣壓P（單位：英寸汞柱）為

（a）畫P關于h的草圖

（b）求在h=0的切線

（c）旅游者們的一條經(jīng)驗法則是海拔高度每上升1000ft，氣壓下降1英寸汞柱，請寫出這條經(jīng)驗法則所確定的氣壓公式。

（d）（b）和（c）的答案之間有何聯(lián)系，請說明經(jīng)驗法則為什么有效。

（e）經(jīng)驗法則所做的預測是過大還是過小，為什么？

3、注重培養(yǎng)采用多種方式闡述問題的能力

學生掌握算術、數(shù)據(jù)、計算機、建模、統(tǒng)計學、概率、推理等方面的內容同時，并強調要將其運用于社會實踐。若以此為目標，則在教學中，老師需在概念、模型和技巧間做出合理的安排，盡可能的培養(yǎng)學生在面對不同問題時，采用適當?shù)姆绞疥U述問題。

函數(shù)的表現(xiàn)形式有四種方式，在介紹一些概念、對一些公式進行解讀及對一些實際問題進行描述時，學會運用四種方式相結合的形式來描述，通過這幾種方式相結合，我們可以從不同的角度對概念、實際問題有清楚的認知。

學生可能會產(chǎn)生這樣的問題，數(shù)學模型所用的公式是如何產(chǎn)生的？事實上，我們所使用的大部分公式是利用數(shù)據(jù)擬合得到的。

例如：隨著對稀缺資源的關注，對人口的準確預測變得越來越重要。美國每10年通過人口普查記錄人口，下表給出1790～2000年人口普查數(shù)據(jù)：

問題：根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析美國人口的增長情況，并給出其增長的函數(shù)表達式。

問題的求解應該完成以下幾方面的工作：（1）將表中數(shù)據(jù)利用散點圖描繪出來，可初步觀察出人口的增長變化情況，并進一步結合數(shù)據(jù)說明；

（2）根據(jù)人口增長散點圖，選用合適的數(shù)學函數(shù)模型，并利用最小二乘擬合可得到其函數(shù)模型中的參數(shù)值；

（3）分析擬合的誤差。

在上面問題中，確定美國人口合適的數(shù)學函數(shù)模型時，人口增長的散點圖表明，在1860年以前，人口增長速度較快，圖形為上凹形狀，在1860年以后，人口增長速度變慢，圖形為下凹形狀，人口由于受到社會、自然等多種因素的影響，會趨于一個較穩(wěn)定的數(shù)量，這些特征要求所選的函數(shù)模型也應具有這些特性，具有這種特性的人口學函數(shù)是Logistic函數(shù)。

在教學不能只停留在給出數(shù)學函數(shù)公式，應更加注重強調公式的性質、圖形特征，分析其參數(shù)對圖形的影響，對于特殊點處的含義給出解釋。通過教會學生將闡述問題的四種方式結合應用，可以使學生學會用文字說明想法，用圖形解釋答案。

在信息化時代，數(shù)學教學的信息化也不容忽視，利用不同的數(shù)學軟件工具，例如，例如繪圖儀等，幫助學生建立數(shù)學思維，提升對問題的認識。

要大力推進數(shù)學應用型教學的改革，包括教學理念、教學內容、教學方法、考試方法和學生評價方法的改革。否則，我們的教學就始終停留在灌輸知識的層面，而很難形成學生的能力和素質。只有使學生獲得對微積分知識的真實理解，才能創(chuàng)造性地使用微積分。

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