一種冗余機械臂的軌跡跟蹤聯合仿真研究

沈志航，張新華，李 楠

（北京自動化控制設備研究所，北京 100074）

0 引言

為代替人類工位完成器件搬運、電子器件裝配、元器件焊接等作業任務，現代工業機器人應具有末端執行器工作空間大，運動靈活，可實現空間避障、回避奇異構型等特點。根據作業任務要求，需對機械臂進行軌跡規劃，計算出機械臂預期運動軌跡下相應的運動輸入規律。傳統的軌跡規劃方法實質上是位置反解問題，即求出機械臂的位置反解方程，然后再將機械臂末端執行器的運動軌跡帶入反解方程，從而得到與該運動軌跡相對應的各驅動關節的驅動參數。因此運動學逆解的難易程度直接影響著軌跡規劃的精度乃至機械臂的應用范圍。

現有6自由度機械臂在某些特殊情況下（如若干個關節軸線相交成90°，或者軸線平行），可以進行運動學逆解得到解析解，但其一個固定的末端位姿只對應著有限組關節角空間的解，這大大限制了機械臂操作的靈活性，影響了機械臂空間避障、回避奇異構型的能力[1]。

仿人型冗余機械臂在傳統6自由度機械臂基礎上增加了1個冗余自由度，可以使某一種末端位姿對應關節角空間的無限組解，在保證機械臂末端位姿控制的基礎上，能夠有效地實現避障行為[2-3]，回避奇異構型[4]等功能，不過，冗余自由度對求解機械臂運動學逆解帶來很大困難。

多體動力學分析軟件ADAMS是對機械系統的運動學與動力學進行仿真的專用軟件，可以建立復雜機械系統的運動學與動力學模型。此外，可以利用其“一般點驅動”和“樣條函數驅動”工具進行軌跡規劃，避免了機械臂運動學逆解的復雜求解過程。然而，在實際應用中發現，單獨利用ADAMS進行軌跡規劃得到的機械臂關節運動速度、加速度存在突變，導致機器人末端產生振動，無法保證機械臂運行的平穩性。此外，單獨利用ADAMS進行軌跡規劃無法實現關節空間軌跡尋優，其得到的關節力矩無法為實際工程應用提供參考。

為解決上述問題，引入數據計算軟件Matlab，它具有強大的數學計算能力，其ROBOTICS工具箱可進行軌跡規劃與關節空間的軌跡尋優，得到的關節位移與速度曲線連續性好。以上述數據與ADAMS進行機械臂軌跡跟蹤聯合仿真，得到的關節加速度呈周期變化，沒有急停等不良現象，各關節驅動力矩值沒有突變，保證了機械臂軌跡跟蹤運動的平滑性。

本文利用UG軟件對冗余機械臂進行三維建模，利用ADAMS與Matlab進行器件搬運作業過程軌跡跟蹤聯合仿真，實現了機械臂對最優軌跡的跟蹤，同時得到了所需的關節驅動力矩，為工程應用提供了參考。

1 冗余機械臂虛擬樣機建模與坐標系的建立

1.1 冗余機械臂虛擬樣機建模

機械系統三維模型作為對現實機械系統的描述，其建模的準確與否對于虛擬樣機仿真分析的效果和精度有直接影響。動力學分析需要獲得機械臂零部件的質量、慣性、質心坐標等信息，而這些參數的獲取并非ADAMS的強項，故選擇在UG環境下完成冗余機械臂的零部件模型繪制及裝配。本文所設計的機械臂由3類模塊化關節構成，可實現7自由度回轉運動。其中肩部由3個關節組成，肘部由1個關節，腕部由3個關節組成。

肩部的偏轉與俯仰關節由第一類模塊化關節實現，其輸出力矩較大；肘部俯仰關節與肩關節的滾動關節采用第二類模塊化關節，起到連接與增加機械臂運動空間的作用。腕關節采用第三類模塊化關節，用于末端執行機構的位姿的精細調整。為盡量擬合人體手臂，需對各關節重量、體積進行嚴格控制，為此關節內部采用永磁同步伺服電機串聯諧波減速器的傳動方式[5]。

機械臂作為一種復雜的機電系統，每個模塊化關節內都包括機械系統、傳感系統及驅動控制系統，需要對各部件進行簡化處理。但UG環境下建立的機械臂三維實體模型雖然可嚴格描述實際機械臂系統，但是其機構復雜，直接利用此模型進行動力學、運動學仿真會導致運算量大、運算速度慢，不利于仿真的進行。

首先，忽略對整體運動分析影響較小的零部件，如間隙調整墊片、螺釘等緊固件；其次，分析機械臂運動機理，利用布爾操作將關節輸出套筒、諧波減速器柔輪和電機轉子等主要運動部件合為一體。同時將對運動部件進行約束和控制的部件，如電機外殼、諧波減速器剛輪等合為一體。最后，將經過簡化的機械臂模型從UG導入ADAMS中，使用aggregate mass工具快速檢查系統的質量和轉動慣量，使用Table Editor快速檢查并處理每個部件的質量和轉動慣量方面可能出現的問題。確定經過簡化的機械臂模型可較為真實地反映機械臂實體狀態，在各關節處添加旋轉副約束，并設定關節摩擦系數及間隙等參數。完成ADAMS環境下的機械臂建模過程，生成的冗余機械臂虛擬樣機如圖1所示。

圖1 冗余機械臂虛擬樣機Fig.1 The virtual prototyping of redundant manipulator

1.2 冗余機械臂坐標系與連桿結構參數

為了描述機器人各桿件和終端之間的轉動或移動關系，需要建立機器人關節坐標系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了D-H矩陣法[6]。根據此方法建立機械臂初始狀態下D-H坐標系，如圖2所示。

圖2 機械臂初始狀態D-H坐標系Fig.2 The D-H coordinate system of robot arm on initial state

由圖2坐標系得到表1所示的機械臂連桿結構參數，這些參數用于在Matlab環境下建立機械臂對象。

表1 機械臂連桿結構參數Tab.1 Link structure parameters of the robot arm

3 聯合仿真系統建模

3.1 軌跡跟蹤曲線的獲取

機械臂搬運器件作業可視為點到點軌跡跟蹤，運動過程中機械臂末端姿態保持不變，機械臂攜帶元器件在笛卡爾空間內走過一條直線。對此運動過程進行軌跡規劃，作為運動期望值的各關節轉角曲線的求取非常重要，要求首先對其進行優化，然后以此作為聯合仿真系統的期望值，這樣聯合仿真得到的結果才能夠保證[7]。Robotics Toolbox是Matlab的機器人工具箱，它采用七階多項式對軌跡規劃進行插值，并結合速度、加速度零邊界條件進行運算，實現了關節空間軌跡尋優[8]。

利用Robotics工具箱進行軌跡規劃，首先需要應用link函數和robot函數結合連桿結構參數建立機械臂初始狀態下的模型。針對器件搬運作業任務，利用transl函數將機械臂進行平移，變換到器件初始位置，得到軌跡規劃初始狀態的齊次變換矩陣T0。然后再進行第二次平移變換得到機械臂終止狀態下的齊次變換矩陣T1。最后利用笛卡爾空間軌跡規劃函數CTRAJ對機械臂從T0至T1進行軌跡規劃，得到冗余機械臂7個關節轉角與時間的關系，即為聯合仿真軌跡跟蹤的期望曲線值。

3.2 聯合仿真機械臂子系統建模

冗余機械臂虛擬樣機在ADAMS環境中生成，而控制策略則在Matlab中建立。為實現ADAMS與Matlab的實時數據交換，需要建立一組二者均認可的狀態變量。針對此機械臂，需建立兩類系統變量：各關節電機所需的控制力矩、各關節的方位角。其中關節控制力矩與機械系統的輸入變量關聯，關節的方位角與輸出變量關聯。ADAMS/Controls模塊實時調用控制系統輸出的轉矩變量值驅動關節運轉，同時機械臂各個關節的實際方位角又被實時反饋到控制系統中，從而構成完整的閉環控制系統，實現關節位置的實時跟蹤[9]。

最終，由Matlab軟件生成了機械臂子系統模塊，其中的期望關節轉角及相應的實際關節轉角如表2所示，且angle1～angle7分別對應表1中的變量θ1～θ7。

表2 機械臂子系統變量Tab.2 System variables of the robot arm

3.3 聯合仿真位置伺服系統建模

機械臂子系統及期望跟蹤曲線確定后，即可以此為基礎搭建控制系統框圖。對每個關節位置角度分別應用PID控制策略進行控制，以使機械臂末端跟蹤預期的運動軌跡。最終得到的聯合仿真控制系統如圖3所示。

圖3 聯合仿真控制系統Fig.3 Control system of coordinated simulation

4 軌跡跟蹤聯合仿真試驗

4.1 軌跡跟蹤效果分析

聯合仿真系統搭建完成后，即可對機械臂進行軌跡跟蹤實驗，在驗證機械臂跟蹤特性的同時，可以獲得此運動軌跡下機械臂關節控制力矩，為工程應用提供可靠參考。經過仿真，逐一調節PID參數，得到各關節跟蹤曲線如圖4所示。其中Angle1～Angle7分別表示從肩部1關節至腕部3關節的轉角。

仿真結束后觀察機械臂各關節實際轉角與期望轉角曲線發現，通過聯合仿真可以控制機械臂系統的每個關節轉角以較小的延遲跟蹤期望轉角，其最大偏差為0.05134rad，滿足高速運動下機械臂的控制需求，從而實現機械臂末端對期望軌跡的準確跟蹤。

圖4 機械臂關節跟蹤特性曲線Fig.4 The track-following characteristics of robot arm

4.2 軌跡跟蹤過程中的關節加速度及驅動力矩控制

在實現軌跡跟蹤的同時，可由ADAMS軟件測量得到機械臂各關節轉角的加速度曲線，如圖5所示。

圖5 聯合仿真軌跡規劃得到的關節加速度曲線Fig.5 The acceleration curve got by coordinated simulation

分析圖5發現，聯合仿真得到的機械臂關節加速度曲線連續、平滑，沒有突變點，因此機械臂運行平穩、可靠，證明聯合仿真進行的軌跡規劃，在迅速跟蹤關節期望轉角軌跡的同時，實現了對關節加速度的控制。此外還可得到相應于此實際轉角所需要的關節驅動力矩，如圖6所示。

圖6 機械臂1至7關節驅動力矩Fig.6 The driving torque of each joint got by coordinated simulation

分析各關節驅動力矩發現，由Matlab進行軌跡規劃得到的關節轉角運行平滑，所需的關節驅動力矩值沒有突變。由于在ADAMS環境下考慮了機械臂重力力矩的平衡，個別關節處驅動力矩的初始值不為0，與實際情況相符，證明聯合仿真方法適用于實際工程應用。

5 結論

本文應用虛擬樣機技術，利用UG創建仿人冗余機械臂三維實體模型，以此為基礎進行ADAMS與Matlab聯合仿真，避免了復雜的傳遞函數與動力學模型的搭建。應用Matlab Robotics工具箱對此機械臂的某項實際工作任務進行軌跡規劃，得到優化的關節空間轉角。以此轉角結果為期望值對機械臂進行聯合仿真研究，結果證明機械臂軌跡跟蹤效果良好；仿真得到的關節加速度平滑、連續無突變點，保證機械臂在跟蹤軌跡的過程中運行平穩；得到的機械臂關節驅動力矩平滑，數值合理，可為實際工程應用提供可靠參考。

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