“等時圓”模型的基本規律及其應用

何福澤

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）15-0067-02

在中學物理中存在這樣一類問題，要求學生能從新的物理情景中提取有效信息，挖掘隱含條件，構建物理模型，然后把所學的物理概念和規律遷移到問題中快速找到解決問題的辦法。順利解決此類問題的關鍵是培養學生構建物理模型的能力。在教學中要善于捕捉信息，把握時機，針對性地進行這方面訓練，以提高思維的敏捷性和建模能力。

物理模型是對實際問題的抽象，每一個模型的建立都有一定的條件和適用范圍，在學習和應用物理模型解決物理問題時，最重要的一個環節是把實際問題簡化成相應的物理模型。合理利用自己熟悉的物理模型簡便地解決物理問題。在解決許多物理問題時，借助由基本物理規律所構建成的一些基本物理模型，可以把抽象問題具體化，把復雜問題簡單化，從而使得物理問題便于理解和接受，化難為易，解決物理問題達到意想不到的效果。下面以“等時圓”模型為例，體會如何通過巧妙地構建物理模型達到簡化求解。基于此對“等時圓”規律和應用闡述如下：

一、物理模型概述

1.等時性的證明

設某一條弦與水平方向的夾角為a，圓的直徑為d（如右圖）。根據物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為 ，位移為 ，所以運動時間為===

結論：物體任意光滑條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關，僅與圓半徑有關。

2.等時圓模型（如圖所示）

3.等時圓規律

3-1物體位于同一豎直圓上從最高點（頂端）由靜止開始沿不同的光滑弦到達圓周上各點所用的時間相等。（如圖a）

3-2物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達圓周最低點的時間相等。（如圖b）

3-3物體沿所有光滑弦運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）做自由落體的時間，即：====（式中R為圓的半徑。）

由此可以得出一個結論： 物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達圓周最低點的時間相等。推論：若將圖a倒置成圖b的形式，同樣可以證明物體從最高點（頂端）由靜止開始沿不同的光滑弦到達圓周上各點所用的時間相等。像這樣的豎直圓簡稱為“等時圓”。

在重力場中，物體處于豎直平面內任意一個圓內的最高點，沿任何一條弦無摩擦下滑的物體到達圓周上發生的時間相等，可等效為最高點到最低點物體做自由落體運動的時間 ，可見時間t與弦的傾角、長短無關，僅與圓半徑有關。關鍵尋找“等時圓”，確定最高點或最低點，所需要的弦，然后等效替代。拓展：在重力場中，物體處于豎直平面內任意一個圓內的圓周上沿任何一條弦無摩擦下滑到達最低點發生的時間相等，也可等效為最高點到最低點物體做自由落體運動的時間。“等時圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運動，且運動起點（或終點）應在“等時圓”的最高（或最低）點。

二、應用等時圓模型解典型例題

【例1】如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套著一個小滑環（圖中未畫出），三個滑環分別從a、b、c處無初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環到達d所用的時間，則（ ）

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

解析：選任一桿上的環為研究對象，對小滑環，受重力和支持力，將重力沿桿的方向和垂直桿的方向正交分解，受力分析并建立坐標如圖2所示，設圓半徑為R，根據牛頓第二定律得小滑環做初速為零的勻加速直線運動。由牛頓第二定律得：

①

再由幾何關系，細桿長度 ②

設下滑時間為 ，則 ③

由以上三式得， ④

可見下滑時間與細桿傾角無關，所以D正確。

考點：牛頓第二定律；勻變速直線運動的位移與時間的關系。

專題：計算題。

分析：先受力分析后根據牛頓第二定律計算出滑環沿任意一根桿滑動的加速度，然后根據位移時間關系公式計算出時間，對表達式分析，得出時間與各因素的關系后得出結論。

點評：本題關鍵從眾多的桿中抽象出一根桿，假設其與水平方向的夾角為%a，然后根據牛頓第二定律求出加速度，再根據運動學公式求出時間表達式討論，利用“等時圓”模型的基本規律可知物體沿所有光滑弦運動的時間相等。

（責任編輯 全 玲）