由一道高考模擬題談命題的科學性
2012-01-01 00:00:00商麒鳴戴月鳳
中學教學參考·理科版 2012年4期
每屆高三物理復習，都會做到各種各樣的高考模擬題，其中有非常好的創新題，但也存在一些缺乏科學性的題目。這學期高三物理第一輪復習中就碰到過這樣一道模擬題，筆者就本題的科學性問題進行再次探討分析，希望能引起命題者的注意。
原題：如圖1所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發，經過時間t后關閉發動機，賽車繼續前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后進入水平軌道CD上。已知賽車在水平軌道AB部分與CD部分運動時受到的阻力恒為車重的0.5倍，即k=Ff/mg=0.5，賽車的質量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s2，某次比賽中，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，在此條件下，求：
（1）賽車在CD軌道上運動的最短路程；
（2）賽車電動機工作的時間。
解析：（1） 要使賽車在CD上運動路程最短，只需滿足在P點速度最小即可，根據題意得：
mg=mv2PRvP＝Rg=5m/s ①
當小車從P→C→D時，由動能定理可得：
mg2R-FfxCD=-12mv2P ②
聯立①②得：xCD=2.5m。
（2）由題意可知，電動機在進入B點之前就已經關閉，
當小車從A→B→P時，由動能定理可得：
Pt-FfxAB-mg2R=12mv2P，
解得：t=4.5s。
一、問題的提出
這是2011年浙江某地市的一道高考模擬題，到此題目得以圓滿解決，許多學生和部分教師（包括筆者在內）往往對這個結果毫無疑義，理由是過程明確，方法得當，解題非常順利。但一個學生的逆推過程（即利用結果反過來去驗證題目給出的條件的合理性）卻改變了筆者對第二小題結果準確性的看法，通過仔細分析，發現存在明顯的不合理的地方。理由如下：
賽車要完成比賽，必須通過P點，而到達P點最小速度為vP=Rg=5m/s，從B到P滿足機械能守恒：-mg2R=12mv2P-12mv2B，得到B點的最小速度：vB=5m/s。
根據題意可知，關閉發動機后汽車有一段距離是做減速運動的，則關閉發動機時汽車的速度一定大于5m/s，為了簡化討論過程，設關閉發動機時汽車恰好到達B點，速度恰好加速到5m/s，即位移為xAB=2m，速度vB=5m/s，t=4.5s。利用圖2得xAB＞4.5×52=11.25m，這與題目給定的xAB＝2m相差太大，存在明顯的科學性問題。
二、問題的分析和解決
那么這個缺乏科學性的問題在哪里呢？又應該如何解決呢？
筆者認為，要解決這個問題應該從多方面考慮：增大功率，減小摩擦，減小AB間距離，減小圓軌道半徑。經過綜合分析，增大功率是最好的解決方法（只增大發動機功率，不改變其他任何條件）。由Pt-FfxAB-mg2R=12mv2P，得Pt=9J。當增大功率時，時間就成為一個變量，那么v-t圖像的橫坐標就不能為具數值了，如圖3。
我們的目標就是把t時刻曲線與時間軸所包含的面積的表達式推導出來，再根據條件求出賽車臨界最小功率，曲線面積利用初等數學根本無法解決，所以必須利用微元法或高等數學中的微積分。筆者分別嘗試了這兩種方法，發現利用微積分比較可取。
解題如下：
F合＝ma=F牽-Ffma=Pv-Ffmdvdt=Pv-Ff
等號兩邊積分：
∫50dvPv-Ff
=∫t0dtm
-∫50vdvFfv-P=
∫t0dtm
-
1(Ff)2(Ffv-P)+Pln|Ffv-P|
|50=tm|t0
-2.5+P4(lnP-ln|10-P|)=2.5t。
把Pt=9J代入上式得到：-10P+P2ln|P/（10-P）|=90，解到這里又被卡住了，因為這是一個含有對數的一元二次方程，難度很大。筆者上網查找了很多資料，一味地想把這個公式直接解答出來，造成了思維定勢，走進了死胡同，最終還是找不到解題方法，而就在“山重水復疑無路”時，在與一位數學教師的一次交談中，又出現了“柳暗花明又一村”，那種豁然開朗的感覺真是難以言表。解決問題的方法就是先把上式轉換成ln|P/（10-P）|=(90+10P)/P2，然后分別對等式左邊和右邊作函數圖像，兩個圖像的交點就是所要求的值P，真是“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”，最終借助Drawtools作圖軟件得到了如圖4所示的函數圖像。
其中一個交點A在橫坐標的8到9區間，經驗證，這個交點是不滿足要求的，所以另外這個交點B數值就是所要求的臨界最小功率值，由于圖像的清晰度不是很好，這個交點估計值約為Pmin=14W。要使這輛賽車在題目所給的條件下完成比賽，就得滿足P≥14W，t≤0.64s，而題目給出的功率只有2W，遠遠達不到完成比賽的要求。而筆者求出的結果也僅僅是在一系列預先假設最理想的情況下得到的，其實際運動過程下的功率與時間的求解過程更加復雜，希望哪位同仁能運用更好的方法來解答此題，以饗大家。
這是一道涉及力學機車啟動問題中最普通不過的題目，但它反映出來的問題仍舊值得我們深思——命題的科學性。教育是來源于實際并指導實際的，這兩者相互依存，缺一不可。物理學在實踐中的應用更是非常廣泛，生活中處處有物理，而學生在學習物理的過程中覺得枯燥與高深，就是一直以來，我們物理教學以單純理論知識尤其是高中物理更側重于解題技能，從而導致物理嚴重脫離實際的原因。物理創新試題考查是新課程實施考核的必由之路和方向，但這需要我們命題人多方論證和用心命制。愿本文能再次引來物理界同仁的共鳴和重視。
參考文獻
［1］ 王世江．對2009年一道高考物理試題科學性的質疑［J］．物理教師，2010，31（2）．
［2］ 吳月江．燈泡會亮嗎？——對2008年高考物理試題第8小題的探討［J］．物理通報，2009（1）．
(責任編輯 黃春香）
