高中數學的函數思想及其應用研究

王一帆

沈陽師范大學

高中數學的函數思想及其應用研究

王一帆

沈陽師范大學

人們越來越重視對函數的研究，而函數思想的運用是現在研究更為關注的內容，在高中數學中,函數是數學學科的理解難點也是最重要的一個知識點。函數思想也是對學習數學整個學科的知識的掌握有著直接影響的思想內容，對高效率的提高數學學習有著積極的影響。其中,函數思想現在被廣泛應用到很多領域與學科的學習，其系統性以及變量的性質使之對于解決很多問題都有幫助，另外函數思想對培養人們的分析、邏輯以及思維能力都有著非常明顯的作用。

高中數學；函數；思想；應用

一、高中數學的函數思想內涵

函數在高中數學的整個學科中的地位都是一個核心軸線，高中知識點集合、函數是高中數學的基礎知識點。函數思想也就是指一種思維，是指人們在利用函數的變量思維應用到各個學科的總稱。[1]按照內在聯系的不同則分為”數形結合”思想、歸一思想、“分類討論”、思想，以及“變量”思想，“分析歸納”思想等，不僅被應用到中學數學以及高中整個數學學科教學當中，也被商場企業運用到了企業利潤實際問題當中，在日常生活中三角函數、一元二次函數、冪函數、指數函數等的運用，比較常見的是用商場打折促銷利潤等問題以及在建筑設計三角函數的應用，在實際生活以及教學中都有著不可替代的優勢。

二、掌握函數思想的重要性

函數思想中的數形結合思想以及分析、邏輯、歸納等思想對于數學思維的能力的提高都是具有很大的幫助作用。現在的高考對于學生能力的考察不再是簡單、無序的知識的考察，更加側重的是對反向思維以及推理、分析能力的側重，更多的是對函數的內在本質的挖掘與考察。創新體型的設計、以及思維能力的側重、對于數學知識在實際中是否能夠很充分理解和實際應用為重點。它作為近代數學的主線與主要基礎，函數的思想對于初中學生的數學思維能力的培養是緊密相連的，同時，函數中的對于抽象與個體之間關系的規律可以對于生活中的實際問題結合，并且函數思想堅持變化的觀點、“一個量是隨著另一個的改變而有所變化影響”的，這樣的實際應用。[2]例如：一元二次函數在商場準備促銷時候的運用，當降價10元就可以多賣出50件，但是降價不可能一直降價，就需要考慮當降價隨著什么因素有所變化，而作出調整變化，降到多少元才可以利潤最大！這樣的實際應用，活躍了思維，學到了知識，鍛煉了自己的思維與解決問題能力的同時，也說明了函數思維彰顯的思想與思維魅力是可以應用到很多領域去解決問題。

三、函數思想的應用

掌握好了函數的思想，如果將理論與實踐完美結合那樣就會有更大的實際價值。新一輪的課程改革的數學教學的新課程標注對于函數主線地位的重視以及高考中對數學學科的思維能力考察的轉變，以及經濟的發展形式競爭的加劇、企業利潤最大贏利也可以通過函數思想去解決。另外對于科技的發展運用得好，也會推動其他領域的發展。下面論述運用最為廣泛的函數來分析師及解決問題起到的事半功倍的效果與作用。

（一）“數形結合”思想在中學數學教學中廣泛的運用

在中學數學的教學中，對于“數形結合”、“變量”的相互影響關系、“抽象的化歸思想”、“轉化”、“分類”思想不僅對于學生掌握知識變得統一，更是一種思維的訓練與提高的過程。[3]函數的單調性解決不等式、函數與數列、函數的思想對于解決方程根的分布問題。函數與解析幾何等等都會應用到。但是傳統的教學中，重視表層知識的學習的現象弊端太多，數學學科是一種抽象思維的學習學科，不同于語言思維，過于感性化，不夠嚴謹與理性，而數學思維是抽象性、理性嚴謹的知識體系學科，如果不注重思維學習的方法，是不能達成教學效果和目標的實現的，不利于對于數學學科的學習。難以提高。但是，也不能將函數思想強調的過于重要，因為如果只有思想而沒有基礎數學知識的前提，那就會脫離開來，變得不扎實，而流于形式，不能體會到深層實質的掌握。例如：對于一元二次函數、冪函數、指數函數等體現的思想在中學教學中可以“數形結合”思想，

（二）“變量思想”在實際商場利潤中的應用

函數的解析式、函數圖像、變量的的數學模型中對于“數形結合”思想、以及變量中的相互依賴影響的模型可以幫助理解抽象的問題。不論是待定系數法，以及分類討論法都會在實際生活中有很大的應用。例如：已知某服裝行業商品進價是20元，賣價是40元，一個月賣300件，如果價格調整降價，就會多賣出50件。那在這個問題中：如何利潤最大呢？可見，在具體實際中的函數分析與思考：就是總利潤=單價利潤×數量，在這個問題中，總利潤要思考是不是一個變量，要列出函數關系式這樣的問題就會迎刃而解了。

（三）“轉換思想”在建筑設計中的應用

將實際問題轉化，運用函數的思想去解決。一次函數、指數函數的模型等結合著實際例子體會變量。數中的“劃歸思想”、轉換以及“數形結合”的思想不僅在教學中有用，利用函數的性質來分析其他領域也是有創新與解決問題的效果的。對于三角函數的應用，函數列方程，建立數學模型解決實際問題有很大的幫助。例如：對于建橋梁的問題的實際應用中，那么就要考慮函數的定義域問題，以及奇偶性的問題，這樣對于函數思想的扎實掌握對于實際問題的解決作用是很大的。

結論

函數思維培養對于解決教學中國的解題以及生活中實際應用都是一個嚴密性思維過程應用的最好體現。思維具有靈活性、動感性數的概念，函數包含的數學思想與方法是數學領域中解決問題環節最好的運用手段。“數形結合思想”“分類討論思想”、待定系數法、以及知識點“一次函數、二次函數”等一系列思想、知識、方法都值得我們研究、學習與掌握。有了函數的思想對于解決實際問題以及新課程數學教學過程的目標要求中，都是一個有力的工具，提高學習的效率的同時，培養一種解決問題的能力應用到實際生活中。

[1]李長明，周煥山.《初等數學研究》[M].北京：高等教育出版社（自）1995.1:132-181.

[2]陳素貞.冪函數、對數函數、指數函數教學方法的討論[J].職業教育研究.2005(08)75.

[3]錢佩玲，馬波，郭玉峰，張丹.《高中數學·新課程教學方法》[M].北京：高等教育出版社（自）2007(03)88-120.

王一帆（1994-），女，遼寧省海城市，沈陽師范大學，數學與系統科學學院，數學與應用數學專業。