借題發揮，上好專題復習課

石慧英

[摘 要] 專題復習課是初三數學進行二輪復習教學時的一種重要課型. 要想在復習課中真正提升學生的數學能力，可采用“借題發揮”專題復習方式，這樣也許能引導學生從更高的角度理順知識的內在聯系，促成學生認知模式的再次重組，起到意想不到的復習效果.

[關鍵詞] 二次函數；一元二次方程；借題發揮；中考專題復習

二次函數與一元二次方程均是初中數學的核心內容，它們之間聯系緊密，下面筆者就如何借題發揮，上好這樣一節中考專題復習課，談談自己的一些做法與思考.

“拿一個有意義且不復雜的題目去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域！”基于這樣的教學理念，我對本節課的教學設計可用“一道題”“兩句話”“五個環節”來概括：設計一個典型問題，拉長過程、慢中求真，在一說、二想、三解、四變、五反思中達成教學目標！

教學策略

搭建問題“腳手架”，利用問題串驅動教學生成.

教學環節

1. 環節一：說

例題 ？搖已知拋物線y=（x-m）（x-n）與直線l交于A（a，-1），B（b，-1）兩點，且點A在點B左側，m-n=-3.

問題設計：（1）根據題目的敘述，請同學們說一說題目的已知條件，不妨用筆劃出關鍵詞.

（2）可以聯系哪些知識點？

（3）同學們認為題中還有哪些隱含條件？

設計意圖？搖 弄清題意是正確解題的第一步，此環節設計3個小問題引領學生思考并分析已知條件，挖掘隱含條件. 所謂隱含條件，是在題目中未明確表達出來而客觀上又存在的條件，隱含條件隱藏得較深的題目，往往會給學生造成條件不足的假象，但如果能仔細分析、推敲，就可以將其挖掘出來. 審題過程中，若能及時發現和運用隱含條件，就可以迅速地達到解題目的，使解題過程更為流暢，如本題中隱含的條件有a，b是方程（x-m）（x-n）=-1的兩根，這條拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是3，直線l的解析式為y=-1等.

2. 環節二：想

問題設計：（1）根據題目提供的這些條件，同學們想一想能解決哪些問題或得出哪些結論？不妨寫下你的這些問題或結論！

（2）哪些同學愿意匯報一下你的發現？

①寫出直線l的解析式；

②判斷a，b，m和n的大小關系；

③求線段AB的長.

設計意圖？搖 學生通常所解的問題，條件與結論都是直接給出的，所要處理的只是打通已知與未知之間的通道，并將其連接起來，但在本題的教學中，我只是先出示條件，而不給出問題，讓學生分析現有條件與哪些知識點有聯系，根據這些知識能解決哪些問題或發現哪些結論. 對學生而言，這就有了探究的意味. 從某種角度來說，我認為提出問題的能力比分析問題、解決問題的能力更重要，因為“聯想的寬度決定了解決問題的開放度”.

3. 環節三：解

問題設計：（1）同學們提出的問題都非常值得研究，現在一起來看看這樣一個問題應該如何解決，即求代數式m-a+的值.

（2）請同學們根據剛才的分析，嘗試解決上述問題.

（3）你還有不同的解決方法嗎？

問題解決：解法一，由已知易得a，b是方程（x-m）（x-n）=-1，即a，b是方程x2-（m+n）x+mn+1=0的兩根，所以Δ=[-（m+n）]2-4（mn+1）=（m-n）2-4=5. 因為a0. 所以m-a+=a-m+n-b=3-.

解法二，因為m，n為開口向上的拋物線y=（x-m）（x-n）與x軸的兩個交點的橫坐標，a，b為此拋物線與直線y=-1的兩個交點的橫坐標，結合圖形（圖略）易知m

解法三，同解法二可得m

設計意圖？搖 鼓勵學生一題多解，分別從不同的角度去思考，如利用一元二次方程的求根公式，或利用一元二次方程根與系數的關系，或數形結合，或利用拋物線的平移等，為學生充分提供解題過程的開放空間，全面復習二次函數與一元二次方程的關鍵知識，深刻理解拋物線與直線交點的代數意義以及一元二次方程的根的幾何意義.

4. 環節四：變

師：這個問題的解決我們主要應用了一元二次方程根的幾何意義是拋物線與x軸的公共點的橫坐標，以及直線與拋物線有公共點的代數意義是對應的解析式組成的方程組的根，解決問題的過程中應認真審題，分析已知，挖掘隱含，發散思考，善于轉化，注意分類，數形結合！老師對此題稍作改變，大家觀察一下，與剛才的問題相比，發生了什么變化？

變式？搖 已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與直線l： y=t 交于C，D兩點（點C在點D左側）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△ABC的面積為10，求t的值；

（3）若CD=2，求C，D兩點的坐標.

思考：若△OCD為直角三角形，求t的值.

師：對于第（1）小題，你有幾種解法？

生：解法一，將（-1，0），（3，0）代入拋物線解析式可得a-b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=-1，b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法二，令ax2+bx+3=0，由韋達定理可得-=-1+3，=-1×3，解得a=-1，b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法三，由已知得y=a（x+1）（x-3），且拋物線過點（0，3），所以-3a=3，解得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

師：說說下面兩位同學關于第（2）小題的解答是否正確？為什么？

甲同學的解答——由已知得AB=4，因為S=10，即×4t=10，所以t=5.

乙同學的解答——由已知得AB=4，因為S=10，即×4t=10，所以t=±5.

生：不正確. 正確解答如下：由已知得AB=4，S=10，即×4×t=10，解得t=±5，因為拋物線與直線有兩個交點，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，所以4-4（t-3）>0，所以t<4. 所以t=-5.

師：如何求解第（3）小題？

生：解法一，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，解得x=，所以CD=-=. 因為CD=2，所以4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的兩根為0，2，所以C（0，3），D（2，3）. 解法二，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，因為CD=2，所以CD2=4，即（x-x）2=4. 所以（x+x）2-4xx=4，即4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的兩根為0，2，所以C（0，3），D（2，3）.

師：對于思考題，如何思考？

生：易知∠ODC<90°，所以若△OCD為直角三角形，則∠OCD=90°或∠COD=90°. ①若∠OCD=90°，則點C在y軸上，為拋物線與y軸的交點（0，3），此時t=3；②若∠COD=90°，設直線CD與y軸交于點H，則易證△OHC∽ △DHO，于是OH2=CH·DH，即t2=-x·x=3-t，解得t=. 綜上可知t=3或t=.

設計意圖？搖 在解決問題時通過引題設計，搭建問題“腳手架”，讓學生突破難點，思維能拾級而上，直到最后解決問題. 通過變式訓練，發現變式題與例題的共同點都是拋物線與直線的交點問題，不同之處在于例題中是動拋物線與定直線，而變式中則是定拋物線與動直線，鼓勵學生發散思維，分類討論，一題多解，一題多變，多題歸一.

5. 環節五：反思

師：知識求連，方法求變！今天我們由一個問題的解決說開來，借題發揮，上了一節課，同學們不妨思考一下：這個問題的解決涉及哪些數學知識？運用了哪些數學思想方法？對我們今后的學習有什么啟發？請大家暢所欲言，與同學們分享一下你的收獲！

師：同學們還有什么疑問嗎？

設計意圖？搖 一節課的成功不僅在于課前的精心預設，在于課堂的精彩生成，更在于課后給學生留下什么，而這與課堂結束前的師生共同小結密不可分. 當下許多課堂小結行至最后常會由于時間關系“草草收兵”，學生沒有了“回頭看”，沒有了“再反思”，沒有了“提疑問”，那么所謂的收獲恐也只剩套取解題模式罷了！故本節課最后筆者給足時間讓師生共同小結，厘清涉及的數學知識、應用的思想方法，啟發學生，并鼓勵學生勇敢地提出自己的疑問！

反思

瑞士教育家裴斯泰洛齊曾說過：“教育的主要任務不是積累知識，而是發展思維. ”我以為，數學中考專題復習課同樣不僅僅是幫助面臨中考的學生復習數學知識，讓他們去掌握、鞏固和彌補在新授課時沒有很好解決或解決不了的問題，它更大的空間應該留給孩子在復習課上獨立思考與合作交流，感悟數學思想，積累數學活動經驗，進一步感受其與新授課不同的風景.endprint