如何培養學生數學學習的反思能力

周安飛

[摘 要] 學習是學習者自我建構的過程，培養學生的數學學習反思能力至關重要，我們不妨從概念、解題過程、章節小結、做課堂筆記等多方面進行反思.

[關鍵詞] 數學；反思；引導

學習是自我建構的過程，誰也無法代替他們真實的學習體驗，也不可能僅靠老師越俎代庖式的灌輸講授方式就能喚起他們的深度共鳴，所以，關注學生對所學數學知識的產生過程和內容進行反思，了解他們重構已有的理解的實際狀態，成為數學老師的一項神圣的使命.

引導學生對概念進行反思

數學概念是對數學現象最為本質的描述，是學生學習數學的基礎性工具，包括基本的數學術語、定理、公理、過程性語言等. 學生只有對這些概念全面、精準、深入地理解，把握其產生的過程和具體的表現形式，了解其內涵和外延，才有可能做到靈活運用，順利地解決實際問題. 引導學生反思概念的學習，就是讓他們理解概念的產生、驗證、運用方面可能的表現形式和存在的問題，避免進入誤區.

比如九年級上冊“一元二次方程”這一節，學習結束后，筆者出了幾道題目，讓他們判斷下列式子哪些是一元二次方程，哪些不是，為什么？題目如下：①（x-5）2=16；②x2-4x+1=0；③x3-2x2-3x=0；④x2+3y=10；⑤x+6=9.

所有的學生都排除了③④⑤，但不少學生認為只有①才是一元二次方程. 筆者追問為什么時，學生能根據書本“像這樣的方程叫做一元二次方程”進行說明. 于是筆者幫助學生再次梳理出滿足“一元二次方程”的所有條件，解釋清楚“像這樣”所包含的意義. 之后，筆者再次追問②為什么不是一元二次方程呢？學生以書中舉出的四個例子為據說明. 筆者隨即引導他們再次尋找判斷一個式子是不是一元二次方程的充要條件，最后小結. 原來，這部分學生忽略了書本中關于一元二次方程的關鍵性解釋，即“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2”. 但是，該表述并沒有規定方程右邊的數不能為0，所以學生忽略了對相對較為抽象的一般式的理解（所有的一元二次方程都可以轉換成一般式），也忽略了“方程”這個前提概念，那么②自然是方程，且滿足了所有的條件，為什么不是一元二次方程呢？有了這樣的引導，學生即掌握了“一般式”這個判斷樣本.

引導學生在解題中進行反思

解數學題是數學學習最重要的形式，學生最容易出現錯誤，教師可引導學生學會反思，進而提煉出典型題，舉一反三，提高解題能力，總結易錯題，進而提高解題正確率，例如：

例1？搖 已知關于x的函數y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍.

典型錯誤？搖 由題意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-.

錯因剖析？搖 題目涉及方程、函數等概念. 既然題目把給定的方程式看做函數，而沒有特別強調是“二次函數”，那么，如果把該方程式當做二次函數來解題，它必須滿足二次項系數m-4≠0這個條件. 但是上面的解題卻忽略了這一要求，直接把給出的式子當做二次函數，這說明這位學生沒有完全弄懂題目的條件和隱含的解題要求，分析題目不精準，導致解題結果不全面，且有誤差. 其實可分為兩種情況解題.

正確答案 （1）當m=4時，該函數為y=12x+5，是一次函數，且與x軸有一個交點.

（2）當m-4≠0時，該函數為二次函數，與x軸可能有一個交點，也可能有兩個交點，所以Δ≥0，即Δ=4（m+2）2-4（m-4）·（m+1）=28m+32≥0，解得m≥-且m≠4.

綜上，當m≥-時，函數y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的圖象與x軸總有交點.

與之相反，解答數學問題的典型例題具有標本性的作用，可以以一當十，所以可以引導學生識別、整理典型題，發現知識點內在的規律性和關聯性，形成一系列相似題目的解答思路，破解有關此類題的難題，同時避免重復演習類似題目，從題海中解脫出來.

引導學生在章節小結進行反思

數學反思不能僅限于某個點或某個環節的學習，還要對整個章節的學習進行反思，以發現知識的內在聯系，提高對概念、定理等的理解力，開闊數學視野.

例2？搖 筆者在教授蘇科版《實驗教材·數學》九年級上冊“2-2 圓的對稱性”（第一課時）時是這樣引導學生的：

師：同學們，學完了本課，大家談談自己的收獲吧！

生1：我知道了有關圓的對稱性質這個知識.

數學知識必須記死，但不能死記，須采用數學方法進行記憶. 筆者隨即出示圖1，帶領大家口述驗證相關的知識，這樣就從過程感知的角度，再一次加深了理解和記憶，將剛才零碎的知識形成一個連續的動態演繹的過程，更新了有關圓的知識. 這樣，他們在日后的應用中腦海里就會浮現學習的情境.

師：知道這些有什么價值呢？

生2：可以引申出一些定理，和其他知識結合起來，解決有關的數學問題.

筆者問到這里，隨即設計幾道簡單的數學問題，使學生看到知識的運用情境. 經過這兩個層次的引導，學生就會對本章節的學習有一個整體印象，經歷從知識的輸入到能力的輸出的過程，升華了數學學習內容.

運用課堂筆記與錯題集加強反

思學習

課堂筆記、錯題集是寶貴的學習資源，既能幫助學生記憶知識，儲存數學典型例題，起到標本的作用，又能幫助學生不斷地反思自己的數學錯誤，時刻警醒他們注意避免先前遭遇的陷阱，避開障礙，打開思路.

學生利用課堂筆記，就可在有限的篇幅內掃描更多的知識點，產生連鎖記憶，便于將某一章節的知識和整個學期、乃至學年的知識聯系起來，以提高對知識的深度解構，培養更縝密的數學思維，形成更深刻的數學思想，獲得更強的數學能力.

制作錯題集，除了分成方程、圓、不等式等大類之外，還可以對每一個大類進行細分，如概念性錯用類、思路受阻類、非技術性錯誤類等. 另外，還要注意錯題信息的完整性，如完整的題目、簡要的解題過程、正確的解法等，便于查閱.

長期做課堂筆記和收集錯題，其實就是培養科學的研究方法，使學生形成反思能力.

引導學生在數學交流中形成反

思的習慣

積極搭建交流平臺，努力引導學生課下自主交流，課上展開師生對話、生生對話等形式，這樣能更加直接、充分地反思，彼此的關注點、疑惑點也會充分暴露，學生借此機會可以自我矯正、自我完善，教師借此機會可以發現學生存在的問題，及時修補、糾正，點撥反思數學學習的方法，解決數學思維活動的模糊、無序和乏力的狀態.

例3？搖 在正方形ABCD中，點E，F分別在AB，BC上，且AE=BF，AF與DE交于點G. 從所給的條件中，你能得出哪些結論？為什么？

師：大家稍微分析一下這個題目，便會發現，運用SAS很容易得出△ABF≌△DAE，可知對應邊相等，對應角相等. 那么，如果AB=AD=1，要求DE2-BF2，如何求呢？

生：從△ABF≌△DAE可得到BF=AE. 由于AB=AD=1，所以DE2-BF 2=DE2-AE2=AD2=1.

……

由此觀之，執教者沒有直接采取講解的方式教學，而是通過點撥、啟發，引領學生思考，在對話中引導學生反思解題的關鍵所在. 這樣就能幫助他們厘清題目牽涉的知識，學會運用數形結合的思想，破解解題之困，探索出解題路徑.

總之，培養學生的數學學習反思能力，就能以“合適的視角將知識串聯起來、整合起來，使基礎知識結構化，達到‘拎起來成一串，撒下去鋪一片的效果”.endprint