基于極值BMM模型的石油價格極端風險度量研究

劉飛+鄭曉亞

[摘要] 利用WTI日對數收益率數據估計一般極值分布參數，并根據極值BMM模型計算石油價格極端值風險。實證結果表明，在95%的置信水平下，由BMM模型度量的石油價格風險低于正態模型的相應度量值，而在99%的置信水平下，BMM模型對風險的捕捉則顯著優于正態分布。上述結論表明，BMM模型在較低置信水平其效力雖不及正態分布VaR模型，但在高置信水平下能更好地捕捉分布的厚尾特征。因此，對于石油風險管理者而言，BMM模型將是測度石油市場極端風險較好的選擇。

[關鍵詞] 極值理論;BMM模型;石油價格;風險度量

[中圖分類號]F810

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1673-5595（2015）04-0007-07

一、引言

近代以來，石油已經成為一國經濟發展最重要的戰略資源之一，素有“工業血液”之稱。從1993年起中國開始成為石油凈進口國，伴隨經濟的快速發展，近年來供需缺口不斷增大，對外依存度不斷提高。在此背景下，國際市場上劇烈的油價波動難免會對中國宏觀經濟運行以及企業單位的生產經營產生較大沖擊。如在新加坡上市的中航油公司由于違規參與石油期貨的投機交易，造成55億美元的巨額虧損。究其原因，主要是因為中航油公司對價格判斷失誤，內部沒有完善市場風險防范措施，未能及時止損。目前，為規避石油價格波動帶來的市場風險，許多國家推出了諸如石油期貨、期權①在內的多個石油金融產品來分散市場風險。自1998年中國原油價格與國際接軌以來，為應對短期石油價格波動帶來的巨大風險，國內企業紛紛借助國內和國外石油金融產品來減少石油交易風險，而加強市場風險研究、強化管理是較好規避石油價格波動風險的重要途徑之一。因此，如何有效度量石油市場價格波動的極端風險，減少石油風險對宏觀經濟運行、企業生產經營產生的不利影響，保證中國經濟的穩定快速發展，是當前面臨的一項重要課題。

在石油市場價格風險方面，因極端事件發生的風險概率雖然很低，但其引發的極端市場風險卻損害巨大，對風險管理者而言，如何有效監測極端風險也就顯得十分重要。本文利用WTI日對數收益率數據估計一般極值分布參數，并在此基礎上根據極值BMM模型開展石油價格極端值風險的度量研究。

二、文獻回顧

風險度量，即風險的定量化計算。最開始的風險度量方法（名義值方法、敏感性方法、波動性方法）由于包括大量計算且不能為金融機構高管及監管人員提供一個關于整體風險的完整圖像，已越來越不能滿足金融市場度量風險的要求。這時，人們希望有一個簡單的指標能夠完全反映其在某一特定市場價格變動和某一特定期間下持有一定頭寸的金融資產組合所帶來的可能損失額。在此背景下，VaR風險度量方法應運而生。該方法將金融風險測度為一個確定的值，因其直觀簡捷，廣為學界和業界所接受，已成為現在最流行的風險度量方法之一。

在石油價格風險度量方面，國外學者更傾向于對風險度量技術的分析，比如：Cortazar和Schwartz所構建的石油期貨價格隨機波動模型，它對樣本內外數據均有很好的擬合能力，能夠較好地及時規避價格波動帶來的風險。[1]Cabedo和Moya在進行VaR測算時，通過標準歷史模擬法、具有ARMA預測的歷史模擬法以及方差協方差法的對比分析發現第二種方法能夠有效地量化風險。[2]而Giot和Laurent在對Brent 和WTI現貨日價格進行風險測算時，分別利用了Risk Metrics、Skewed TAPARCH 以及Skewed TARCH三種模型，他們認為Skewed TAPARCH法在兩種商品價格風險度量中表現最好。[3]在國內，相關研究則更多地集中在價格風險測度以及相應的政策措施方面：馮春山等發現國際石油價格呈現較為明顯的ARCH效應，認為石油企業應通過降低經營成本，建立以期貨交易為主要手段的風險采購屏障等措施來規避價格風險。[4]潘慧峰和張金水的研究顯示，極端情況國內原油價格的上漲風險平均水平要高于下跌風險的平均水平。[5]余煒彬等在研究原油市場規律的基礎上，提出了一種對WTI現貨價格進行預測的人工智能模型，這個模型能夠運用歷史數據檢測原油價格風險。[6]在風險測度模型的選擇上，張意翔等在對中國石油企業跨國并購的價格風險進行評價時認為，在976%的置信水平下，預測VaR值比實際值要大得多。[7]周瑩和焦建玲基于GARCHVaR模型研究了石油價格風險，估計結果顯示，GARCHVaR模型的估計結果比傳統VaR結果更準確。[8]

然而，傳統VaR方法對極端事件風險考慮不足，容易造成尾部風險的低估。極端事件發生的概率雖然很低，但其引發的極端市場風險卻損害巨大，有時甚至是災難性的，故對風險管理者來說，極端事件尤為值得關注。[9]為此，學者們將極值理論引入VaR度量中，利用其厚尾估計優勢，修正傳統VaR方法的不足，以便更準確地捕捉尾部極端風險。從上述國內外現有文獻分析來看，現有研究中較少運用極值VaR方法去研究極端情況下的石油價格風險問題。因此，本文運用極值理論VaR模型度量石油價格波動的市場風險屬較新的嘗試。

中國石油大學學報（社會科學版）2015年8月

第31卷第4期劉飛，等：基于極值BMM模型的石油價格極端風險度量研究

三、石油價格極端風險度量實證分析

極值理論是度量極端條件下市場風險的一種方法，具有超越樣本數據的估計能力，并可以準確地描述分布尾部的極端風險。它主要包括兩種模型：區間極大值（Block Maxima Method， BMM）模型和越檻高峰 （Peak Over Threshold， POT）模型。本文運用BMM模型度量石油價格波動的極端風險VaR。為了便于開展實證分析，首先進行理論和方法介紹，根據有關文獻簡要說明分布形式、理論假設、BMM模型以及相應的VaR公式[910];其次，為確保實證結論有效性，對BMM模型的適用性進行檢驗;最后，得到參估及檢驗結果。

（一）極值定理及核心假設

假設金融資產收益率序列r1，r2，…，rn是獨立同分布（iid）隨機變量，n為樣本容量，F（r）是未知總體分布，r*n 為區間極大值，若存在常數序列an>0、bn∈R和非退化的分布函數族F*（r），滿足

Pr*n-bnan≤rdF*（r） ?（1）

則稱F*（r）為一個極大值分布族，其中，d表示弱收斂于某分布;an是尺度序列，表示離散程度，相當于標準差;bn是位置序列，表示集中趨勢，相當于平均數。極大值分布族F*（r）包含了三種類型的極限分布。為了避免模型預設錯誤，可以經過變換，將三種類型分布族歸納為以下一個單參數的分布族。

F*（r，ξ）=exp-（1+ξr）-1ξ， ξ≠0

exp（-exp（-r））， ξ=0 ?（2）

式中，當 ξ≠0 時，1+ξr>0， α=1ξ，滿足式（2）的F*（r，ξ）稱為廣義極值分布（generalized extreme value distribution，簡記為GEV分布）。當引入位置參數μ和尺度參數σ后，GEV分布F*（r，ξ）擴展為具有三個參數的分布

F*（r，μ，σ，ξ）=exp-1+ξr-μσ-1ξ， ξ≠0

exp-exp-r-μσ， ξ=0 ? （3）

式中，ξ為形狀參數，稱之為GEV分布的極值指數（extreme value index，EVI），ξ值越大則尾部越厚。

（二）模型介紹

BMM模型一般應用上述GEV分布處理樣本極值，具體步驟如下。

第一步，樣本區間的劃分。

對于給定的樣本若只有一個最大值，而由于GEV分布包含三個參數，僅有一個最大值無法進行參數估計，因此本文采用文獻中經常運用的區間取值法（Block Method），即將總樣本r1，r2，…，rn分割為若干互不重疊的子樣本區間：[r1，…，r1+k]，[r2+k，…，r2+2k]，…，[rm+k，…，rn]，然后針對每個區間取最大值，當k充分大時，我們希望極值理論對每個子樣本都適應。在應用中，k的大小由實際情況來決定。例如，日收益率k=21近似對應于1個月的交易日數量，k=63近似對應于1個季度的交易日數量。

第二步，GEV分布參數的估計。

GEV分布參數的估計方法很多，例如極大似然法、回歸方法等。本文采用極大估計方法計算位置參數μ、尺度參數σ、形狀參數ξ。

令r1n，r2n，…，rmn 表示區間j=1，…，m的極大值。

則當ξ≠0時，擴展GEV分布的極大似然函數為：

Ln（ξ，μ，σ）=-mlog（σ）-

1+1ξ∑mi=1log1+ξrin-μσ-∑mi=11+ξrin-μσ-1ξ ?（4）

當ξ=0時，擴展GEV分布的極大似然函數為：

Ln（ξ，μ，σ）=-mlog（σ）-∑mi=1rin-μσ-

∑mi=1exp-rin-μσ ?（5）

由于對數似然函數方程（4）、（5）不存在解析解，可以運用非線性估計程序來得到位置參數μ、尺度參數σ、形狀參數ξ的極大似然估計值。理論研究表明，上述估計參數在正則條件下，具有最小方差。

第三步，風險值的計算。

根據參數估計值，本文首先集中討論持有空頭的金融頭寸所面臨的風險，所以感興趣的是右尾分位數。令p*為一個小概率，它表示一個空頭頭寸的潛在損失超過一定限度的可能性，且r*n 為子區間最大值在極限為一般極值分布條件下的p*分位數，則有

p*=1-exp-1+ξ（r*n-μ）σ， ξ≠0

1-exp-exp（r*n-μ）σ， ξ=0 ? （6）

利用式（6）可推導出r*n，

r*n=μ-μξ{1-[-ln（1+p*）]ξ}， ξ≠0

μ-σln[-ln（1+p*）]， ξ=0 ? （7）

值得注意的是，式（7）只是子區間最大值在極限為一般極值分布條件下的p*分位數，尚不是觀測的極值序列的p分位數VaR。假定資產收益率序列無關，利用子區間最大值與觀測收益率序列之間的關系，可以得到觀測極值序列右尾p分位數的VaR，在式（8）中用VaRU標識：

VaRU=μ-σξ{1-[-ln（1-p*）]ξ}， ξ≠0

μ-σln[-ln（1-p*）]， ξ=0 ? （8）

極小值分布與極大值存在一一對應的關系，即

min{r1，r2，…，rn}=-min{-r1，-r2，…，-rn} ?（9）

利用式（3）、（9），可以進一步推導出觀測極值序列左尾p分位數的VaR，標識為VaRL：

VaRL=-μ-σξ{1-[-ln（1-p*）]ξ}， ξ≠0

-μ-σln[-ln（1-p*）]， ξ=0 ? （10）

（三）數據選取

石油市場的價格風險主要是由石油現貨價格和期貨（期權）價格的波動引起的。其中，原油現貨價格波動是引致風險的主要原因。目前，國際上的原油交易主要以三大原油WTI、Brent和Dubai為基礎，其中以WTI原油市場的影響最廣泛。基于此，本文主要選取WTI原油現貨市場價格進行世界石油現貨市場價格風險的實證研究。本文選取2003年1月2日至2012年9月6日的2500個數據，數據來源于Energy Information Administration。考慮到簡單收益率的非正態性特征，故選取對數收益率形式。令：

Rt=100×lnPtPt-1=100（lnPt-lnPt-1），t=1，2，… ?（11）

式中，Pt為t時刻的原油出售價的觀察值，為便于計算，將Rt放大100倍。

（四）BMM模型適用性檢驗

BMM模型的運用依賴于WTI收益率數據是否滿足其模型條件。為此，首先需要做正態性檢驗、序列相關性檢驗、平穩性檢驗。

1.正態性檢驗

利用已觀測數據作為樣本，計算得到WTI日收益率描述性統計，見表1。從表1可以看出，均值較小，標準差卻較大，偏度為負，呈左偏;峰度值大于正態分布的峰度值3，表現尖峰形態;符合通常資產收益率分布的尖峰、厚尾、偏態特征，均值附近與尾部的概率比正態分布大，介于均值附近與尾部的中間過渡部分的概率比正態分布小。JB統計量顯著拒絕正態性假設。

表1WTI收益率描述性統計

統計量統計值統計量統計值

均值005標準差168

中位數016偏度-037

最小值-843峰度655

最大值1280JB統計量1370

為了直觀地呈現WTI價格走勢以及收益率的變化情況，本文分別繪出了WTI價格走勢圖和日收益率序列變化圖，見圖1、2。從圖1、2中可以看出，石油價格雖然在2008年金融危機時明顯下降，但總體表現出逐步增加的趨勢。日收益率除2008年波動較大外，其余年份均較為平穩。

圖1WTI價格序列走勢

圖2WTI收益率序列的變化

2.序列相關性檢驗

對WTI日收益率進行LjungBox檢驗，結果見

表2。由表2可知，WTI收益率存在明顯的序列相關性，因此，WTI收益率不滿足極值類型定理要求的序列獨立性要求。

表2WTI價格序列Ljung-Box檢驗

滯后期數自相關系數偏自相關系數Q統計量概率P值

102102811546000

2001-00811566000

300600712489000

400400612837000

3.平穩性檢驗

最常用的平穩性條件的檢驗是單位根檢驗，主要有ADF檢驗、PP檢驗、DFGLS檢驗等。由于是日收益率數據，本文采用不帶漂移項和趨勢項的ADF檢驗、PP檢驗，見表3。結果顯示WTI日收益率序列的t統計量值均大于這兩種檢驗顯著水平為1%時的臨界值，故拒絕存在單位根的原假設，即該序列是平穩的。

表3WTI收益序列的平穩性檢驗

ADF檢驗t統計量P值-3322000PP檢驗t統計量P值-3353000

臨界值1%顯著性水平-343

5%顯著性水平-28610%顯著性水平-257

臨界值

1%顯著性水平-3430

5%顯著性水平-2860

10%顯著性水平-2570

以上檢驗表明，WTI日收益率序列非正態、非獨立但具有平穩性。極值類型定理要求數據相互獨立，故不滿足傳統極值類型定理的條件。但隨著研究的深入，人們認識到極值理論條件可以放松到弱序列相關的觀測值。假定rt的自相關函數是平方可積的（即∑∞i=1ρ2i <∞，其中ρi是rt的滯后i的自相關函數），1964年Berman證明了極限極值分布的同樣形式對平穩非正態分布也成立。BMM模型是按子樣本區間取極值，只要子區間足夠長時，滿足平穩分布條件的序列，就符合自相關函數符合平方可積條件，故可以認為WTI日收益序列符合BMM模型條件要求。

（五）GEV分布參數估計與擬合檢驗

當子區間長度為21天時，WTI收益率可得到119個極值數據。極值數據平均間隔約30天，大約對應于1個月，可基本滿足BMM模型條件要求。圖3、4分別為WTI收益率子區間最大值與最小值對數收益率的變化圖。

下面對WTI收益率應用最大似然法來估計一般極值分布的位置參數μ、尺度參數σ、形狀參數ξ，表4概括了子區間長度為1個月和1個季度的估計結果。由表4可以得出以下觀測結果：當k增加時，參數μ、σ變大是可以預料的，因為子區間最小值和最大值的期望值是k的非減函數;形狀參數的估計結果不夠穩定，主要原因是k=63時的子區間長度較小，致使結果具有一定的可變性。

圖3WTI收益率區間最大值的變化

圖4WTI收益率區間最小值的變化

一般來說，BMM模型會受子區間長度的影響，子區間較長時，極值數據較少，對厚尾的刻畫精度較高，但擬合誤差也隨之增大，故需要對子區間長度進行擬合檢驗。為了直觀呈現擬合效果，本文分別繪制WTI收益率分布左、右尾散點分布圖以及殘差QQ圖，詳見圖5～8。在殘差散點分布圖中，擬合曲線穿過散點最密集的部分，QQ圖大致圍繞直線分布，表明以21天為單位取極值時，BMM模型擬合是合理的。

表4WTI日對數收益序列極大似然估計

收益率子區間

長度位置

參數μ尺度

參數σ形狀

參數ξ

最小

收益率

1個月（k=21， m=119）229083011

1季度（k=63， m=40）293087025

最大

收益率

1個月（k=21， m=119）229116001

1季度（k=63， m=40）313112008

注：在應用中，k的大小由實際情況來決定，例如，對于日收益率k=21近似對應于1個月內的交易日數量，k=63近似對應于1個季度的交易日數量。m表示第m個子區間。

圖5WTI收益率左尾殘差散點分布

圖6WTI收益率左尾殘差QQ圖

圖7WTI日收益率右尾殘差散點分布

圖8WTI日收益率右尾殘差QQ圖

（六）VaR估計與檢驗

在上述參數估計的基礎上，計算95%和99%置信水平下的VaR，并與正態分布VaR相比較，計算結果見表5。為便于區別，分別用VaRB、VaRN表示BMM模型和正態分布模型所度量的VaR。

根據VaR的定義可知，如果收益率rt服從標準正態分布，在置信水平1-α下，VaR的計算公式為：

VaRN（rt）=-Φ（α） ?（12）

式中，Φ（α）為標準正態分布函數的反函數。進一步，根據正態分布及VaR的性質，可得對于服從一般正態分布rt的VaR，則：

VaRN（rt）=μ+σVaRN（εt） ?（13）

表5WTI日收益率的VaR

置信水平

（%）VaRB左尾右尾

VaRN左尾右尾

95221223269282

99421369322335

表5中，95%置信水平下WTI收益率右尾所對應的值VaRB為223，它表示在正常市場情況下，WTI的對數收益率在100天中大約有5次高于223%的情況，表5中其他數據的解釋與此相似。進一步分析表5中的VaR可以發現，在95%的置信水平下，BMM模型對WTI收益率風險估計值低于正態分布VaR模型估計值。而當置信水平為99%時，BMM模型對WTI收益率風險估計值要顯著高于正態分布。這表明在95%的置信水平下正態分布VaR模型會高估WTI收益率的極端風險;在99%的置信水平下，則反之。

因表5中的VaR值分別由BMM模型和正態分布模型計算得到，故需要對其預測結果的準確性進行檢驗。為了檢驗這兩種模型下VaR對實際損失的覆蓋程度，本文采用Kupiec雙尾檢驗法（two-tailed test）似然比統計量LR。這個統計量基于這樣的一個事實：在容量為n樣本中出現m次損失超過VaR的概率由一個二項分布給出。假定VaR中例外發生的概率為p，而在n個觀察日中例外發生了m次，則LR統計量計算公式如下：

LR=-2ln[（1-p）n-mpm]+2ln[（1-m/n）n-m（m/n）m] ?（14）

當n充分大時，LR服從χ2（1）的漸進分布。當例外發生的次數很高或者很低時，由式（14）計算出的統計量會比較大。在χ2（1）分布中，變量的值大于384的概率為5%，因此，式（14）計算出的統計量大于384時，就可以拒絕模型假設。

根據表6的Kupiec檢驗結果，在95%的置信水平下，BMM模型左尾LR統計量是2743，概率P值為000;右尾LR統計量是1606，概率P值為000，表明BMM模型是失效的。正態分布左尾LR統計量是001，概率P值為092，右尾LR統計量是1433，概率P值為001，表明正態分布能夠很好度量左尾風險，而右尾則是失效的。而在99%的置信水平下，BMM模型左尾LR統計量是235，概率P值為013，右尾LR統計量是182，概率P值為018，表明無論是左尾還是右尾，BMM模型都是非常有效的。而正態分布左尾LR統計量是8951，概率P值為000，右尾LR統計量是1554，概率P值為000，表明正態分布無論是左尾還是右尾都是失效的。綜上分析，本文認為BMM模型在高置信水平下能更好地捕捉到分布的厚尾特征，在較低置信水平下則效力尚不及正態分布VaR模型，這和目前有關極值理論研究的一般結論吻合，與田新時、花擁軍等的觀點相同。[1011]

表6WTI日收益率VaR的Kupiec檢驗

模型

VaR

BMM模型VaR（5%）VaR（1%）

正態模型VaR（5%）VaR（1%）

尾部左尾右尾左尾右尾左尾右尾左尾右尾

LR統計量LR的P值

27431606000000235182013018001143309200189511554000000

四、結論及建議

本文利用WTI收益率數據估計一般極值分布參數，并根據BMM模型中VaR公式計算石油價格風險，結果表明，在95%的置信水平下，正態分布對風險的捕捉要略優于BMM模型;但在99%的置信水平下，BMM模型對風險的捕捉則顯著優于正態分布。上述結論說明，BMM模型在高置信水平下能更好地捕捉到分布的厚尾特征，在較低置信水平下則效力不及正態分布VaR模型。因此，對于石油風險管理者而言，BMM模型將是測度石油價格極端風險較好的選擇。

準確度量WTI原油現貨市場價格波動的極端風險有較好的現實意義。宏觀上，對國家控制石油進口風險具有一定的借鑒;微觀上，能夠使石油進口企業更好地規避市場極端風險。本文的研究目的只是為極值理論VaR方法在石油風險度量中的應用起一個拋磚引玉的作用，期望石油風險管理者能夠運用該方法更好地度量極端風險。

石油風險控制是一項較為復雜的系統工作，為了進一步提高石油風險管理水平，本文建議在有效測度石油收益率VaR的基礎上要做好以下幾方面工作：第一，利用BMM模型測度WTI日收益率的VaR，根據模型估計結果，制定可浮動的WTI收益率VaR區間，檢查石油交易頭寸的風險程度并采取必要的交易措施進行市場操作，將石油風險控制在設定范圍內。第二，石油風險度量的基礎在于理論模型，而理論模型與現實之間存在一定的差距，需要定期地進行參數調整與模型優化。要根據石油市場交易信息，結合宏觀經濟狀況和國內外整體形勢對模型設定進行優化，以提升模型預測能力。第三，建立石油供應保險制度，使石油供應中斷的風險由國內外相關用油各方共同承擔。這一思路的提出，是基于現代金融的第二個基本原理，即對不能分散的風險，應由各方共同分擔。第四，改善能源供應環境，多方拓展供應路線（如計劃從俄羅斯、塔吉克斯坦、非洲等地區進口），努力改變目前從中東進口石油為主的格局，實現石油供應區域的分散化。

注釋：

① 中國曾在1993年推出過石油期貨交易，在開市一年多的時間里，總成交額達到1 000億元人民幣，當時列世界第三位，僅次于NYMEX和IPE。后來由于種種原因，中國取消了原油、成品油價格的“雙軌制”，改為國家統一定價。在此情形下國內石油期貨交易被迫停止。目前，國內僅有一款燃料油期貨品種，由上海期貨交易所2004年8月25日推出，石油期貨國內尚未推出。

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[責任編輯：張巖林]

Risk Measurement of Oil Price by Implementing BMM Model

LIU Fei1， ZHENG Xiaoya2

（1.Guangzhou Rural Commercial Bank， Guangzhou， Guangdong 510623， China;

2.Postdoctoral Research Station， Shanghai University of Finance and Economics， Shanghai 200433， China）

Abstract： The paper estimates parameters on the general extreme value distribution using WTI return and we calculate the risk of oil price using VaR formula deduced from the BMM model. The results show that the risk measured by BMM model is lower than by the normal model in the 95% confidence level， and vice versa， in the 99% confidence level. It illustrates that the higher confidence level is the more BMM model which can capture the heavy tail characteristics of the distribution. However， the effectiveness is less than normal distribution in the lower confidence level. Therefore， BMM model will be a better choice to measure the extreme risk for manager in oil market.

Key words： extreme value theory; BMM model; oil price; risk measurement

[收稿日期] 2014-12-31

[基金項目] 山東省軟科學研究計劃一般項目（2014RKE28045）;中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（14CX06042B）