線性代數(shù)課程中 “逆矩陣”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

文/涂正文 吳艷秋 彭揚(yáng)

逆矩陣是線性代數(shù)中非常抽象的概念，學(xué)生學(xué)習(xí)難度較大，本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，淺談逆矩陣的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、引入

在數(shù)的運(yùn)算中我們知道，當(dāng)數(shù)a≠0時(shí)，除以數(shù)a相當(dāng)于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)a-1，有了倒數(shù)這一概念之后，除法運(yùn)算全部轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。對于矩陣而言，是否也存在類似于倒數(shù)作用的一個(gè)矩陣，而且有了該矩陣，就相當(dāng)于有了矩陣的除法運(yùn)算呢?類似于倒數(shù)作用的矩陣又該如何去定義呢?

引入的設(shè)計(jì)意圖:可將抽象的陌生的逆矩陣的概念與熟悉的數(shù)的除法運(yùn)算類比，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉，降低學(xué)生的理解難度。

二、新課

定義1 設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

AB=BA=I

則稱A是可逆矩陣，且稱B為A的逆矩陣;若B不存在，則稱A是不可逆矩陣。

首先指出對于n階方陣A而言，滿足AB=BA=I的矩陣B是唯一的。

將A的唯一的逆矩陣記為A-1，讀作A的逆，即有AA-1=A-1A=I。

設(shè)計(jì)意圖:定義1給出了判定n階方陣可逆以及求解逆矩陣的方法——待定系數(shù)法。

例1 判定下列矩陣是否可逆?若可逆，求其逆矩陣。

例1 的設(shè)計(jì)意圖:例1采用的是待定系數(shù)法，依賴于解線性方程組，不僅判斷出n階方陣A是可逆的，同時(shí)當(dāng)n階方陣A可逆時(shí)，可求出它的逆矩陣。但是隨著方陣A階數(shù)的增大，此法的計(jì)算量勢必增大。

2、逆矩陣的判定定理

例2的設(shè)計(jì)意圖:利用2階方陣的伴隨矩陣的口訣“主對調(diào)，次變號”，教會(huì)學(xué)生快速寫出2階方陣的逆矩陣。

3、逆矩陣的性質(zhì)及結(jié)論

(1)若n階方陣A可逆，則A-1也可逆，且 A-(1)-1=A;

(3)若n階方陣A可逆，則AT也可逆，且(AT)-1= A-(1)T;

(4)若n階方陣A、B都可逆，則乘積AB也可逆，且( A B)-1=B-1A-1;

(5)若n階方陣A可逆，且AB=AC，則B=C;

(6)若n階方陣A可逆，且AB=O，則B=O。

設(shè)計(jì)意圖:與教材相比較，教學(xué)過程中增加了結(jié)論 (5)(6)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要與矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律:

若AB=AC，A≠O，不能推出B=C;若AB=O，A≠O，不能得到A≠O，B=O。

4、利用逆矩陣求解矩陣方程

含有未知矩陣X的方程稱為矩陣方程，有以下三種情況:

(1)矩陣方程AX=B，其中A為n階可逆方陣，則AX=B有唯一解X=A-1B;

(2)矩陣方程XA=B，其中A為n階可逆方陣，則XA=B有唯一解X=BA-1;

(3)矩陣方程AXB=C，其中A，B分別為n階和m階可逆方陣，則AXB=C有唯一解X=A-1CB-1.

設(shè)計(jì)意圖:與引入呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)有了逆矩陣相當(dāng)于矩陣有了類似于數(shù)的除法運(yùn)算。

總結(jié):線性代數(shù)課程教學(xué)，必須重視該課程的抽象性帶給學(xué)生的困擾，教學(xué)實(shí)踐中一定要將陌生的矩陣知識與熟悉的數(shù)的相關(guān)知識結(jié)合進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)--線性代數(shù) ［M］.2007年5月第五版.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù) ［M］.2004年第三版.