圖式理論在平面向量復習中的應用

包道永

【摘要】平面向量的有效復習，可以幫助學生體會數學的內部聯系、數學與實際生活的聯系，以及數學在解決實際問題中的作用。將圖式理論用于指導平面向量的復習，有助于激活和調動學生已具備的代數、幾何、物理知識，有效地內化并成為學生的心理結構圖式。

【關鍵詞】平面向量 圖式 數學模型

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）04-0170-01

1.引言

2014年江蘇高考數學的均分達到96分左右，命題保持了一貫的風格，以考查基礎知識、基本技能和數學思維能力為主。試題仍然重視基礎，考察了8個C級考點。解答題前三題，分別考察了三角函數、立體幾何、解析幾何，相對比較基礎、容易上手，從考生反饋的情況看，大部分考生這三題都比較容易上手。

數學基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理這幾方面的能力。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。向量既是重要的數學模型，又是重要的物理模型。向量的引入，給高中數學教學帶來了生機，也為今后學習高等數學奠定了必要的基礎。因此，研究搞好平面向量的復習教學是有必要的，也是非常重要的。

本章要求學生掌握向量的線性運算和數量積的運算，這就把運算的對象從數、字母擴展到了向量。這為進一步理解其他的數學運算（如函數的運算、映射、變換、矩陣的運算等等）創造了條件，特別是當學生利用向量運算解決了數學中（如推導兩角差的余弦公式）和物理中的問題時，就更有助于學生體會數學運算的意義，感悟運算、推理在探索和發現中的作用了（吳慶麟等，2002）。

2.理論綜述

圖式是大腦為了便于信息儲存和處理，而將新事物與已有的知識和經歷有機地組織起來的一種知識表徵形式。圖式是陳述性知識的一種高水平的表達形式。它將一些低水平的陳述性知識單元如命題、表象及線性排序組織起來。Cook（1989，1994）認為，圖式是頭腦中的“先存知識”或“背景知識”。有學者將圖式的特點“比作一個龐大的檔案系統，它把個人的知識經驗分門別類儲存在大腦中，大腦接受一個新信息后，便會設立一個新的文件夾（或先驗圖式），或把新的信息輸送到現存的先驗圖式之中”。

可見，研究“知識圖式”在教與學中的作用，使學生更有效地把知識串聯起來。圖式的形成不僅能夠給人的記憶提供支持，減輕記憶負擔，還能使人迅速地識別屬于某一范疇的新例證或事件，并依據這種最初的識別對遇到的新情況做出推論，從而簡化人對事物的鑒定與分類（吳慶麟等，2002）。人們記憶中儲存的這些圖式還有助于問題解決。

3.圖式理論在復習平面向量中的運用

人腦中保存的一切知識都能分成單元、構成“組塊”和組成系統，這些單元、“組塊”和系統就是圖式。它的表征形式是命題、表象、線性排序等，是對一般概念的有意義信息形成的一個集合體。這里的一般概念可以是客體的類目，數學中的三角形、等比數列、二次函數等；也可以是一個事件的類目，如解三角形、計算數列的和、求函數的極值等等。無論什么主題，圖式中總是包含為那個類目中的所有客體或事件所共有的某些特征。因此，圖式實質上是一種關于知識的認知模式。

就中學數學而言，圖式不僅包含著數學知識本身，還包含著怎樣利用這個圖式的智力技能的程序性知識，以及對可能發生的情況進行預測和期望的信息。平面向量的知識已滲透到各個分支，特別是在幾何中的作用更為突出，其次在復數、三角函數、物理中都有廣泛的應用。隨著教學的深入，它的優勢會越來越明顯，它運算簡潔明快，化繁就簡、有它的獨到之處。扎實地學好、熟練地掌握這一章的內容，將會在今后的學習中受益匪淺。本章和“三角函數”、“三角變換”一起，構成了統一的教學模塊，這也更好地體現向量在處理三角函數問題中的工具作用，也體現向量集形數于一身的特點。

高三學生有了一定的自學能力和概括比較能力，學生可以將知識加以梳理、溝通，使知識點之間發生聯結，形成知識的網絡系統，這樣形成的認知圖式便于學生理解、記憶和提取運用。首先根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，從大量的實際背景中抽象出向量的概念（數學模型），然后用數學的方法研究向量及其運算的性質，最后再運用數學模型去解決實際問題。簡言之，現實世界中的問題→建立數學模型→對數學模型進行研究→利用數學模型解決問題。這樣處理體現了數學知識產生和發展的過程，突出了數學的來龍去脈，有助于學生理解數學的本質，形成對數學完整的認識，達到培養學生的創新思維和理性思維的目的，同時也有助于數學應用意識的發展。

向量是數形結合的載體，向量的幾何表示、向量加法的三角形運算法則等等都是從幾何的角度對向量的研究，而向量的坐標表示、坐標運算就是用代數的方法來研究向量。在有關數量積的教學中更集中體現出數形結合的方法。

在學習向量后，有意識地將向量與三角恒等變形，與幾何、代數之間的相應內容進行有機的聯系，并通過比較，感受向量在處理三角、幾何、代數等各不同數學分支問題中的獨到之處和橋梁作用，認識數學的整體性。這樣將有助于學生認識數學內容之間的內在聯系，體驗數學的發現與創造過程。如：講授向量的加、減法時，根據加法的平行四邊形法則（平移共起點，起點對角線）和三角形法則的特點，形象地將向量的加法總結為“首尾相連首尾連”或“平移首尾連，指向后終點”；將減法總結為“首同首連指向被減”或“平移共起點，指向前終點”。這樣學生就能記得住、用得上、學得輕松。

4.結語

圖式是人的頭腦中關于外部世界知識組織形式，是人們賴以認識和理解周圍事物的基礎。經歷用圖式理論去學習平面向量，有助于學生更好地掌握向量，更有效地利用向量方法去解決某些幾何問題、力學問題，更深刻地體會向量是一種數學工具，用向量運算的方法解決問題。

當然，圖式理論在其他數學知識的學習中也有類似廣泛的應用。實際生活中隨處可見的速度、位移等，這些都是向量的實際背景，也可以用向量加以刻畫和描述。

參考文獻：

[1]Cook， G. Discourse[M]. Oxford： Oxford University Press， 1989， 1994.

[2]數學培訓手冊（蘇教版），江蘇教育出版社.

[3]吳慶麟等.認知教學心理學[M].上海科學技術出版社，2002.

[4]2012年江蘇省高考說明（數學科）.