在高中數(shù)學作業(yè)訂正中“生成”智慧

王維維

作業(yè)是教學過程中的一個重要環(huán)節(jié)，它完成的好壞直接關系到學生對知識的掌握情況，關系到教學質量的好壞。同時作業(yè)與批改是課堂教學的延續(xù)，是學生鞏固所學知識、反饋教與學的效果、改進教與學的重要手段，更是激發(fā)學生學習興趣和培養(yǎng)學生良好習慣的重要平臺。在我們數(shù)學教學中，一部分老師和學生沒有對作業(yè)的批改及訂正引起足夠的重視或停流于形式，沒有有效的監(jiān)控措施和操作策略，導致訂正效果低效甚至無效。因此細化作業(yè)批改，優(yōu)化作業(yè)訂正，在作業(yè)訂正中“生成”智慧，從而發(fā)揮它的最大價值是老師必須要認真研究的課題，筆者從作業(yè)的診斷、強化、激勵示范3個方面的功能進行實踐研究。

1.有效發(fā)揮數(shù)學作業(yè)的診斷功能 ， 能加強教學的針對性和實效性

現(xiàn)代系統(tǒng)科學的反饋原理指出：任何系統(tǒng)只有通過反饋信息，才能實現(xiàn)控制。數(shù)學教育系統(tǒng)也是如此，診斷方式可從兩方面進行研究：

1.1教師批改診斷——析錯卡的制作

老師與學生交流和溝通，除了上課學生對相關知識的反饋情況外，我覺得很好的途徑是及時批改作業(yè)，收集錯誤信息。老師在作業(yè)批改過程中對于錯誤的步驟位置要明確定位，做好記號，因為定位有利于節(jié)省學生作業(yè)訂正的時間。我們還要通過必要的文字語言給學生以鼓勵、建議、督促等點評信息，因為點評有利于學生快速的明白錯誤的原因。有時間允許的情況下，還可以選擇性的面批。教師通過對學生錯題的分析，可以充分了解學生原有真實的想法和他們的知識基礎與能力水平，可以發(fā)現(xiàn)很多學生共通性的典型錯誤，總結學生答題錯誤的規(guī)律，從而制作出“作業(yè)析錯卡”。在析錯卡中教師將作業(yè)錯誤概括為四大類：表征性錯誤、知識性錯誤、思維性錯誤、習慣性錯誤，然后對于每大類都結合實際案例進行了深入、細仔地分析。如把思維性錯誤分為思維品質不佳、消極的思維定勢和負遷移效應，再把思維品質不佳又分成思維深刻性、思維的廣闊性、思維的靈活性、思維的嚴密性、思維的批判性進行深入研究。

【案例1】作業(yè)析錯卡簡例

內容：高一等差等比期末復習作業(yè)

記錄時間：2014年6月13日

題目：設Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和，若對任意n∈N，都有，

則 = 。

錯例1： —————錯因：數(shù)列的項與數(shù)列的和混淆不清，屬知識性錯誤。

針對性正解： ，即 ，但 。

錯例2： ——————錯因：把和與和之比直接當成了和的通項式，忽略了等差數(shù)列和為關于n的二次函數(shù)，直接拿n是一次式代入，思維性錯誤。

針對性正解：

因為，

所以=

另解：記 ，

同理 ，

針對拓展：設Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列和的前n項和，若對任意n∈N，都有 ，

則 = 。

教師通過收集學生的作業(yè)錯誤，分析錯誤，形成針對正確解析，同時還列舉其它解法，且將題目進行相應的變式拓展，形成一張完整的析錯卡，長期積累將是一筆不小的教學財富。所以作業(yè)批改中錯題“生成”智慧第一步是教師的工作，即教師批改診斷，要求教師批改一定要認真詳細，肯花時間。教師只有掌握了關于錯誤的第一手資料，才能對自己的教學進行有效設計，實際教學才能切中要害，事半功倍。

1.2學生自我診斷——糾錯本的記載

學生在作業(yè)訂正之前，腦海中并非一無所知，對題目所需的知識、解題方法已有一定的了解，為此我們需要準確獲取作業(yè)訂正之前的“最近發(fā)展區(qū)”，來增強作業(yè)訂正的針對性、有效性。所以作業(yè)訂正應建立在第一次做題的基礎之上，第一次作業(yè)有錯誤，并不是所有的都是錯的，錯誤可能只是一小部分，即使錯誤面很大，一定也會有可取的地方，有價值的地方，關鍵在于取其精華。不能孤立的去訂正，訂正一定要吸取前面的經驗教訓。

學生拿到作業(yè)后首先要查看老師的批改記號與點評，結合老師的點評分析自己所掌握的知識是否正確、完整。如概念的理解是否準確，定理的表述是否規(guī)范、公式的記憶是否清楚等，解題方法、技能掌握是否到位。如配方法的要領是什么？分離參數(shù)要注意什么？用向量法處理立體幾何問題應怎樣建坐標系？怎樣求點的坐標？怎樣設點的坐標等等。然后根據具體情況再次回顧第一次解題的過程，應根據出現(xiàn)的錯誤，重新審題列出的條件、問題清單，重新評估自己的解題思路、選擇的解題方法，再次形成最合理的算法與算理。在訂正過程中，學生要認真地總結錯誤原因，確保以后不再犯同樣的錯誤，所以在訂正過程中對錯誤的原因要進行分析，明確錯誤之所在，同時對于一些錯誤的、不完整的知識、方法、技能要進行再次的學習。

【案例2】對“函數(shù)的值域與函數(shù)值變化范圍”的概念混淆不清

題目：函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域為[0，+∞]，求m的取值范圍.

典型錯解：∵函數(shù)的值域為[0，+∞]，定義域x∈R

∴y≥0對于x∈R恒成立，

故△=（2m-3）2-8（3-2m）≤0

即（2m-3）（2m-5）≤0 ∴

所以的取值范圍為 。

（學生）錯因分析：將函數(shù)的值域與函數(shù)值的變化范圍混淆。故辨析下列兩題進行比較：

（1）函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域為[0，+∞]，求m的取值范圍.

（2）函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的取值為非負，求m的取值范圍.

學生在完成錯題自我剖析后，進行作業(yè)的書面訂正，并能對照以前出現(xiàn)過的相對或相似題進行辨析， 做到真正的自我診斷。日積月累，學生的糾錯集中的錯題資源就越豐富，這是作業(yè)訂正中生成“美麗”的第二步。

2.有效發(fā)揮數(shù)學作業(yè)的強化功能，能提高學生的數(shù)學思維能力與解題能力

學生的有些錯誤往往具有頑固性和反復性，因為它們深深抓根于學生豐富的生活經驗和習慣系統(tǒng)中。學生經學習理解了一些數(shù)學概念和規(guī)律，過了一段時間再遇到類似的問題時，受到先入錯誤的影響又會對該概念產生糊涂的認識。因此，在教學中教師要做好對一些典型的、根系發(fā)達的錯誤的跟蹤，對錯誤類型進行歸納和整理，加強對易錯題的作業(yè)再布置或強化。

【案例3】找到根源，絕地反擊

題目：若正實數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值。

典型錯解：∵x+3y=5xy≥2√3xy 即√xy≥

∴3x+3y≥4√3xy ∴（3x+4y）min=

忽略等號成立的條件，更有甚者，不等號成立的條件都可能發(fā)生改變。筆者在課堂教學中專門就此題設置了一堂習題課來解決此類問題。首先老師對上題學生的幾種做法作了詳細講解：

方法一：變成和為定值，因為x+3y=5xy，所以 =5（x>0，y>0）

（基本不等式）

或者也可用柯西不等式。

方法二：消元，使目標變?yōu)橐辉瘮?shù)。

設 ，轉化成函數(shù)之后，再求最值。要求最值采用常見的導數(shù)法，當然也可用于基本不等式法，判別式法，給足學生充分的思考時間和做題時間。

【鞏固拓展】

1.若正數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，求 的最小值。

2.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個動點，若 ，求x+3y的取值范圍？

其中，拓展1采用解法一的形式較快可以解出，而拓展2看似和上題沒啥聯(lián)系，但稍加分析：C為弧AB上的動點， 顯然x，y∈[0，1]。

兩邊平方：得x2+xy+y2=1

（此式難用解法一完成，考慮方法二）

消元y，∵x2+xy+y2-1=0，顯然△=4-3x2>0

∵x2+xy+y2-1=0，顯然△=4-3x2>0

得：

接下來此題適合用導數(shù)來求最值，判別式法和基本不等式法較困難。

老師通過一道作業(yè)題，根據條件和結論間的關系，多角度聯(lián)系，全方位探究，就可以得到多種解法，從而將整個最值問題鏈接起來，訓練了學生思維的廣闊性、靈活性和深刻性，能提高學生的數(shù)學思維能力與解題能力，這是作業(yè)訂正，生成“智慧”的升華。

3.有效發(fā)揮數(shù)學作業(yè)的示范激勵功能， 能提高學生解題的準確性和規(guī)范性

在行為科學中所謂激勵的含義，主要是指激發(fā)人的動機，使人有一般內在的動力，朝所期望的目標前進的心理活動過程。心理學的研究指出，學生學習主要是為了成就而不是為了某種報酬，因此成就動機在學習中有重要的作用。成就動機主要由三方面的需要組成：認知的需要，自我提高的需要，附屬的需要。對學生而言，自我需要占據重要地位。作業(yè)評價給予學生的表揚、等次，能滿足自我提高的需要。批改作業(yè)時教師如果只是單純的錯誤打叉或給個大大的問號，或只寫個“閱”字，會讓學生感覺信心倍受打擊，尤其是一些復雜難度系數(shù)較高的題目，學生花了很長時間思考的，只看結果正確與否而打叉打鉤的很有可能引起學生的反感。教師在批改時最好仔細看清學生作業(yè)的過程，對正確的步驟給予肯定，錯誤的作出記號，并根據作業(yè)整體情況給出等級評定，或給予個性化的批語，激勵他們形成積極向上的學習態(tài)勢，保持學生的學習欲望和進取心。同時老師將一些優(yōu)秀的作業(yè)展示給學生，這些作業(yè)往往字跡清楚，格式規(guī)范，步驟清晰準確或有一些獨特的見解和想法，能給學生一種很好的示范作用。學生不僅可以參看正確的解題答案，還可以規(guī)范自己的作業(yè)步驟和格式，或拓寬思維，吸收其它方法思路。同時也可以提高學生的積極性，作業(yè)展示也是個人被其他學生和教師肯定的一種途徑。

著名教育家葉圣陶曾經說過一句話作為本文的結尾：“什么是教育？簡單一句話，就是養(yǎng)成習慣。好的習慣一旦養(yǎng)成，不但學習效率會提高，而且會使他們終身受益?！?學生通過作業(yè)訂正能認識到數(shù)學錯題對數(shù)學學習的影響，降低做題的重錯率，切實提高分析問題、解決問題的能力，對知識、題目真正做到舉一反三、融會貫通。教師細化作業(yè)的批改，探索作業(yè)評價的多樣性，摸索出科學有效的數(shù)學作業(yè)有效訂正的方法，搜集、合理地利用學生的錯誤資源，切實提高數(shù)學作業(yè)訂正的有效性。同時教師收集并研究學生作業(yè)的信息，客觀評價自己教學的信息，判斷自己教學中的薄弱環(huán)節(jié)。教師根據析錯卡，及時調整教學策略，實現(xiàn)自我提升，快速提高自己的教學水平。