非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法

陳太聰，蘇 成，胡智強(qiáng)，馬海濤

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州510640)

非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法

陳太聰，蘇 成，胡智強(qiáng)，馬海濤

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州510640)

針對(duì)非平穩(wěn)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題，研究動(dòng)力響應(yīng)方差靈敏度的高效時(shí)域求解算法。首先推導(dǎo)確定性動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式表達(dá)，繼而結(jié)合方差靈敏度的一般計(jì)算公式，得到非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)方差靈敏度的時(shí)域顯式計(jì)算列式。該列式同樣適用于平穩(wěn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)方差靈敏度的求解。以框架結(jié)構(gòu)和桁架結(jié)構(gòu)分別受不同類型的非平穩(wěn)激勵(lì)為例，時(shí)域顯示解法和其他方法的對(duì)比計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了時(shí)域顯示解法的有效性。

隨機(jī)振動(dòng)；非平穩(wěn)；靈敏度；時(shí)域；顯式法

引 言

靈敏度分析可以定量地確定系統(tǒng)參數(shù)的改變對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響［1］，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化、最優(yōu)控制和系統(tǒng)辨識(shí)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。由于工程結(jié)構(gòu)面對(duì)的大量激勵(lì)如地震、風(fēng)、海浪等作用屬于隨機(jī)過程激勵(lì)，因此，開展針對(duì)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的靈敏度分析具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，相關(guān)研究日益受到關(guān)注。

根據(jù)隨機(jī)過程激勵(lì)的平穩(wěn)性質(zhì)不同，相應(yīng)響應(yīng)也可分為平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)和非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)兩類。其中，由于平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)較易求解［2］，相關(guān)靈敏度分析的研究較為成熟，已發(fā)展了包括有色噪聲激勵(lì)下的代數(shù)Riccati方程解法［3］、相關(guān)/非相關(guān)高斯激勵(lì)下的模態(tài)分解解法［4］、高斯/非高斯激勵(lì)下的響應(yīng)多階統(tǒng)計(jì)矩靈敏度計(jì)算的時(shí)域解法［5］、高斯激勵(lì)下的虛擬激勵(lì)解法［6］，以及隨機(jī)結(jié)構(gòu)情況下的Neumann展開結(jié)合Monte Carlo模擬解法［7］和虛擬激勵(lì)結(jié)合點(diǎn)估計(jì)解法［8］等多種分析方法。

而對(duì)于第2類靈敏度問題，雖然地震、風(fēng)、海浪等隨機(jī)過程激勵(lì)本質(zhì)上都是非平穩(wěn)的，相關(guān)分析更具現(xiàn)實(shí)意義，但由于非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的求解本身較為困難，因此相應(yīng)的靈敏度分析還不易進(jìn)行。近年來，Chaudhuri和Chakraborty［9］在頻域內(nèi)給出響應(yīng)功率譜和各階譜矩的靈敏度計(jì)算方法，進(jìn)而得到響應(yīng)方差和可靠度的靈敏度，其中需要進(jìn)行雙重頻域積分；Cacciola等［10］結(jié)合動(dòng)態(tài)模型修正和模態(tài)分解方法，建立了響應(yīng)方差靈敏度的微分方程，采用遞推法和逐步積分策略進(jìn)行求解；Marano等［11］建立Lyapunov微分方程，求解響應(yīng)方差的靈敏度，但仍限于單自由度系統(tǒng)的應(yīng)用；徐文濤等［12］和劉齊茂［13］都從虛擬激勵(lì)法出發(fā)，分別采用精細(xì)積分法和Newmark-β法推導(dǎo)了響應(yīng)功率譜的一階和二階靈敏度的計(jì)算列式，前文繼而給出了響應(yīng)方差靈敏度的計(jì)算列式，需要說明的是，虛擬激勵(lì)法的應(yīng)用需要進(jìn)行時(shí)域和頻域內(nèi)的混合積分計(jì)算。

近年來，蘇成和徐瑞［14］提出了非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析的時(shí)域顯式法，通過建立的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域顯式表達(dá)，可在時(shí)域內(nèi)直接計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)的均值和方差，還可以結(jié)合Monte Carlo模擬求解構(gòu)件動(dòng)力可靠度和體系動(dòng)力可靠度［15］，在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用顯示了良好的計(jì)算效率［16］，在隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題［17］和 非線性隨 機(jī)振動(dòng) 問題［18］中也得 到 了應(yīng)用，為非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度問題的研究打下了良好基礎(chǔ)。本文將以該方法為基礎(chǔ)，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式表達(dá)式，并以此進(jìn)一步提出非平穩(wěn)激勵(lì)下隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法。最后通過數(shù)值算例說明本文方法的準(zhǔn)確性和可行性。

1 動(dòng)力響應(yīng)分析的時(shí)域顯式法

隨機(jī)振動(dòng)分析的時(shí)域顯式法是基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的顯式表達(dá)推導(dǎo)得到的［14］。以下就把該顯式表達(dá)作一簡(jiǎn)要介紹。n自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中 K，C和M分別代表結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣；Y，.Y和‥Y分別為位移向量、速度向量和加速度向量；L為一n×m階激勵(lì)影響矩陣；F為m維激勵(lì)向量，若結(jié)構(gòu)承受地震作用，則F為地面加速度。

式(1)可表示成狀態(tài)方程的形式

若考慮線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，以及等時(shí)間步長(zhǎng)Δt的計(jì)算，則一般地，第i時(shí)刻(ti=iΔt)的系統(tǒng)狀態(tài)可遞推地表示為

式中 矩陣Q0，Q1和Q2都依賴于結(jié)構(gòu)參數(shù)和時(shí)間步長(zhǎng)Δt。

若初始系統(tǒng)狀態(tài)V0=0，則由遞推式(4)可以推導(dǎo)得到第i時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)域顯式表達(dá)為

則，顯式表達(dá)式(5)可重新表示為

因此，所有時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)可計(jì)算如下

值得注意的是，系數(shù)Ai，j(0≤j≤i)的計(jì)算是一個(gè)遞推過程，若采用精細(xì)積分法［19］進(jìn)行求解，可得

由式(8)和(9)可見，為了得到各時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的完整系數(shù)矩陣Ai，j，只需要計(jì)算系數(shù)矩陣的前兩列Ai，0和Ai，1(i=1，2，…，l)即可，其計(jì)算量相當(dāng)于兩次確定性動(dòng)力時(shí)程分析［14］。由式(6)可知，Bi也可以通過其前兩列系數(shù)完全確定。

假設(shè)第i時(shí)刻關(guān)注的某個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)為vi，不失一般性，vi可由系統(tǒng)狀態(tài)V和激勵(lì)F計(jì)算得到

式中 φ為關(guān)注結(jié)構(gòu)響應(yīng)的定位行向量，其元素由0和1組成；S1和S2分別為系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)激勵(lì)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響矩陣。根據(jù)所關(guān)注的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的性質(zhì)不同，S1和S2的具體取值也有所不同：①若關(guān)注結(jié)構(gòu)響應(yīng)為結(jié)點(diǎn)位移或速度，則S1=I，S2=0；②若為結(jié)點(diǎn)加速度，則S1=H，S2=W；③若為單元應(yīng)力或應(yīng)變，則在結(jié)點(diǎn)激勵(lì)的情況下，S1可通過單元應(yīng)力矩陣或應(yīng)變矩陣計(jì)算得到，S2=0。

由式(7)和(13)，最終可得

2 動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式表達(dá)

基于以上動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域顯式表達(dá)的基本思路，以下推導(dǎo)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式求解列式。

設(shè)θ代表結(jié)構(gòu)的某個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，在狀態(tài)方程式(2)兩端對(duì)θ求偏導(dǎo)，得

若激勵(lì)F與參數(shù)θ無關(guān)，則式(15)可化簡(jiǎn)為

對(duì)比式(6)和(18)，再結(jié)合式(8)和(9)可知，要計(jì)算所有時(shí)刻點(diǎn)的系統(tǒng)狀態(tài)靈敏度，只需要計(jì)算系數(shù)矩陣和的前兩列，即可完全確定。

進(jìn)一步地，結(jié)合式(13)和(17)可知，第i時(shí)刻關(guān)注結(jié)構(gòu)響應(yīng)vi對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)θ的靈敏度即可通過下式計(jì)算

3 隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法

由式(14)可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)激勵(lì)F為隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)響應(yīng)vi的方差可表達(dá)為

將式(14)和(20)代入，最終整理可得第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)響應(yīng)vi的方差對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)θ的靈敏度的計(jì)算表達(dá)式為

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，較多關(guān)注結(jié)點(diǎn)位移或速度響應(yīng)，此時(shí)，S1=I以及S2=0，則式(21)和(25)可分別化簡(jiǎn)為

在實(shí)際計(jì)算過程中，cov(Ri，Ri)的計(jì)算量和存儲(chǔ)量可能過大，導(dǎo)致計(jì)算效率降低。為此，將式(31)右端的第二項(xiàng)展開，并整理后，得到以下更方便使用的計(jì)算表達(dá)式

需要說明的是，以上推導(dǎo)中并未對(duì)隨機(jī)激勵(lì)F的分布特性預(yù)設(shè)任何前提，因此，所得均方響應(yīng)及其靈敏度的計(jì)算列式適用于各種類型的平穩(wěn)/非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)情況。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程情形，通過本文列式獲得的是全過程瞬態(tài)響應(yīng)的方差及其靈敏度，相對(duì)于常規(guī)平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析得到的穩(wěn)態(tài)階段解答，信息更為豐富。

4 數(shù)值算例

采用FORTRAN語言實(shí)現(xiàn)了非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式解法，并進(jìn)行驗(yàn)證。本節(jié)給出兩種結(jié)構(gòu)的數(shù)值算例，分別與直接差分法、差分Monte Carlo模擬法和已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較，說明本文方法的可靠性。

4.1 平面框架結(jié)構(gòu)

采用圖1所示平面4層框架結(jié)構(gòu)模型，含20個(gè)梁?jiǎn)卧?6個(gè)自由度。所有單元的彈性模量E=3.0×1010N/m2，質(zhì)量密度ρ=2.4×103kg/m3，梁、柱截面分別為0.25 m×0.40 m和0.35 m×0.35 m，考慮Rayleigh阻尼模型，阻尼矩陣由前兩階模態(tài)阻尼比(ξ=0.05)確定。

圖1 平面框架結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Aplanar frame structure model

考慮非平穩(wěn)限帶白噪聲激勵(lì)，F(xiàn)(t)=g(t)x(t)，其中，均勻調(diào)制函數(shù)g(t)取為

其作用頻帶范圍ω=0～200 rad/s。則該隨機(jī)激勵(lì)F(t)的相關(guān)函數(shù)可由下式計(jì)算得到

RFF(t+τ，τ)=g(t+τ)g(τ)Rxx(τ)

設(shè)計(jì)參數(shù)取為所有桿件的彈性模量E，計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)取為15 s，計(jì)算步長(zhǎng)取Δt=0.005 s。

采用本文方法，計(jì)算結(jié)點(diǎn) A的水平方向位移、速度和加速度的方差及其對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度隨時(shí)間的變化規(guī)律，結(jié)果如圖2～4所示。作為對(duì)比，圖中還給出了采用直接差分法和差分Monte Carlo模擬法的計(jì)算結(jié)果。其中，直接差分法的計(jì)算過程是取設(shè)計(jì)參數(shù)的1‰變化量為差分步長(zhǎng)，按式(21)分別計(jì)算設(shè)計(jì)參數(shù)變化前后的響應(yīng)方差時(shí)程，進(jìn)而用差分法計(jì)算靈敏度時(shí)程；差分Monte Carlo模擬法同樣取設(shè)計(jì)參數(shù)的1‰變化量為差分步長(zhǎng)，根據(jù)隨機(jī)激勵(lì)模型，人工生成一定數(shù)目的激勵(lì)過程樣本并進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，最后統(tǒng)計(jì)得到設(shè)計(jì)參數(shù)變化前后的響應(yīng)方差時(shí)程，進(jìn)而用差分法計(jì)算靈敏度時(shí)程。

圖2 A點(diǎn)位移的方差及其靈敏度Fig.2 Covariance and its sensitivity of the node Adisplacement

實(shí)際計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，由于Monte Carlo模擬得到的響應(yīng)方差存在偏差，通過差分Monte Carlo模擬法計(jì)算得到的靈敏度值會(huì)發(fā)生偏差波動(dòng)，但隨著樣本數(shù)增多，波動(dòng)幅度會(huì)逐漸減小。在本例中，當(dāng)樣本數(shù)取為105時(shí)，靈敏度值波動(dòng)幅度較小，因此，圖中給出的Monte Carlo法結(jié)果均為105樣本數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

圖3 A點(diǎn)速度的方差及其靈敏度Fig.3 Covariance and its sensitivity of the node Avelocity

圖4 A點(diǎn)加速度的方差及其靈敏度Fig.4 Covariance and its sensitivity of the node Aacceleration

由圖示結(jié)果可以觀察得到：

(1)本文方法和直接差分法的結(jié)果基本一致，并都與差分Monte Carlo模擬法的結(jié)果趨勢(shì)基本一致，驗(yàn)證了本文方法的正確性；

(2)方差的Monte Carlo模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的符合程度高于方差靈敏度，這是因?yàn)樵诓罘植介L(zhǎng)變化前后，模擬得到的方差結(jié)果都存在一定的偏差，因此由差分計(jì)算得到的方差靈敏度的偏差會(huì)大于方差的偏差。由文獻(xiàn)［1］的分析結(jié)果可知，響應(yīng)靈敏度的差分模擬偏差會(huì)比響應(yīng)的模擬偏差大1～2個(gè)量級(jí)，本算例與之相符。如前所述，計(jì)算中已驗(yàn)證，隨著Monte Carlo樣本數(shù)增加，方差的模擬偏差變小，方差靈敏度的模擬偏差也隨之減小。

4.2 平面桁架結(jié)構(gòu)

本算例取自文獻(xiàn)［10］，采用的輸電塔結(jié)構(gòu)如圖5所示。該結(jié)構(gòu)有限元模型采用24個(gè)平面桁架單元，共20個(gè)自由度，所有單元具有相同的軸向剛度，EA=1.210 4×108N。考慮輸電線的自重，結(jié)點(diǎn)9和12具有集中質(zhì)量m=1 200 kg，其余結(jié)點(diǎn)具有集中質(zhì)量m=600 kg。考慮Rayleigh阻尼模型，阻尼矩陣由前兩階模態(tài)阻尼比(ξ=0.02)確定。

考慮非平穩(wěn)地震作用，采用均勻調(diào)制的平穩(wěn)隨機(jī)過程來模擬非平穩(wěn)地面水平運(yùn)動(dòng)加速度‥x(t)，其中平穩(wěn)隨機(jī)過程采用以下Tajimi-Kanai功率譜

S0=0.05 m2/s3，ωg=4πrad/s，ζg=0.6均勻調(diào)制函數(shù)g(t)取為

則該隨機(jī)激勵(lì)的相關(guān)函數(shù)可由下式計(jì)算得到：

圖5 平面桁架結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Aplanar truss structure model

設(shè)計(jì)參數(shù)取為所有桿件的軸向剛度EA，計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)取為15 s，計(jì)算步長(zhǎng)取Δt=0.01 s。

圖6 結(jié)點(diǎn)12位移的方差靈敏度時(shí)程Fig.6 Sensitivity of covariance of the node 12 displacement

采用本文方法，計(jì)算結(jié)點(diǎn)12的水平方向位移的方差對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度，結(jié)果如圖6所示。由圖示結(jié)果可見，本文方法與文獻(xiàn)［10］中的靈敏度分析結(jié)果基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的正確性。

5 結(jié) 論

本文基于動(dòng)力響應(yīng)分析的時(shí)域顯式法，提出了非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法。利用靈敏度方程與狀態(tài)方程的相似性，推出動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式表達(dá)。繼而利用時(shí)程方差靈敏度計(jì)算的一般公式，最終得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差靈敏度分析的時(shí)域顯式表達(dá)式。不同類型的算例計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的正確性。本文的時(shí)域顯式方法不要求隨機(jī)過程激勵(lì)具有特殊分布特性，因此，可以廣泛適用于各種類型激勵(lì)情況下的平穩(wěn)/非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)靈敏度分析。

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An explicit time-domain method in sensitivity analysis of non-stationary random responses

CHEN Tai-cong，SU Cheng，HU Zhi-qiang，MAHai-tao
(State Key Laboratory of Subtropical Building Science，School of Civil Engineering and Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

Aiming at the structural vibration problem under non-stationary excitation，time-domain method of high efficiency is explored in the present study to determine the sensitivity of covariance of random response.Firstly，a time-domain formulation is derived for computing the sensitivity of deterministic response.Then，according to a general expression of the sensitivity of covariance，an explicit time-domain formulation is deducted to calculate the sensitivity of covariance of non-stationary random response.This formulation is also suitable for the case of stationary excitation if sensitivity of covariance of the transient response is concerned.By taking a frame and a truss subjected to different types of non-stationary excitations as examples，comparisons of the numerical results obtained with different methods illustrate the effectiveness of the proposed method.

random vibration；non-stationary；sensitivity；time-domain；explicit method

O324；TU311.3

A

：1004-4523(2015)04-0503-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.001

陳太聰(1977—)，男，副教授。電話：13903019936；E-mail：cvchentc@scut.edu.cn

蘇成(1968—)，男，教授。電話：(020)87112755；E-mail：cvchsu@scut.edu.cn

2014-03-21；修訂日期：2014-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078150)；亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究項(xiàng)目(2013ZA01，2015ZC19)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(2013ZZ0024)和廣西科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(1298011-1)