閉合型疲勞裂紋的亞諧波損傷識別方法

王 芝，吳維亮，肖 黎，屈文忠

(武漢大學工程力學系，湖北武漢430072)

閉合型疲勞裂紋的亞諧波損傷識別方法

王 芝，吳維亮，肖 黎，屈文忠

(武漢大學工程力學系，湖北武漢430072)

近年來結構健康監測與損傷識別研究中廣泛采用非線性振動與非線性超聲方法。由于作動器和測試設備環節產生的超諧波成分作為背景噪聲掩蓋了損傷信號，降低了信噪比，利用亞諧波信號成分來識別閉合型疲勞裂紋。建立了閉合型裂紋的單自由度定性模型，分段遲滯型作用力模擬了裂紋界面間的相互作用以及裂紋張開與閉合過程，研究了產生亞諧波的激勵頻率和激勵幅值條件，討論了模型參數對亞諧波產生的閾值影響。利用壓電作動器/傳感器進行了鋁制裂紋梁損傷檢測實驗，得到了裂紋損傷亞諧波識別的激勵電壓與頻率的范圍。數值仿真與實驗結果表明了閉合型疲勞裂紋的亞諧波損傷識別方法的有效性。

損傷檢測；閉合型裂紋；非線性超聲；亞諧波；閾值

引 言

目前裂紋損傷識別的研究大多建立在呼吸型裂紋模型基礎上，將裂紋簡化為周期性張開-閉合的過程［1］。實際上疲勞裂紋界面往往是保持閉合的，只有在外界激勵滿足一定條件時裂紋界面才能部分張開，即閉合型裂紋模型。近年來結構健康監測與損傷識別研究中廣泛采用非線性振動與非線性超聲方法。由于作動器和測試設備環節產生的超諧波成分作為背景噪聲掩蓋了損傷信號，降低了信噪比［2］。利用超諧波成分往往無法檢測出閉合型裂紋的存在，甚至產生損傷的誤報。而非線性超聲的亞諧波成分只在特定激勵條件下固體界面處的沖擊碰撞與振動接觸時才能產生，與測試環節無關，使得亞諧波更適合于疲勞裂紋損傷的識別。由于亞諧波產生的閾值特性，利用亞諧波方法識別閉合型裂紋，首先需要確定亞諧波產生的激勵條件，包括激勵幅值和激勵頻率。

閉合型裂紋模型是在呼吸型裂紋模型的基礎上，考慮了裂紋界面間的相互作用力，改進了對裂紋界面非線性動力特性的描述，將裂紋界面由簡單的周期性張開-閉合過程改為含門檻值的張開-閉合過程，即當外界激勵較小時裂紋界面保持閉合，當外界激勵超過某個門檻值時裂紋界面才張開。Delrue等［3］引用了虛擬彈簧來模擬閉合型裂紋界面間的相互作用，用分段線性的彈簧力來描述界面間作用力與界面間隙的關系，但沒有考慮裂紋界面間作用力的遲滯特性。Yamanaka研究組［4-6］將粘結力和原子力等作為界面間的引力引入裂紋模型，并進行了亞諧波陣列的裂紋檢測實驗，評估其模型的有效性，研究沒有涉及激勵條件。Johnson等［7］研究了一個單自由度雙剛度振子理論模型，并進行了裂紋梁的有限元分析，表明激勵頻率接近兩倍線性固有頻率時亞諧波成分明顯。Pugno等［8］研究發現亞諧波的產生不僅存在激勵幅值的閾值要求，還與其非線性程度(如裂紋深度)有關。Naito等［9］用非線性彈簧模擬裂紋，研究了激勵頻率和激勵幅值對亞諧波產生的影響和亞諧波產生區間，但該文只做了簡單的數值模擬，并未進行實驗加以驗證。Van Den Abeele等［10］首次提出遲滯效應在閉合型裂紋模型中應用的可能性，并沒有該模型非線性動力特性的研究，也不涉及亞諧波響應的分析。Semperlotti等［11-12］利用亞諧波方法進行了呼吸型裂紋的識別與定位實驗，但文中沒有對亞諧波產生條件進行分析。Solodov等［13］采用自調制與亞諧波聲譜方法進行損傷的識別與定位，但只給出了定性表達，沒有進行實驗驗證。

1 閉合型裂紋定性模型

根據閉合型裂紋性質，建立單自由度定性模型，如圖1所示。當沒有大幅值動態載荷作用時裂紋的2個界面A，B是閉合的。A面作用有幅值為p頻率為ω的持續激勵，通過裂紋界面傳遞到B面，裂紋界面B的動態位移x運動微分方程可表示為

式中 m為質量，γ為阻尼，k為剛度；Fc為裂紋界面間作用力，Δx為界面間的相對位移，表示為

圖1 閉合型裂紋模型Fig.1 Closed crack model

1.1 裂紋界面力模型

文中提出的遲滯閉合型裂紋模型在呼吸型裂紋的基礎上加入了門檻值的概念，體現為當動態激勵幅值p小于某個門檻值時裂紋界面保持閉合，裂紋界面間沒有相對位移變化及相互作用力；當激勵幅值超過該門檻值時裂紋開始開合過程，裂紋界面間出現相對位移，考慮裂紋界面間相互作用力。模型中裂紋界面作用力與界面間相對位移的關系為分段線性，并引入遲滯效應，即裂紋界面在閉合過程中界面力-相對位移曲線不同于張開過程，而是與張開過程的曲線形成遲滯路徑，使得該定性裂紋模型更符合實際裂紋特性。

文中設門檻值為0.001，當激勵幅值p小于該門檻值時，不考慮裂紋間相互作用，界面力保持為0；當激勵幅值p大于門檻值時，界面力開始隨界面相對位移變化。界面力隨界面相對位移變化如圖2所示，橫坐標為界面間相對位移，縱坐標為界面力。

圖2 界面力-界面相對位移圖Fig.2 Relationship between crack interface force and interface distance

裂紋的張開-閉合通過界面間相對位移增大-減小來體現。界面間相對位移存在一個特征位移，即平衡位置，界面力在相對位移等于時為0，界面力在相對位移小于時表現為壓力，界面力在相對位移大于小于時表現為拉力。當激勵幅值達到裂紋張開的門檻值時，裂紋開始張開與閉合的過程，具體描述如下：

(1)當圖1中的裂紋B面相對A面向右運動時(位移方向為正)，則裂紋界面力如圖2中藍色的箭頭變化，表示為

式中 a，b為系數，d為平衡位置，σ為裂紋界面的粗糙度。當裂紋間相對位移小于d時，界面力表現為斥力并隨著相對位移的增大而減小，此時裂紋界面受到擠壓，此階段裂紋剛度為k1；當裂紋間相對位移大于d小于ad時，界面力表現為拉力并隨著相對位移的增大而增大，相對位移到達時界面拉力達到最大值，此階段裂紋剛度為k2；當裂紋間相對位移大于ad小于bd時，界面力表現為拉力并隨著相對位移的增大而減小，此階段裂紋剛度為k3；當裂紋間相對位移大于bd時，裂紋完全張開，界面力為0。

(2)裂紋張開狀態下B面相對A面向左運動時(位移方向為負)，則裂紋界面力如Fc圖2中紅色的箭頭變化，表示為

式中 c為系數。當裂紋間相對位移小于bd大于cd時，裂紋間界面力未起作用，界面力為零；當裂紋間相對位移小于cd大于d時，界面力表現為拉力并隨著相對位移的減小而減小，此階段裂紋剛度為k2；當裂紋間相對位移小于d時，界面力表現為斥力并隨著相對位移的減小而增大，此時裂紋界面受到擠壓，此階段裂紋剛度為k1。如圖2所示，裂紋張開與閉合過程中在cd到bd處界面力Fc具有遲滯效果，模擬了閉合型裂紋的遲滯特性。

本文計算中模型各參數為m=1，γ=0.05，k=b=5，c=3，σ=1×10-3，d=10σ。

1.2 模型計算結果

利用Matlab求解上述閉合型裂紋模型，采樣頻率為10 Hz，計算時長為2 000 s。由于裂紋界面力的非線性特征對系統剛度的影響，系統的固有頻率不能通過質量與剛度直接計算得出。對裂紋模型進行掃頻激勵，得到固有頻率值為0.2 Hz。

任意取非兩倍固有頻率的激勵頻率0.12 Hz，激勵幅值為0.03，得到如圖3所示的響應信號的時域和頻域圖。由圖3可以看出響應信號中出現了2階、3階的超諧波成分，而沒有亞諧波與超亞諧波頻率成分。

圖3 不含亞諧波成分的時域和頻域圖(激勵頻率為0.12 Hz激勵幅值為0.03)Fig.3 Time-domain and frequency-domain of response signal without subharmonic(with excitation frequency 0.12 Hz and excitation amplitude 0.03)

基于經典非線性振動的研究結果［14］，取激勵頻率為兩倍固有頻率值0.4 Hz，激勵幅值為0.03，得到如圖4所示的響應信號的時域和頻域圖。由圖4可以看出，響應信號中明顯出現了1/2倍激勵頻率的亞諧波(0.200 2 Hz)與3/2倍激勵頻率的超亞諧波(0.600 6 Hz)頻率成分。

通過圖3和4的結果比較可以得出，當激勵頻率為兩倍固有頻率時將產生亞諧波參數共振，而遠離兩倍固有頻率時響應只有超諧波頻率成分。這與呼吸型裂紋研究結果［4］是相符的。本文采用的是閉合型裂紋模型，因此也驗證了亞諧波產生條件之一為激勵頻率是兩倍固有頻率在閉合型裂紋模型中的有效性。以上分析只表明兩倍固有頻率激勵能產生亞諧波，下面分析討論亞諧波產生的激勵頻率范圍以及各頻率對應激勵幅值的閾值。

1.3 亞諧波激勵條件閾值分析

非線性振動系統的亞諧波產生不僅與激勵頻率有關，還與激勵幅值有關［3］。針對產生亞諧波的激勵頻率集中在兩倍固有頻率附近，對兩倍固有頻率附近的激勵幅值進行計算分析。激勵頻率取0.38到0.42 Hz步長為0.002 Hz，激勵幅值取0.023 4到0.024步長為5×10-5，在裂紋模型粗糙度σ=1×10-3，平衡位置d=10σ的條件下得出如圖5所示的產生亞諧波分布區域圖。從圖5中可以看出，閉合型遲滯裂紋動態響應出現亞諧波的范圍在以頻率為橫軸幅值為縱軸的圖中呈大致的V字型分布。在兩倍固有頻率處，產生亞諧波所需的激勵幅值最小，激勵頻率遠離兩倍固有頻率時產生亞諧波共振所需的激勵幅值更大。

圖4 含亞諧波成分的時域和頻域圖(激勵頻率為0.4Hz激勵幅值為0.03)Fig.4 Time-domain and frequency-domain of response signal with subharmonic(with excitation frequency 0.4 Hz and excitation amplitude 0.03)

圖5 亞諧波產生的頻率-幅值閾值分布Fig.5 The distribution of excitation frequency and excitation amplitude of the subharmonic threshold

以下討論裂紋模型中各個參數對亞諧波閾值范圍的影響。模型中表示界面力的平衡位置，當界面相對位移小于d時兩界面相互排斥，反之則相互吸引。圖5為d=10σ時產生亞諧波的分布區域，考慮d值的改變對結果的影響，取d=σ進行運算，激勵頻率取0.34到0.40 Hz步長為0.004 Hz，激勵幅值取2.6×10-3到2.8×10-3步長為1×10-5，計算結果如圖6所示。由于裂紋模型遲滯特征的影響亞諧波的分布不嚴格按V字分布。當平衡位置d變小時，產生亞諧波所需的激勵幅值隨之變小，激勵頻率范圍也隨之向左移動。

圖6 亞諧波產生的頻率-幅值閾值分布Fig.6 The distribution of excitation frequency and excitation amplitude of the threshold of subharmonic(d=σ)

σ為模型中裂紋界面粗糙度，改變σ將引起d及Fc的改變。考慮σ改變對結果的影響，此處取即σ=1×10-4為圖5中模型參數的十分之一，激勵頻率取0.37到0.44 Hz，步長為0.002 Hz，激勵幅值取1.64×10-3到1.7×10-3步長為2×10-6，計算結果如圖7所示。產生亞諧波的分布依舊呈大致的V字形。當界面粗糙度σ變小時，產生亞諧波所需的激勵幅值隨之變小，激勵頻率范圍也隨之向左移動。

圖7 亞諧波產生的頻率-幅值閾值分布σ=1×10-4Fig.7 The distribution of excitation frequency and excitation amplitude of the threshold of subharmonic(σ=1×10-4)

從以上計算結果可知，閉合型裂紋模型中亞諧波的閾值范圍大致呈V字形分布，在兩倍固有頻率處亞諧波產生所需激勵幅值最小，激勵頻率越偏離兩倍固有頻率亞諧波產生所需激勵幅值越大。對于呼吸型裂紋模型，激勵頻率和幅值需要滿足特定條件才可產生亞諧波成分，但其激勵幅值應小于閉合裂紋產生亞諧波成分的閾值。通過改變模型界面參數得到的亞諧波分布圖可以看出，亞諧波產生的范圍隨平衡位置d與界面粗糙度σ的改變而改變，因此金屬結構中不同類型裂紋如穿透裂紋、表面裂紋和深埋裂紋對亞諧波的敏感性也受到裂紋界面各參數的影響。研究這些參數對亞諧波產生的影響對識別不同類型裂紋有著重要意義。

2 實驗研究

為驗證亞諧波損傷識別方法的有效性，進行了裂紋梁損傷識別實驗。實驗裝置及試件如圖8所示，試件為一個鋁制裂紋梁(2 mm×100 mm×500 mm)與一個鋁制完整梁(3 mm×100 mm×600 mm)。裂紋梁是通過預制裂縫，并在疲勞試驗機上循環加載來產生疲勞裂紋，先以0.2～10.0 k N/5 Hz加載3 600次，0.2～10.0 k N/10 Hz加載4 300次，0.2～5.0 k N/5 Hz加載10 000次，然后通過幅值控制加載，0.1 mm/10 Hz加載37 000次，梁試件出現約11.5 mm長的裂紋，如圖8(b)所示。在梁上粘貼兩個壓電片(SMD12)，直徑12 mm，厚0.6 mm，分別為作動片和傳感片，兩個壓電片間隔240 mm。裂紋處于梁的中部，兩個壓電片相對于裂紋的距離是相等的。梁兩端放置海綿模擬自由邊界。采用信號發生器(Agilent 33522A)輸出持續正弦激勵信號施加在作動壓電片上，用示波器(Agilent D50-X3014A)連接傳感壓電片采集響應數據。

圖8 實驗裝置(a)和試件圖(b)Fig.8 The experiment equipment and specimens

2.1 裂紋損傷識別

信號發生器輸出頻率范圍為25到35 k Hz的線性掃頻激勵，通過示波器信號頻域峰值確定試件的固有頻率，得到裂紋梁的某階縱向固有頻率約32.5 k Hz。

超諧波檢測方法易受到作動器和測量設備環節的非線性影響，而亞諧波則不受此影響。為加以驗證，進行如下實驗。將頻率65 k Hz幅值10 Vp-p的正弦激勵作用于完整梁上，得到響應的頻譜圖如圖9所示。

圖9 完整梁頻譜圖(激勵頻率65 k Hz，激勵幅值10 Vpp)Fig.9 Spectrum of undamaged beam(excitation frequency 65 k Hz and excitation amplitude 10 Vp-p)

從圖9可以看出，理論上完整梁是線性的，不會有諧波成分的產生，而實驗結果中2倍激勵頻率處的超諧波成分說明了實際檢測中非線性不完全由裂紋等損傷產生。非線性超聲的超諧波方法檢測受到測量設備環節非線性的影響，易產生損傷識別的誤報，不能準確地反映裂紋產生的非線性。亞諧波產生需要的特定條件使得亞諧波更適合于裂紋損傷的識別而不受測量設備環節非線性的影響，從而克服了超諧波方法的局限性。

同樣激勵條件(頻率65 k Hz，幅值10 Vp-p)的正弦激勵作用于裂紋梁上，得到信號頻譜如圖10所示。圖10中可以看到1/2和3/2，5/2倍激勵頻率的亞諧波與超亞諧波成分，而且具有很高的信噪比。另外還有2，3階的超諧波頻率成分。

從圖10中可以看出明顯的超諧波成分，但與圖9不同的是出現了明顯的亞諧波成分。以上兩個實驗對比可以看出，裂紋的存在與否均會導致超諧波頻率成分的產生，因此，超諧波成分并不能準確地描述疲勞裂紋的存在。而亞諧波對疲勞裂紋的存在十分敏感，不受測試環節的影響，克服了超諧波成分背景噪聲對信號的污染，更適用于疲勞裂紋損傷的非線性超聲識別。

圖10 裂紋梁頻譜圖(激勵頻率65 k Hz，激勵幅值10 Vp-p)Fig.10 Spectrum of damaged beam(excitation frequency 65 k Hz and excitation amplitude 10Vp-p)

圖11 裂紋梁頻譜圖(激勵頻率44 k Hz，激勵幅值10 Vp-p)Fig.11 Spectrum of damaged beam(excitation frequency 44 k Hz and excitation amplitude 10 Vp-p)

為研究激勵頻率對亞諧波產生的影響，任選取激勵頻率44 k Hz激勵幅值為10 Vp-p的正弦激勵作用于裂紋梁上，得到信號頻譜如圖11所示。對比圖10與11可以看出，在相同的激勵幅值下，當激勵頻率遠離兩倍固有頻率時，則不產生亞諧波共振現象。

為研究激勵幅值對亞諧波產生的影響，將頻率為兩倍固有頻率65 k Hz幅值為2 Vp-p的正弦激勵作用于裂紋梁上，得到信號頻譜如圖12所示。對比圖12與10，當激勵電壓為2 Vp-p時頻譜中沒有亞諧波成分，而超諧波成分依舊明顯。圖10中亞諧波成分明顯，可知激勵電壓為10 Vp-p時激勵幅值已達到產生亞諧波的閾值，而圖12中的激勵電壓2 Vp-p尚未達到產生亞諧波的閾值因此沒有出現亞諧波成分。亞諧波產生的激勵幅值閾值范圍將在下節討論。

圖12 裂紋梁頻譜圖(激勵頻率65 k Hz，激勵幅值2 Vpp)Fig.12 Spectrum of damaged beam(excitation frequency 65 k Hz and excitation amplitude 2 Vp-p)

從以上實驗結果可以看出，亞諧波損傷識別方法相比超諧波方法更為有效。從亞諧波產生條件的實驗結果可知，對于本裂紋梁試件，產生亞諧波的激勵幅值閾值在10Vp-p以內。以下實驗討論亞諧波產生的頻率范圍及所對應的激勵幅值閾值區域。

2.2 亞諧波激勵頻率與幅值范圍

根據上述實驗結果，先將激勵幅值設定為10 Vp-p，在64.75 k Hz附近連續微調以確定該激勵幅值下能出現亞諧波成分的頻率范圍，得到對應激勵幅值為10 Vp-p時產生亞諧波的頻率范圍為64.71～64.81 k Hz。需要說明的是此處10 Vp-p為信號發生器所能輸出的最大電壓。然后取激勵頻率范圍為64.71到64.81 k Hz，步長為0.01 k Hz。在每個頻率處將激勵幅值以每步0.1 Vp-p從10 Vpp往小微調直到不出現亞諧波為止。最終得到可以產生亞諧波成分的頻率-幅值范圍，如圖13所示。

圖中藍色區域表示亞諧波出現的區域，其中所需激勵幅值在64.75 k Hz處最小，約為7.8 Vp-p，并在64.75 k Hz兩側呈大致的V字形分布。此實驗結果說明了存在疲勞裂紋的實際結構中亞諧波的產生對激勵條件有特定的要求。亞諧波的這種閾值特性，正是區分結構中裂紋損傷和邊界非線性和設備非線性等非損傷非線性特征的出發點，但也使得實驗中需要反復估計和調試激勵的幅值和頻率。本文中損傷的識別只是從頻域中亞諧波成分的出現進行定性判斷，而通過亞諧波成分對損傷位置與損傷程度進行檢測的研究仍需深入。

圖13 裂紋梁產生亞諧波的頻率-幅值閾值分布區域Fig.13 The distribution of excitation frequency and excitation amplitude of subharmonic threshold of the cracked beam

3 結 論

從仿真與實驗結果可知，閉合型疲勞裂紋的亞諧波產生對激勵頻率和激勵幅值有特定要求，即激勵頻率為兩倍固有頻率附近，激勵幅值需達到閾值。另外，亞諧波產生所需激勵幅值在兩倍固有頻率處最小，并在兩倍固有頻率兩側呈大致的V字形分布。

亞諧波的產生不受傳感器及測試設備產生的非線性因素影響，使亞諧波檢測方法能有效地識別出裂紋損傷的非線性。而亞諧波的產生與激勵頻率和幅值有關，本文對亞諧波閾值條件的研究可作為實際結構損傷檢測時激勵條件的參考。

實驗中發現夾持下的完整梁也有亞諧波的產生，即邊界非線性現象。由于裂紋界面和邊界連接接觸面中參與振動的質量、阻尼、粗糙度和接觸剛度等機理性因素和參數都不盡相同，這些亞諧波產生的重要影響參數導致邊界非線性與裂紋損傷非線性產生亞諧波的條件不同，為區分它們提供了可能途徑。今后將深入探討如何利用亞諧波區分邊界非線性與結構損傷非線性。

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Damage detection for closed fatigue crack using subharmonic component

WANG Zhi，WU Wei-liang，XIAO Li，QU Wen-zhong
(Department of Engineering Mechanics，Wuhan University，Wuhan 430072，China)

In recent years，researchers have focused on more efficient procedures in SHMand damage detection using nonlinear vibration and nonlinear acoustic methods.Because superharmonics are also generated by the piezoelectric transducers and by the electronic equipments，these harmonics increase the background noise deteriorating the S/N ratio.The objective of the paper is to demonstrate the application of nonlinear ultrasonic subharmonic method for detecting fatigue crack.The closed fatigue crack is qualitatively modeled as a single-degree-of-freedom(SDOF)system with non-classical hysteretic nonlinear interface force at both sides of the crack interface.The threshold of subharmonic is discussed and the influence of model parameters on the subharmonic resonance parameter condition is investigated.An aluminum beam with a fatigue crack is used to quantitatively verify the excitation voltage amplitude and frequency subharmonic resonance region.Two surface-bonded piezoelectric transducers are used to generate and receive ultrasonic wave signals.The experimental results demonstrate that the subharmonic components increase in magnitude with increasing amplitude of the input signal and can be used to accurately detect the fatigue cracks.

damage detection；closed crack；nonlinear ultrasonic；subharmonic；threshold behavior

O346.5；O347.4

A

1004-4523(2015)04-567-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.009

王芝(1991—)，女，碩士研究生。電話：15172549257；E-mail：wangzhi@whu.edu.cn

屈文忠(1968—)，男，教授，博士生導師。電話：13100700544；E-mail：qwz@whu.edu.cn

2014-01-15；

2014-11-13

國家自然科學基金資助項目(51078293，51378402)