深化“情景”，提高數學學習能力

李良軍

[摘 要] 本文認真研究了農村學校學生在數學學習能力上存在的問題和困難，就如何提高學生的學習能力作出研究，提出將易忽視的、規律性的數學問題“情景”化，通過情景賦予數學知識靈魂，從而為學生的自主學習打下基礎.

[關鍵詞] 學習力；公理；文化；情景化

隨著新課程改革的不斷深入，新課程所倡導“自主、合作、探究”的基本理念已經深入到教學的各個環節，一方面旨在改變學生的學習方式，另一方面在于轉變教師的教學觀念. 很多學校對如何提高學生的學習能力作出有效的探索，如昆銅中學的“先學后教，以學定教”小組合作模式，山東杜郎口中學踐行學生主體地位而摸索新創的“三三六”自主學習高效課堂模式等. 無論哪種教學模式，其實都是在踐行新課程改革中轉變教學方式的要求.

為進一步深化教學改革，縣教研室提出了“轉變學習方式，提升學習能力”的課改方向. 筆者為了積極參與教研室的課堂教學改革，在教學上作了大膽的實踐探索.

為了了解學生數學學習的相關情況，特設計了以下幾個問題，對學生作了問卷調查.

數學學習情況調查卷

1. 你對學習數學感興趣嗎？

A. 感興趣

B. 不感興趣，數學知識太枯燥

C. 不感興趣，數學方法技能太難掌握

D. 其他（如：_________________）

2. 你覺得當前學習數學的主要困難在哪里？

A. 基礎太差，完全聽不懂

B. 老師上課太快，跟不上節奏

C. 上課能聽懂，但課后自己又做不來

D. 其他（如：_________________）

3. 為了學好數學，你打算怎么辦？

A. 上課認真聽講，多做多練

B. 多向老師、同學請教

C. 平時多積累數學方法和技能

D. 其他（如：_________________）

4. 你覺得數學學習對你最有幫助的是什么？

A. 沒有幫助

B. 鍛煉我的思維能力

C. 對日常生活有幫助

D. 對學習其他課有幫助

5. 你在學習數學時遇到困難怎么辦？

A. 向老師請教

B. 向同學請教

C. 上網查資料

D. 放棄

通過問卷調查，經整理后發現農村中學生在學習數學時有以下幾個方面的問題：

（1）學習力的第一要素是學習的動力，而興趣是學習最好的老師. 通過對第一個問題的分析（圖1）發現，農村中學生對學習數學的興趣普遍不大，其中不感興趣的主要原因是學生認為數學知識枯燥、乏味，公式繁多、計算繁復、邏輯推演晦澀難懂，花的時間不少，但考試效果總是不佳.

（2）學習的能力是學習力的一大要素. 從學生對第二個問題的回答（圖2）可以發現，有55%的學生存在上課能聽懂，但自己做不了題的情況，這說明學生的學習能力有很大的欠缺，主要原因在于對基本概念、定理模糊不清，不能用數學語言準確地表達概念、公式、定理，知識與問題之間聯系不起來，不知道如何運用已有的知識去解決問題. 學習力還表現在學習方法上，從學生對第三個問題的回答（圖3）可以發現，學生在學習方法上大多傾向于多做多練，有45%的學生認為要多做多練，有33%的學生會向他人請教，而只有12%的學生覺得要從平時的學習中去積累數學方法和技能，學習方法上存在一定的盲目性.

（3）學習的毅力也直接影響著學習力. 從學生對第四個問題的回答（圖4）可以發現，學生對學習數學的目的性有著清醒的認識，有90%左右的學生認為數學學習能鍛煉自己的思維，且對學習其他學科有幫助. 初中階段的數學課程對學生抽象邏輯思維能力的要求有了明顯提高，處于由直觀形象思維為主向抽象邏輯思維為主過渡的關鍵期，沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式，而且學生個體差異也比較大，有的抽象邏輯思維能力發展快一些，有的則慢一些，因此表現出數學學習接受能力的差異. 從學生對第五個問題的回答（圖5）可以發現，學習中遇到問題，有80%左右的學生會向同學和老師請教，而只有10%左右的學生選擇自己思考，這對學生思維能力的提高不利. 從中可以發現，學生對學習數學缺少毅力，遇到困難不能積極主動地去探求.

綜上可知，進入初中以后，與小學階段的學習相比，初中數學難度加深，且教學方式的改變、邏輯性的加強使得很多學生害怕數學，明明很簡單的問題，就是不知從何下手. 在掌握數學知識的技能、技巧方面，新的技能、技巧形成都必須借助已有的技能技巧，而很多學生往往是因為已有的經驗和技能技巧與要學的新知識脫節，從而造成對新知識的不理解，所以，在平時的教育教學中，筆者經常思考如何才能使學生對所要掌握的經驗和技能技巧加深理解與記憶.

教育學認為親身經歷的或感受到的知識，理解和記憶的效果是最佳的. 所謂“情景”，即感情與景色，情景交融，有景和情感的體驗有利于學習力的加強. 數學知識不可能每一項都去親身經歷，很多數學問題有較強的邏輯性，需要一定的邏輯思維能力和空間想象能力，所以，筆者在想，能否給這些數學知識設定一定的“情景”，以激發學生的學習興趣. 下面就如何在數學學習過程中，對數學知識賦予一定的“情景”，提升學習數學的能力談談自己的做法.

給基本幾何公理賦予故事情景，加深對幾何公理的認識和應用

如“兩點之間，線段最短”是初中平面幾何的基本公理之一，可以給出圖6，并詢問圖中虛線所示的路是如何形成的？為什么人們要這樣走？學生根據平時的生活經驗，很容易達成共識：從點A到點B沿連接兩點的線段走，最近. 而我們將其轉化為數學問題，即如圖7所示，在連接A，B兩點的所有連線中，線段最短，簡稱為“兩點之間，線段最短”.endprint

這個公理很簡單，也很容易理解，但這個公理在后面的學習中有著巨大的應用，如這個公理可以直接應用在三角形三邊關系的證明中，即“在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”. 如圖8所示，根據公理易得從點B到點C沿線段a走肯定比沿折線b+c走近，于是可得b+c>a，同理可得a+c>b，a+b>c，變形可得a-b

從“兩點之間，線段最短”到“三角形的三邊關系”，學生較易理解，但如果涉及具體的問題，學生就不易形成解題思路. 下面就如何應用公理和定理來解決具體問題，如何為公理賦予情景，談談自己的想法.

案例1 （2009湖北鄂州中考）如圖9所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+PD取得最小值時，△APD中邊AP上的高為多少？

分析 本例中關鍵的問題是當點P運動到何處時PA+PD最小，只有確定了點P的位置，才能求AP邊上的高. 如何確定點P的位置，思路很難形成，很多學生會感到無從下手，其實本例就是利用“兩點之間，線段最短”這個公理來解決的. 為了解決這個問題，我們可以先將其中的PA+PD的長度從問題抽取出來，將BC看作一條直線，A，D看做是直線外同側的兩點，如圖10所示，即在直線BC上找一點P，使它到直線外同側兩點的距離之和最小.

要解決這個問題其實很簡單，方法如下（如圖11）：

（1）過點A作關于直線BC的對稱點A′；

（2）連接A′D，交直線BC于點P，則點P就是所求的點.

理由：若所選的點不在上述作法的P點處，如圖12所示，若點在P′處，由對稱性得P′A=P′A′，PA=PA′，則P′A+P′D=P′A′+P′D>A′D=A′P+PD=PA+PD，即P′A+P′D>PA+PD，所以當點在上述所作的點P處時，PA+PD最小.

案例1的原理是根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，但實際是運用了“兩點之間，線段最短”這個公理.

有了以上結論，要解決案例1就易如反掌了，即如圖13所示，只要找到點A關于直線BC對稱的點A′，并連接DA′交BC于點P，此時PA+PD取得最小值. 再根據已知條件易得BP是△A′AD的中位線，則可得BP等于AD的一半，即BP=1，BP的長確定后再利用面積即可得AP邊上的高.

有很多老師對這個最值問題做了研究，也有老師找了很多的方法，通過分析學生很容易理解，講了以后學生也能做，但將它融入其他元素后，受到圖形或其他條件的干擾，遇到類似的問題就又不知從何下手. 所以，為了讓學生理解和掌握這類問題，筆者在平時的教學過程中對利用“兩點之間，線段最短”這個公理解決這一類問題賦予一個故事情景，稱之為“將軍騎馬飲水”問題：如圖14所示，很久以前，一位古希臘的將軍早上從營房A處出來，騎馬到河邊（把河看作直線l）讓馬飲水，然后到訓練場B處訓練，問在河邊的什么地方讓馬飲水才能使所走的路程最短？

將這個簡單的公理賦予一個故事化的情景，學生非常感興趣，也覺得我們的數學公理有了實際意義，這樣，學生下次遇到這類問題，首先會記起這個故事情景，從而回憶起解決問題的方法. 無論題目如何變化，只要把握問題的實質（即在直線上找動點到兩個定點的距離之和最小），將這個基本圖形從問題中抽離出來，難題也就迎刃而解了. 下面兩個案例雖然融入其他元素，但有了這個情景，學生在看到題目時很容易將其從題中分離出來，從而找到解題方法.

分析 此題將問題套上了圓這個圖形的“殼”，學生在思考時總是在考慮用圓的知識來解決這個問題，這樣一來就容易走入“歧路”. 其實，將其中的主要元素剝離出來，直徑MN可看作直線，即在直線上找一點使其到圓上兩定點距離之和最小，看清這點后我們就可以用“將軍騎馬飲水”來解決. 如圖16所示，過點B作直徑MN的垂線，交⊙O于點B′，連接AB′交MN于點P，再利用圓的軸對稱性，可得點B′是點B關于MN的對稱點，則此時點P到A，B的距離之和最小，PA+PB=PA+PB′=AB′，連接OA，OB′，根據已知條件易得∠AOB=90°，再利用勾股定理就可求得AB′的值.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

分析 本例是2013年瀘州中考的壓軸題，涉及二次函數等知識，綜合性較強，其中第（2）問是在拋物線對稱軸上找一點C，使得△BOC的周長最小，通過分析可知，點O和點B為定點，即BO的長不變，當OC+BC取得最小值時，△BOC的周長也取到最小值，于是題目轉化為“將軍騎馬飲水”問題，只要找到點O或點B關于拋物線對稱軸對稱的點即可. 根據拋物線的對稱性發現，點O關于拋物線對稱軸對稱的點為A，則連接AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點.

將數學知識賦予“文化”情景，以深厚的文化背景賦予數學知識以靈魂

中國文化源遠流長，我們是文明古國，有著悠久的歷史和燦爛的文化，在數學上也有著杰出的成就. 在學習數學時，若能多了解和應用一些我國古代的數學成就，一方面能增強學生的自豪感，另一方面能激勵學生學習.

九年級上冊3.2節圓的軸對稱性（2）中，其中例3計算了趙州橋拱形所在圓的半徑，我發現很多學生在計算涉及半徑、矢高、弦長和弦心距問題時，比較盲目，所以筆者就以“趙州橋”為情景，首先介紹趙州橋的有關知識，激發學生的學習興趣. 趙州橋坐落在河北省趙縣洨河上，建于隋朝，由著名匠師李春設計和建造，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋. 趙州橋的設計構思和工藝的精巧，不僅在我國古橋首屈一指，據世界橋梁的考證，像這樣的敞肩拱橋，歐洲到19世紀中期才出現，比我國晚了一千二百多年.

其次，有了趙州橋這個文化情景作鋪墊，再尋找這類問題的解決途徑，筆者將“趙州橋”問題解決途徑概括成“一個中心，兩條道路”. 如圖18所示，為了說明方便，將涉及的四個量分別用字母表示，半徑為r，弦心距為d，弦長為l，矢高為h，易得四個量之間的關系：

（1）r=h+d（小于半圓的拱形）或r=h-d（大于半圓的拱形）；

利用以上兩個關系式，在這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求其他兩個量. 圓中有很多涉及這幾個量計算的問題，也即是垂徑定理在圓中計算的直接應用.

解決“趙州橋”問題的一個中心，即必須牢牢把握以半徑、半弦和弦心距為邊所構成的直角三角形為中心，最終的計算要在這個直角三角形中用勾股定理來解決.

解決“趙州橋”問題的兩條道路：第一條是“直接”道路，只要已知的兩個量不是矢高h和弦長l，則根據四個量之間的關系就可以得到直角三角形中兩條邊的長度，可利用勾股定理直接計算出另外兩個量.

第二條是“間接”道路，走間接道路時已知量肯定是矢高h和弦長l，如課本例3的問題，由于在直角三角形中，半徑r和弦心距d兩個都是未知量，所以需設其中一個為x，利用勾股定理列方程解決.

“趙州橋”問題只要明確了“一個中心，兩條道路”，遇到問題時就有了方向性，尋找解題途徑也就有了目的性，下面我們就利用這個情景來解決案例4.

案例4 （2011浙江衢州中考）如圖19所示，木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑r，用角尺的較短邊緊靠⊙O，并使較長邊與⊙O相切于點C，假設角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點為B，較短邊AB=8 cm，若讀得BC的長為a cm，則用含a的代數式表示r為______.

分析 本題改編自浙教版九年級下冊“3.1 直線與圓的位置關系（3）”例4，本題中BC的長為a cm，即BC的長未知，則應分兩種情況討論：

①當0

將某些解題過程中常用的技能技巧賦予“情景”，提高解題能力

在數學解題過程中，很多實用而簡單的技能技巧有助于提高解題能力. 一個好的數學老師往往會非常重視這些技能技巧的傳授，如在列方程問題中，經常會遇到如案例5的兩種情況，學生易將兩種情況弄混.

案例5 （1）（2011甘肅蘭州中考）某校九年級學生畢業時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為（ ）

A. x（x-1）=2070

B. x（x+1）=2070

C. 2x（x+1）=2070

（2）在一次同學聚會上，參加的每個人都與其他人握手一次，共握手190次，設參加這次同學聚會的有x人，可得方程（ ）

A. x（x-1）=190 B. x（x-1）=380

C. x（x-1）=95 D. （x-1）2=380

建構主義認為，學習者要想完成對所學知識的意義建構，即達到對該知識所反映事物的性質、規律以及該事物與其他事物之間聯系的深刻理解，最好的辦法是讓學習者到現實世界的真實環境中去感受、去體驗. 而一個有意義的“情景”，有利于學生對知識的理解和掌握，有利于學生提高自身的學習力. 但筆者在實際教學中也發現，并非用得越多越好，還應遵循一定的規律.

第一，“情景”的設定宜精不宜多，過多的“情景”設定，會使學生造成“情景”疲勞，從而降低 “情景”對學生的刺激. 我們應針對平時易忽略的定理和公理，或經常使用的技能技巧等規律性的問題去設定“情景”.

第二，對學生影響深刻的“情景”會對學生的學習產生思維定式. 學生遇到類似問題往往會按照習慣性思維去解決，不易發揮學生的靈活性. 如在案例2中，得到PA+PB的最小值即弦AB′時，若不是連接OA，OB，而是用“趙州橋”問題去構造直角三角形來求弦長（如圖22），就有可能造成已知條件和要求的結果之間的一個脫節. 所以，在利用“情景”來強化和規范學生的解題思路時，既要認識到有利的一面，也要注意克服不利的一面，當所呈現的條件不滿足或不適合“情景”時，不要生搬硬套，而應跳出“情景”，另尋解題思路.

皮亞杰認為，“主體所完成的一切建構都以先前已有的內部條件為前提”. 知識“情景化”能有效鞏固“先前已有的內部條件”，激發學生學習的動力；通過規范解決問題的思路，能有效降低思維難度，提高學習能力，獲得成功體驗，從而增強學習毅力. 學生反映，遇到類似的問題很容易回憶起情景，從而尋找解題途徑，但如何設置更加符合知識的有效“情景”，需要我們在今后的教育教學中不斷探索.