引之以思，導之以想

周強

[摘 要] 本文以新課標數學思想為指導，有意識地選擇一種幾何題型，精心設計改編，意在引導學生解決時逐漸滲透數學思想，同時希望一線教師對其予以關注與思考.

[關鍵詞] 幾何題型；數學思想；方法

縱觀近幾年中考幾何題，主要考查幾何圖形、函數、方程、全等、相似等重要知識與數學思想的結合. 通過以下例題的分析，我們發現在幾何問題中體現的數學思想方法并不單一，綜合體現了兩到三種不同的數學思想方法. 如果能熟練掌握數學思想方法，就會使解決幾何問題更加快捷、簡便、準確. 因此，在教學中為了實現這一難點的突破，筆者有意識地選擇一種幾何題型，精心設計改編，在引導學生解決時逐漸滲透函數思想、方程思想、轉化思想，以期培養學生運用數學思想方法解決問題的意識和運用數學思想方法解決具體問題的能力.

引例 如圖，正方形ABCD中，點E，F，G分別為AB，BC，CD邊上的點，EB=3 cm，GC=4 cm，連接EF，FG，GE恰好構成一個等邊三角形，則正方形的邊長為______cm.

以下是我們探索該題以不同的數學思想為指引形成的不同解法：

方程法

法一：

【分析】 通過題目中的已知條件EB=3 cm，GC=4 cm，設等邊三角形EFG的邊長為a，結合Rt△BEF，Rt△CFG和Rt△GME，利用勾股定理建立方程，可以求出BF，CF，GM，利用BF+CF=GM建立方程，求得等邊三角形的邊長，從而求得正方形的邊長.

【解答】 過G作GM⊥AB于M，設EF=FG=GE=a，a>0. ME=CG-BE=4-3=1.

【點評】 此方法輔助線易作，入手簡單，是大多數學生容易想到的方法，不足之處在于計算起來稍顯煩瑣. 屬于“入門較易，出門較難”的方法.

法二：

【分析】 通過題目中的已知條件EB=3 cm，GC=4 cm，等邊三角形EFG中EF=GF，結合Rt△BEF和Rt△CFG，利用勾股定理建立方程，求出BF，CF即可求出正方形ABCD的邊長BC.

【點評】 此法是方程思想在幾何問題中的運用，學生易下手，不易求解，對解方程的能力要求較高，特別是 8x2-14xy-15y2=0的分解有一定的難度，所以很多學生在此題上“入門較快，出門較慢”.

構造法

【分析】 通過等邊三角形EFG中EF=FG，聯想到全等三角形，再利用等邊三角形EFG中∠EFG=60°，結合三角形的外角定理聯想到構造一個60°的角，加上正方形中∠B=∠C=90°，即構造一個30°的角便可得到60°的角.

【點評】 此法不易想到，對學生要求很高，要求學生對特殊角的三角函數、全等三角形以及幾何構造思想非常熟悉. 作輔助線是本方法的難點，利用輔助線將長度問題轉化到全等圖形中來解決，使計算難度大大降低，體現了轉化的數學思想，此方法屬于“入門難，出門易”.

旋轉法

【分析】 通過等邊三角形EFG中FE=FG，聯想到旋轉，故將Rt△FCG繞著點F逆時針旋轉60°，得到Rt△FPE. 連接CP，FP，可證明△CPF為等邊三角形. 延長EP交BC的延長線于點Q，可得到一個含30°角的Rt△FPQ.

【點評】 此方法難點有三，一是不易想到旋轉的方法構造新的圖形，而是不能及時反應出旋轉過后的△CPF為等邊三角形，最后不太容易反應出△FPQ是一個含30°角的直角三角形. 本方法難于想到，計算復雜，屬于“入門難，出門難”.

近幾年中考幾何題主要通過變換課本原題或模擬題的視角、解題策略編成，主要考查函數、方程、全等、相似等重要知識點在幾何圖形中的運用. 通過實踐探索，我們發現，對學生而言，引導其建立數學思想，將成為突破難點的金鑰匙，通常結合兩到三種不同的數學思想方法，連同數形結合，滲透、發展學生利用數學思想解決問題的能力. 若能熟練掌握數學思想方法，則使解決幾何問題更加快捷、簡便、準確，也更加能夠使學生做到舉一反三，觸類旁通. 因此，一線教師在教學活動中應該有意識地選擇此類題目，在題目中逐漸滲透函數思想、方程思想、轉化思想，培養學生運用數學思想方法解決問題的意識，逐步養成運用數學思想方法解決具體問題的能力.endprint