關于3種運動的瞬態過程問題賞析

鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

在電磁學中，暫態電路的充電和放電過程都屬于瞬態過程，物理量隨時間按指數規律變化.其微分方程及其通解都具有特定的形式.此外，對于物體的變速運動，由于受力特點不同，其瞬態過程將不同.

下面對有關物體從靜止開始加速運動到最大速度的3種瞬態過程問題舉例分析.

1 滑桿在恒定動力和安培力作用下的運動

對于物體在恒力F和線性阻力f＝kv共同作用下的加速直線運動過程，速度變化遵循一定的規律.

【例1】如圖1所示，足夠長的光滑水平導軌，相距l＝0.5m，左端接有電阻R＝1Ω.勻強磁場的磁感應強度為B＝2T，方向與軌道平面垂直，金屬棒置于導軌上，質量為m＝200g，電阻為r＝0.5Ω.現讓金屬棒在水平恒力F＝2N 作用下由靜止開始沿軌道運動.設金屬棒始終在磁場中與軌道接觸良好，導軌和導線的電阻均不計.對于金屬棒從開始運動到速度最大的過程，求：

（1）金屬棒發生的位移；

（2）通過電阻R 的電荷量；

（3）在電阻R 上產生的熱量.

圖1

解析：（1）金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢為E＝Blv，則金屬棒受到安培力為

由牛頓第二定律列微分方程為

即

由此可知穩定速度為

時間常數為

因初速度v0＝0，由瞬態過程的結論可得金屬棒沿軌道下滑的速度為

由動量定理有Ft－ks＝mv，可得位移關系式為

（2）由動量定理有

可得通過金屬棒的電荷量為

所以在電阻R 上產生的熱量為

如果在題中給出的位移、電荷量或熱量的某個數值小于上述計算結果，將導致題目中的數據不自洽.

2 潛艇在線性阻力作用下以恒定功率行駛

對于物體在線性阻力作用下以恒定功率加速直線運動的過程，速度變化遵循一定的規律.

【例2】有“潛艇之王”之稱的美國“俄亥俄”級潛艇，在水下行駛時的質量為2萬噸，行駛中受阻力f＝kv，其中k＝1.8×105N·s／m，當其以P＝4.0×104kW 的恒定功率在水下行駛時，求：

（1）最大速度；

（2）啟動多長時間達到最大速度的一半？

分離變量得

即

由此得

3 汽車在恒定阻力作用下以恒定功率行駛

對于物體在恒定阻力作用下以恒定功率加速直線運動的過程，速度變化遵循一定的規律.

【例3】已知汽車的額定功率為P，質量為m，運動過程中受到恒定阻力為f，汽車運動的初速度為v0，求汽車達到最大速度所需的時間是多少？

設

則

由式（3）得

則

代入式（4）并整理得

即為

由（3）式可知，當u＝5時，速度v＝0.993vm，此時可認為汽車達到最大速度，則由（4）式可知汽車從靜止到速度最大過程所經歷的時間為

如果初速度為v0，則由靜止加速到v0經歷的時間為

所以汽車從初速度為v0加速到最大速度所需的時間為t＝tm－t0，即為

式（6）是不同速度所對應的時間，式（9）是物體達到最大速度所經歷的時間.

【例4】（2009年高考上海物理試卷第20題）質量為5×103kg的汽車在t＝0時刻速度v0＝10m／s，隨后以P＝6×104W 的額定功率沿平直公路繼續前進，經72s達到最大速度，設汽車受恒定阻力，其大小為2.5×103N.求：

（1）汽車的最大速度vm；

（2）汽車在72s內經過的路程s.

分析：最大速度為

將數據代入式（9）得時間為

此時汽車的速度為v＝0.993vm≈23.83m／s，非常接近最大速度了.

可見原題中的數據t＝72s是不合理的，或者說是不自洽的.

對于例題1，可直接利用瞬態過程的結論進行解答，稱為指數瞬態過程；對于例題2和3，則需先對微分方程變換形式，再利用瞬態過程的結論進行解答，可稱為另類瞬態過程.需通過數學變換，使某一變量與指數瞬態過程發生聯系，從而利用瞬態過程的結論，化繁為簡.

有趣的是，對于物體由靜止開始加速運動的瞬態過程，達到最大速度所經歷的時間都與“滿速比”β有關.

當動力恒定，阻力為線性力時

當動力功率恒定，阻力為線性力時

當動力功率恒定，阻力為恒力時

對應的時間常數分別為

綜上可見，瞬態過程形式多樣.解答瞬態過程問題的關鍵是列出變量的一階常系數線性微分方程，再利用瞬態過程的結論直接寫出通解，可避免數學積分過程.瞬態過程的結論不僅能巧妙解題，而且還可用來擬題，或者判斷題目中的數據是否自洽以及檢驗常規解法所得結果是否正確.

1 朱佩明.物理問題的規定性與習題命制的誤區.物理教學，2009（1）：42

2 詹國榮.恒功率啟動運行物體的速度變化規律.物理教學，2012（5）：52

3 趙曰峰，趙林明，宋輝武.談汽車以額定功率啟動達到最大速度的時間.物理教師，2014（5）：58