“測電源電動勢和內(nèi)阻”實驗誤差的數(shù)學(xué)分析

彭國良

（荊門市屈家?guī)X管理區(qū)五三高中 湖北 荊門 431821）

數(shù)學(xué)作為一種工具，普遍應(yīng)用于各種學(xué)科之中.數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)思想方法用在高中物理電學(xué)實驗誤差分析中，可以減少大量的運算過程，使問題簡單直觀，易懂，好理解.

“測電源電動勢和內(nèi)電阻”實驗是高中物理電學(xué)實驗中的一個重要實驗，也是高考考試說明中要求較高的一個實驗.《物理·選修3－1》教材中提供了3種測量方法：第1種是采用伏安法進(jìn)行測量；第2種采用U，R 測量；第3種是采用I，R 測量.以下用數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法分析這3種測量方法的誤差情況.

1 伏安法測電源的電動勢和內(nèi)電阻

伏安法測電源的電動勢和內(nèi)電阻實驗中有兩種實物接法，教材中沒有選擇圖1所示的電路進(jìn)行測量，而選擇了圖2所示的電路進(jìn)行測量，這是為什么呢？

圖1

圖2

利用圖1測量：設(shè)電流表的內(nèi)阻RA，電壓表的讀數(shù)為U，電流表的讀數(shù)為I，利用閉合回路的歐姆定律得

然后根據(jù)數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，描繪出U－I 數(shù)學(xué)函數(shù)圖像，如圖3所示

在實際操作中測量多組電壓表和電流表的值，描繪出U－I 圖線，用縱截距代表所測電源的電動勢，斜率值的大小代表所測電源的內(nèi)阻值.

從數(shù)形結(jié)合來看，縱截距能代表所測電源的電動勢，但斜率值的大小是（RA＋r），由此可知此實驗中電源內(nèi)阻的測量有誤差，主要是由電流表的內(nèi)阻不能忽略而引起的.

如果用此方法測量電源的電動勢和內(nèi)阻，只需盡可能地減小電流表的內(nèi)阻值，這樣實驗中的誤差才盡可能的小，所以在實驗中應(yīng)盡可能選擇小內(nèi)阻的電流表進(jìn)行實驗.

理論分析：本實驗中電源電動勢的測量值是準(zhǔn)確的，但內(nèi)阻的測量值是（RA＋r），所以測得內(nèi)阻值偏大.

利用圖2測量：設(shè)電壓表的內(nèi)阻RV，電壓表的讀數(shù)為U，電流表的讀數(shù)為I，利用閉合回路的歐姆定律得

式（2）可化為

根據(jù)數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，描繪出U－I 的函數(shù)圖像，如圖4.

圖4

在實際操作中，多測幾組電壓表和電流表的值，描繪出U－I 圖像，用縱截距代表電源的電動勢，用斜率值大小代表電源的內(nèi)阻值.

理論分析：本實驗中電源電動勢的測量值是偏小的，電源內(nèi)阻值的測量也是偏小的.

通過以上數(shù)形結(jié)合分析可知，無論是利用圖1還是圖2測量電源電動勢和內(nèi)阻值，理論分析都會有誤差，第1種是電流表的內(nèi)阻不能忽略而產(chǎn)生的誤差，第2種是電壓表的內(nèi)阻不是無窮大而產(chǎn)生的誤差.但是就實際情況而言，電源的內(nèi)阻一般不會很大，與電流表的內(nèi)阻比較接近，電壓表的內(nèi)阻值遠(yuǎn)大于電源的內(nèi)阻值.所以選擇第2種測量方法的誤差比第一種測量方法的誤差要小得多，所以教材中選擇了第2種測量方法.

2 采用U 和R 測量電源的電動勢和內(nèi)電阻

《物理·選修3－1》中還提供了U，R 測量電源電動勢和內(nèi)阻的思路（如圖5），其中R 為變阻箱.

如圖5，設(shè)電壓表的內(nèi)阻值為RV，電源的電動勢為E ，電源的內(nèi)阻值為r，變阻箱的阻值為R ，由閉

合回路的歐姆定律得

式（4）可化為

圖5

圖6

理論分析：電源電動勢的測量值偏小，內(nèi)阻測量值也偏小.

3 采用I和R 測量電源的電動勢和內(nèi)電阻

《物理·選修3－1》中也提供了I，R 測量電源電動勢和內(nèi)阻的思路，如圖7所示，圖中的R 為電阻箱.

圖7

設(shè)電源的電動勢為E，內(nèi)阻值r，電阻箱的阻值為R，電流表的內(nèi)阻值為RA，由閉合回路的歐姆定律得

式（6）可化為

圖8

通過此方法則得電源電動勢的值是準(zhǔn)確的，但是內(nèi)阻值偏大，原因是電流表的內(nèi)阻不能忽略，為了盡可能地減小誤差，只能讓電源的內(nèi)阻值遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻值，所以實驗中只能盡可能選內(nèi)阻較小的電流表.

理論分析：電源電動勢的測量值是準(zhǔn)確的，內(nèi)電阻值測得偏大.

1 張大昌.普通高中課程實驗教科書物理·選修3－1.北京：人民教育出版社，2010.70