“場(chǎng)力做功”的特點(diǎn)都一樣嗎？

沈志輝

（上海市松江一中 上海 201600）

場(chǎng)是物質(zhì)存在的兩種基本形態(tài)之一，存在于整個(gè)空間.簡(jiǎn)單地說(shuō)，物理學(xué)中所說(shuō)的“場(chǎng)”就是具有某種物理作用的空間.在這個(gè)空間里可以測(cè)量到反映物體作用的物理量.每一種場(chǎng)都有對(duì)應(yīng)的物理特性或物質(zhì)屬性，例如電磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)于電磁特性.電磁場(chǎng)是由具有電磁性的物體產(chǎn)生的，并且只對(duì)具有電磁性的物體產(chǎn)生作用.

1 問(wèn)題的提出

在歷史上，場(chǎng)的概念主要是從牛頓提出萬(wàn)有引力定律開(kāi)始，牛頓理論清晰地告訴人們關(guān)于超距作用的思想.牛頓的后繼者們?cè)谀承┓矫嫔踔帘扰ｎD走得更遠(yuǎn)，在牛頓超距作用理論的影響下建立了不少電磁學(xué)理論，如庫(kù)侖定律、安培環(huán)路定理等，這些理論說(shuō)明了引力、電力、磁力是同類力，是統(tǒng)一的.但牛頓的萬(wàn)有引力定律不要求兩個(gè)物體接觸，這困擾了很多人，包括牛頓本人.

為了合理解釋這種超距現(xiàn)象，牛頓的后繼者中另外一些人則選擇了一條不同的道路，他們把看來(lái)像“超距作用”的力看做是靠充滿空間的一種介質(zhì)傳遞的，這樣就把超距作用歸并到接觸作用的概念之中，這種觀點(diǎn)直接導(dǎo)致了“以太”假說(shuō)的出現(xiàn).笛卡兒于1644年最先將以太引入科學(xué)，并提出了引力的“以太漩渦說(shuō)”.1820年4月，丹麥物理學(xué)家?jiàn)W斯特發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體中及其周圍空間會(huì)發(fā)生所謂的“電沖突”，并得出結(jié)論：電沖突只能對(duì)磁性粒子起作用，奧斯特的發(fā)現(xiàn)與牛頓的超距作用理論是矛盾的.1821年9月，法拉第受奧斯特的“電沖突”的啟發(fā)，歷經(jīng)10年，發(fā)現(xiàn)了“電磁感應(yīng)”現(xiàn)象，提出了“電致緊張狀態(tài)”和“磁感線”兩個(gè)概念.在接下來(lái)的日子里，麥克斯韋相繼發(fā)表3 篇論文：《論法拉第力線》、《論物理力線》、《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》，文章指出：場(chǎng)是在一定空間連續(xù)分布的，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，光波就是電磁波等，并明確宣告他提出的理論可以稱為“電磁場(chǎng)的理論”.緊接著，赫茲通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了麥克斯韋電磁理論的正確性…… 現(xiàn)如今，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明以太是不存在的.于是，人們逐漸意識(shí)到物質(zhì)有兩種基本形態(tài)：實(shí)物和場(chǎng).而且，我們也知道，物理學(xué)的發(fā)展，使實(shí)物和場(chǎng)走向統(tǒng)一.

所有的場(chǎng)都是可以測(cè)量到物理量的空間.每種場(chǎng)只與對(duì)應(yīng)的特性或?qū)傩韵嗷プ饔?場(chǎng)之間沒(méi)有交叉作用.任何物質(zhì)之間的相互作用都是依靠相應(yīng)的場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、引力場(chǎng)等.那么，場(chǎng)之間具有這么多的共性，是否意味著場(chǎng)力做功也具有相似的特點(diǎn)呢？這是值得我們研究的話題.本文就是在場(chǎng)的眾多共性基礎(chǔ)上，探討一下典型場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，從而區(qū)分磁力做功擁有不同的一面.

2 典型“場(chǎng)力”做功的特點(diǎn)

2.1 引力場(chǎng)—— 重力做功

物體和地球構(gòu)成一重力系統(tǒng)，物體所受的重力是系統(tǒng)的內(nèi)力.現(xiàn)設(shè)質(zhì)量為m 的物體從a 點(diǎn)沿任一曲線acb 運(yùn)動(dòng)到達(dá)b 點(diǎn)，a點(diǎn)和b 點(diǎn)對(duì)所選取的參考平面來(lái)說(shuō)，高度分別為ha和hb，如圖1所示.

圖1

在位移元ds中，重力G 所做的功是

式中

就是在位移元ds中物體上升的高度，所以重力所做的功是

可見(jiàn)物體上升時(shí)（hb大于ha），重力做負(fù)功（A 小于零）；物體下降時(shí)（hb小于ha），重力做正功（A 大于零）.

從計(jì)算中可以看出，假使物體從a 點(diǎn)沿另一曲線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，所做的功仍如式（1）所示.由此可知，重力做功的特點(diǎn)是：做功只與運(yùn)動(dòng)物體的始末位置（ha和hb）有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān).這個(gè)特點(diǎn)也可表述如下：當(dāng)物體從a 點(diǎn)沿任一閉合路徑繞行一周時(shí)，重力所做的功為零.具有這種特點(diǎn)的力稱為保守力，那么引力場(chǎng)可稱之為保守場(chǎng).

2.2 靜電場(chǎng)—— 電場(chǎng)力做功

設(shè)在給定點(diǎn)O 處，有點(diǎn)電荷q.現(xiàn)有試驗(yàn)電荷q0在q的電場(chǎng)中從a 點(diǎn)經(jīng)過(guò)任意路徑acb到達(dá)b點(diǎn)，如圖2所示.

在路徑中任一點(diǎn)c的附近，取與c極鄰近的c′點(diǎn)，從c到c′的位移元為dl，并設(shè)c點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為E，可知在dl這段路徑上，電場(chǎng)力q0E 所做的功為

式中θ是E 的方向和dl的方向之間的夾角，已知

代入式（2），可得

圖2

當(dāng)試驗(yàn)電荷q0從a點(diǎn)移到b 點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功為

式中ra和rb分別表示從點(diǎn)電荷q所在處到路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的距離.由此可見(jiàn)，在點(diǎn)電荷q 的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，僅與試驗(yàn)電荷電量的大小以及路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān).

任何靜電場(chǎng)都可看做是點(diǎn)電荷系中各點(diǎn)電荷的電場(chǎng)的疊加，試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)試驗(yàn)電荷所做的功也就等于各個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力所做功的代數(shù)和.用數(shù)學(xué)式表示時(shí)，可記作

式中ria和rib分別表示從點(diǎn)電荷qi所在處到路徑的起點(diǎn)a和終點(diǎn)b的距離.由于每個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力所做的功都與路徑無(wú)關(guān)，所以相應(yīng)的代數(shù)和也與路徑無(wú)關(guān).因而得出結(jié)論：試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功，僅與試驗(yàn)電荷電量的大小以及路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān).這說(shuō)明靜電場(chǎng)力也是保守力，靜電場(chǎng)也是保守場(chǎng).

2.3 穩(wěn)恒磁場(chǎng)—— 磁場(chǎng)力做功

載流導(dǎo)線或載流線圈在磁場(chǎng)內(nèi)受到磁力（安培力）或磁力矩的作用，因此，當(dāng)導(dǎo)線或線圈的位置與方位改變時(shí)，磁力就做了功.下面筆者就從一些特殊情況出發(fā)，建立磁力做功的一般公式.

2.3.1 載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)磁力所做的功

設(shè)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B 的方向垂直于紙面向外，如圖3所示.磁場(chǎng)中有一載流的閉合電路abcd（設(shè)在紙面上），電流I保持不變，電路中導(dǎo)線ab之長(zhǎng)為l，ab可以沿著da 和cb滑動(dòng).按安培定律，載流導(dǎo)線ab 在磁場(chǎng)中所受的力F，在紙面上，指向如圖所示.F 的大小F＝BIl，在力F 的作用下，ab將從初始位置，沿著力F 的方向移動(dòng).當(dāng)移動(dòng)到位置a′b′時(shí)，磁力F所做的功A＝Faa′＝BIlaa′.當(dāng)導(dǎo)線在初始位置ab 和在終了位置a′b′時(shí)，通過(guò)回路的磁通量分別為Φ0＝Blda，Φ1＝Blda′，所以磁通量的增量為

可知在導(dǎo)線移動(dòng)的過(guò)程中，磁力所做的功為

圖3

這一關(guān)系式說(shuō)明，當(dāng)載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果電流保持不變，磁力所做的功，等于電流乘以通過(guò)回路所環(huán)繞的面積內(nèi)磁場(chǎng)量的增量；也可以說(shuō)磁力所做的功，等于電流乘以載流導(dǎo)線在移動(dòng)中所切割的磁力線數(shù).

2.3.2 載流線圈在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)時(shí)磁力所做的功設(shè)有一載流線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)法使線圈中電流維持不變.現(xiàn)在來(lái)計(jì)算線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，磁力所做的功.

圖4

如圖4所示，設(shè)線圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度dφ，使n與B 之間的夾角從φ 增為φ＋dφ.磁力矩為M＝BILsinφ，所以磁力矩所做的功

式中的負(fù)號(hào)表示磁力矩做正功時(shí)將使φ 減小.因?yàn)锽Scosφ 表示通過(guò)線圈的磁通量，而d（BScosφ）就表示線圈轉(zhuǎn)過(guò)dφ 后，磁通量的增量dΦ.所以式（5）也可寫成dA＝IdΦ.

當(dāng)上述載流線圈從φ1 轉(zhuǎn)到φ2 時(shí)，按dA＝IdΦ，積分后得磁力矩所做的總功

式中Φ1和Φ2分別表示線圈在φ1 和φ2 時(shí)，通過(guò)線圈的磁通量.

可以證明，一個(gè)任意的閉合電流回路在磁場(chǎng)中改變位置或改變形狀時(shí)，磁力或磁力矩所做的功都可按A＝IΔΦ 計(jì)算，亦即磁力或磁力矩所做的功等于電流乘以通過(guò)載流線圈的磁通量的增量.

如果電流是隨時(shí)間而改變的，dA＝IdΦ 仍能適合，但這時(shí)磁力所做的總功要用積分式計(jì)算

這是磁力做功的一般表達(dá)式.

由此可見(jiàn)，磁力做功并不像重力做功、電場(chǎng)力做功那樣，看來(lái)磁力并非保守力，故磁場(chǎng)并非保守場(chǎng).

3 為什么磁場(chǎng)不是保守場(chǎng)

與電場(chǎng)相仿，磁場(chǎng)是在一定空間區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的向量場(chǎng)，描述磁場(chǎng)的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B ，也可以用磁感線形象地圖示.然而，作為一個(gè)矢量場(chǎng)，磁場(chǎng)的性質(zhì)與電場(chǎng)頗為不同.

運(yùn)動(dòng)電荷或變化電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，或兩者之和的總磁場(chǎng)，都是無(wú)源有旋的矢量場(chǎng)，磁力線是閉合的曲線簇，不中斷，不交叉.換言之，在磁場(chǎng)中不存在發(fā)出磁力線的源頭，也不存在會(huì)聚磁力線的尾閭，磁力線閉合表明沿磁力線的環(huán)路積分不為零，即磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)而不是勢(shì)場(chǎng)（保守場(chǎng)），不存在類似于電勢(shì)那樣的標(biāo)量函數(shù).

在一個(gè)物理系統(tǒng)里，假若感受著一個(gè)作用力的施加，一個(gè)粒子沿某路徑從初始點(diǎn)移動(dòng)到最終點(diǎn)，而此作用力所做的物理功不會(huì)因?yàn)槁窂降牟煌淖儯瑒t稱此力為保守力.作用力為保守力，則它滿足以下的充要條件對(duì)于任何簡(jiǎn)單的閉合路徑，所做的功是零.數(shù)學(xué)表達(dá)式是

在存在保守力的系統(tǒng)中，可以引入和位置有關(guān)的能，稱之為勢(shì)能，如電勢(shì)能、重力勢(shì)能.另外還可以引入勢(shì)的概念，并把這樣的力場(chǎng)稱為保守場(chǎng)，如重力場(chǎng)和電場(chǎng)等.反之，如果一個(gè)力做功和路徑有關(guān)，則稱該力為非保守力.有非保守力存在的力場(chǎng)稱為非保守場(chǎng)，如磁場(chǎng)等.

定理可以寫成

兩邊乘以qm0（試探點(diǎn)磁荷），就可以得到

也就是磁場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)，因此說(shuō)穩(wěn)恒磁場(chǎng)是非保守場(chǎng).概括的說(shuō)，由安培環(huán)路定理可以看出，磁場(chǎng)中B的環(huán)流一般不等于零.綜上所述，穩(wěn)恒磁場(chǎng)的特點(diǎn)與靜電場(chǎng)有所不同，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，磁場(chǎng)是非保守場(chǎng)，故“場(chǎng)力做功”確有相似之處，但不盡相同.

1 程守洙，江之永.普通物理學(xué)（第4版）.北京：高等教育出版社，1994

2 馮杰.大學(xué)物理專題研究（第1版）.北京：北京大學(xué)出版社，2011

3 梁燦斌.電磁學(xué)（第2版）.北京：高等教育出版社，2004

4 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)（第2版）.北京：高等教育出版社，1998