一題多變的多解性問題

彭依林

波的多解性問題歷來是高考中的一個熱點，同時，又是學生學習波的一個難點所在。造成理解難的原因是學生對波的多解性問題的原因不明確，或者說理解得不夠透徹。現在我就通過一題多變的形式，讓大家深刻地認識造成波的多解性的原因所在。

例：一根張緊的水平彈性長繩上的a、b兩點相距8 m，b點在a

點的右方。當一列簡諧波沿此繩向右傳播時，若a點位移達到正向最大值，b點位移恰好為零，且向下運動。若波的波長大于8 m，經過1s后，a點位移第一次變為零，且向下運動，而b點的位移恰好達到負向最大值，則這列波的波速為多少？

解答：由題意可得，3＼4Y=8 m，t＼4=1s

所以，V=Y＼T=8＼3 m/s.

變式一：若把原題中的波長大于8 m取消，那波速為多少呢？

解答：T/4=1s，考慮到波在傳播的空間上具有周期性：

有（n+3/4）Y=8 m，其中n為0，1，2，3，4…，則波速V=Y/T=

8/（4n+3）m/s.

變式二：若把a點的位移第一次變為零改為位移變為零，則波速又為多少呢？

解答：由題意有，3/4Y=8 m，考慮時間上的周期性則有：（n+1/4）T=1s，故波速V=Y/T=8（4n+1）/3 m/s.

變式三：若把a點的位移第一次變為零改為位移變為零，并同時取消波長大于8 m的條件，則波速為多少？

解答：考慮波傳播的時間、空間的周期性有：a、b兩點間的距離可寫成：（n+3/4）Y=8 m，其中n為整數a點回到平衡位置經過的時間為：（m+1/4）T=1s，其中m為整數則有波速V=Y/T=8（4m+1）/（4n+3）.

變式四：取消原題中波向右傳播的波長大于8 m的條件，并把a點的位移第一次變為零，該位移變為零，則波速又該如何計算呢？

解答：這時候需要考慮波傳播的雙向性，波向右傳播時就是上面變式三的情況；波向左傳播時，則有：a、b之間的距離可寫成：

（n+1/4）Y=8 m，其中n為整數a點回到平衡位置經過的時間為：（m+1/4）T=1s，其中m為整數則有波速V=Y/T=8（4m+1）/（4n+1）.

通過這一題多變的形式，我們可以總結出造成波的多解性的原因有以下幾個方面：

（1）波的傳播方向的雙向性：波可能沿+x也可能沿-x。

（2）波的空間周期性：沿波的傳播方向上，相差波長整數倍的質點在同一時刻的振動位移相同，其振動速度、加速度也相同，或者說他們的振動“相貌”完全相同。這樣，在同一波線上，某一振“相貌”勢必會不斷重復出現，這就是機械波的空間的周期性。波的空間周期性說明相距為波長整數倍的多個質點振動情況完全相同。

（3）波的時間周期性：在x軸上同一個給定的質點，在t+nT時刻的振動情況與t時刻的振動情況相同。因此，在t時刻的波形圖，在t+nT時刻會重復出現，這就是機械波的時間的周期性。波的時間周期性，表明波在傳播的過程中，經過整數倍周期時，其波的圖像相同。

（4）波形的不確定造成的多解：在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點，而其余信息均處于隱含狀態。這樣，波形就有多重情況，相關波動問題就有多解。

最后我想說的是，對于波的多解性問題，只要學生理解并掌握造成波的多解性的原因，然后認真分析題意，對癥下藥，問題一定會迎刃而解的。

參考文獻：

陶幼明，劉濤.一題多解培養學生創新思維能力[J].繼續教育究，2011（04）.

編輯 鄭 淼