借助幾何直觀優(yōu)化教學(xué)

莊文革

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將原來課程標(biāo)準(zhǔn)中六個(gè)“核心概念”增加到十個(gè)，“幾何直觀”就是新增加的核心概念之一。在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)就是代數(shù)問題幾何化，也就是“以形解數(shù)”。

下面以“八年級上冊《勾股定理》教學(xué)片段”為例說明如何發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

“勾股定理”的引入，設(shè)計(jì)了在方格圖中通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

1.觀察圖1-2，完成下列問題。

正方形A中有_______個(gè)小方格，即A的面積為_______個(gè)面積單位。

正方形B中有_______個(gè)小方格，即B的面積為_______個(gè)面積單位。

正方形C中有_______個(gè)小方格，即C的面積為_______個(gè)面積單位。

問：（1）你是怎樣得到上面結(jié)果的？

生1：通過數(shù)格子的辦法得到的。

（2）你能發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的面積之間有什么關(guān)系？

生2：A的面積+B的面積=C的面積

教師板書：S■+S■=S■

師：你能說出等腰直角三角形的三邊之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

生3：等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

師：通過剛才的問題等腰三角形的三邊具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一結(jié)論，那么一般直角三角形是否也有這樣的特點(diǎn)呢？

師：圖1-3是以一般直角三角形的邊做正方形。你能猜想一般的直角三角形三條邊之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生4：我猜想“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的

平方”。

2.做一做，見圖1-3

師：觀察圖1-3，并填寫下表：

問：（1）你是怎樣得到上面結(jié)果的？

生1：通過數(shù)格子及分割圖形的辦法得到的。

（2）你能發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的面積之間有什么關(guān)系？

生2：A的面積+B的面積=C的面積

師生共同總結(jié)得出實(shí)驗(yàn)探索結(jié)論“直角三角形的兩直角邊的

平方和等于斜邊的平方”。

師：現(xiàn)在有這樣的一個(gè)命題：“如果直角三角形的兩直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。”你能證明這個(gè)命題的正確

性嗎？

學(xué)生思考，交流后沒有學(xué)生會進(jìn)行證明。

師：看來這個(gè)問題難度很大，在前面我們通過計(jì)算正方形的面積發(fā)現(xiàn)結(jié)論。現(xiàn)在，我們的已知條件是一個(gè)直角三角形，如何運(yùn)用“直角三角形”構(gòu)造出“正方形”呢？

（學(xué)生思考）

師：現(xiàn)在我發(fā)給你們每人4個(gè)全等的直角三角形，請你們利用這些直角三角形拼出一個(gè)中空的正方形，利用面積來證明這個(gè)

結(jié)論。

（學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，教師巡視，并讓個(gè)別的學(xué)生把拼好的作品展示在黑板上，并寫出證明的過程）

……

本節(jié)課通過對教材進(jìn)行整合和再開發(fā)，設(shè)計(jì)利用格子圖中正方形面積計(jì)算直觀感知直角三角形的斜邊與直角邊的數(shù)量關(guān)系，又通過拼圖方法利用面積來證明勾股定理，學(xué)生經(jīng)歷面積計(jì)算及拼圖活動(dòng)的實(shí)驗(yàn)探索過程，發(fā)展了幾何直觀。

在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，對于數(shù)學(xué)很多問題的發(fā)現(xiàn)與解決，數(shù)學(xué)家的靈感往往發(fā)端于幾何直觀。幾何直觀貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，幾何直觀能力的培養(yǎng)也貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。因而希望以這個(gè)小課題的研究為起點(diǎn)，在今后的教學(xué)中不斷更新、完善，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

？誗編輯 馬燕萍