習題課上迸發的思維火花

李瑩瑩

摘 要：在一次排列組合的習題課教學中，我把思考題略加改變，加以探究引導，由于采用了小組合作的學習形式，調動了學生參與學習的積極性，拓展了學生思維，不僅完成了教學任務，還得到了意外的收獲，發現了求排列組合與概率相結合的方法，非常高興，也很難忘，并由此引發一些反思.

關鍵詞：排列組合；探究；習題課

一、課堂片段

這是一節習題課，內容是北師大版選修2-3的內容，本節課是關于排列組合分組分配問題的習題課.上課的前半段，復習排列組合的定義、區別與聯系，然后是練習鞏固.還有十多分鐘時引入了一道思考題，原本只是想讓學生復習鞏固本節的內容，但是學生卻用不同的方法給出了答案，不僅鞏固了基礎知識，而且還鍛煉了學生的思維能力，也有創新能力和實踐精神的培養.更重要的是學生給出了一種解決這類問題的新思路.

題：將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，且甲不能保送到北大，則不同的保送方案共有多少種？

為了降低該題的難度我將其分解成三個小問題：

1.問題一：將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分成三組，每組至少一人，有多少種不同的分法？

2.問題二：將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，則不同的保送方案共有多少種？

3.問題三：將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，且甲必須保送到北大，則不同的保送方案共有多少種？

師：問題一中是等分組還是部分等分組問題？

生：部分等分組問題，有兩種（1，1，3）和（1，2，2）.

師：部分等分組易錯點在哪里？

生：忘記除序.

師：如何抽取呢？

生：

師：問題一與問題二有何不同呢？

生：先分組再分配，將分好的三組再分配給三個不同的學校.

師：如何列式呢？

生：A33

師：問題三中的特殊元素是誰？

生：甲，要優先考慮.

師：甲必須保送到北大，分幾類？

生：甲1人去北大，含甲2人去北大，含甲3人去北大.

師：甲1人去北大，剩余4人有幾種分法？

生：剩余4人可以（1，3）（2，2）分組.

師：含甲2人去北大呢？三人呢？請列式表達.

生：安靜地思考并推導.

師：做好的小組內交流一下，舉手，哪一組愿意到黑板來演示？

生：由小組推薦代表到黑板板演.

解：甲一人去北大：C14C33A22+A22

含：甲兩人去北大C14C13C22A22

含：甲三人去北大C24A22

師：做得很好，現在我們來解決思考題，換個角度來思考，提示一下，正難則反.

生：教室很安靜，大家都在積極思考，有同學已經找到了解決的方法，面露喜色.

師：題目要求甲不能保送到北大，則它的反面是甲必須去

北大.

教室里開始有學生互報答案，組內互動開始了，有些學生已經開始整理思路，躍躍欲試了.

有學生迫不及待地表達，題目的反面就是甲必須去北大，也就是問題三，問題二求出了所有的分法，減去甲去北大的所有分法，就求出結果了，結果為100.

師：剛剛我們從反面來思考，能否換個角度，從正面分析行嗎？

生：甲不去北大，則甲去交大或去浙大.

師：甲去交大，分幾類？

生：甲一人去交大，含甲兩人去交大，含甲三人去交大.

師：甲去浙大呢？

生：這個問題和甲去北大是相似的，結果為100.

師：我們有兩種解題思路，一個是從正面分析，一個是從反面考慮.下面整理一下你的思路，你認為哪一種更易于接受并做好

記錄.

生：學生開始整理筆記，進行有效的推理與演算.

二、課后反思

激動、興奮與表揚：前蘇聯一位哲學家說過：“當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優美的曲調等等一樣而得到充分的快樂。”學生的學習也是如此.我面對學生在合作探究中意外的生成，除了及時給予表揚與鼓勵，也非常高興.為這樣的教學結果而高興，因為課前就沒有奢望學生會有這樣巧妙的思路.用概率解決分組問題，很巧妙，更重要的是突破了原有的思維模式，是學生創新思維的一種體現.