談數學中的反證法

何昊

談數學中的反證法

何 昊

（江蘇省南京市第十三中學鎖金分校）

摘 要：系統地介紹了理論基礎，對反證法的邏輯形式，唯一的負命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進行了詳細討論。

關鍵詞：反證法；否定性；唯一性

在數學的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數學證明中，它是一種間接的證據，被稱為“一個最先進的武器”的數學家.反證法經常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定—推理—反駁—肯定”四個步驟.一個數學問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應用范圍很廣，比如代數、數論、幾何、組合等方面的應用.

一、反證法的概念及類型

反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時，可以先將結論B予以否定，記作，然后從A與出發，經正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.

反證法大致可分為以下兩種類型：

歸謬法：論題結論的反面只有一種情況，只要把這種情況推翻就達到了目的.

窮舉法：論題結論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結論正確.

二、反證法常用于以下幾種命題的證明

1.存在性命題

例1：證明A，B，C，D，E五數之和等于5，則其中必有一個不小于1.

分析：這個問題似乎很簡單，但直接的證明是不容易的.因此，應用反證法，它可以很容易地證明.

證明：假設A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E<1×5=5

所以5個數都小于1不成立，故必有一個數不小于1，即原命題是正確的.

2.否定性命題

例2：設平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點都不會同時在這六個圓的內部.

分析：直接證明某點在哪些圓的內部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.

證明：假設平面內有一點M同時在這六個圓的內部，為了方便，我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A，B，C，D，E，F，連結MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考慮△AMB，M在⊙A內，B在⊙A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在△AMB中，AB大于其他兩邊.

由“大邊對大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很顯然，這個角圍成了一個周角，它們的和不可能大于360°，出現矛盾.

故而假設不正確，所以原命題成立.

3.唯一性命題

例3：求證方程x=sinx+a（a為常數）的解唯一.

分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.

所以原方程的解是唯一的.

從上面的例子中，我們可以看到，最大的優勢是反證法——超過一個或幾個條件，從相反的結論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達到負的假設、肯定原命題的目的.從上面，我們應該充分利用反證法，必須正確把握靈活運用“反設”“歸謬”這兩個反證步驟.反設是反證法的第一步，能否正確否定結論，對論證的正確性有著直接的影響.

反證法是很巧妙的，它的應用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個經驗問題.

參考文獻：

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