對一道模擬試題的思考

周剛偉

在高中數學中，我們經常會遇到求取值范圍或者求最值（最大值和最小值）的問題，對于這類題目大的方向可以往函數（構造函數然后利用基本初等函數的性質或者導數研究其單調性，根據單調性找范圍）或者不等式（基本不等式最重要的應用就是求最值），下面通過一個具體問題來闡述自己的一些想法。

題目：x，y滿足x2+2xy+4y2=6，求z=x+4y2的取值范圍 。

對于方法一、二、三理論知識的使用并沒用任何問題，但卻只求出了x2+4y2的最大值或者最小值，而對于方法四求出了x2+4y2的取值范圍，由此可知在遇到求范圍的問題時，采用不等式求解會出現問題，換句話說如果我們使用不等式對等式放縮的度把握不清會導致解不出我們所要求的范圍，因此在今后如果涉及求取值范圍的問題，我們可以更傾向于利用函數的思想來求解，那下面我們看一下這道題目利用函數思想的解題方法：

方法五：因為已知中涉及變量的平方，而兩個變量之間的關系又直接不好體現，基于這兩點我們可以聯想到三角函數中的平方關系，也就是我們可以采用三角代換的方法來解決這道

通過對該題目的解答我們可以得出：在今后我們如果遇到求取值范圍的問題時，經常用函數的思想來解決相關的問題；若遇到求最值（最大值或最小值）的問題，我們可以考慮函數的思想或不等式的思想。除此之外，我們高中階段經常涉及的求取值范圍和最值的方法大體上我們可以向三個方向考慮：一是函數的思想；二是不等式的思想；三是觀察需要求的表達式所具有的幾何意義，例如，在線性規劃中我們會根據式子的特點把我們所要求的表達式對應的幾何意義找到，利用幾何的方法確定出表達式的取值范圍或最值。