導數應用中的化歸與轉化思想

李文生

在數學的知識和技能中，蘊含著具有普遍性的數學思想，它是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁，是數學知識和方法產生的根本源泉，對數學思想的應用，是數學學習走向更深層次的一個標志，它能指導我們有效地應用數學知識，探尋解題方向.

數學對象的內部或者不同的數學對象之間，往往會以某種形式相互聯系，在一定的條件下能夠相互轉化，針對面臨的數學問題，實施或轉化問題的條件，或轉化問題的結論或轉化問題的內在結構，或轉化問題的外部表現形式等行動策略去解決有關的數學問題，能促進問題的解決，可以說，數學解題的過程就是不斷化歸與轉化的過程.

在應用導數解決問題的過程中，對于一時難以解決的問題，可運用轉化與化歸思想經過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，運用恰當的數學方法進行變換，將原問題化歸為一類已經能解決或者比較容易解決的問題.而導數綜合問題的主要類型有：

（1）不等式的恒成立問題；（2）證明不等式問題；（3）方程的求解問題.

通常，應用化歸與轉化思想解決導數的綜合問題時有一個基本的解題思路，即：將不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題；將證明不等式問題轉化為函數的單調性與最值問題；將方程的求解問題轉化為函數的零點問題、兩個函數圖象的交點問題等.

為了完成上述轉化，要把握兩個關鍵：（1）針對問題的需要，合理地構造函數，找到問題轉化的突破口；（2）通過“再構造、再求導”，實現問題的深度轉化.

下面通過具體例題，對上述兩個關鍵進行一些探究.

點評：一次函數、二次函數、指對數函數、冪函數、簡單的分式根式函數、絕對值函數的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化、明確化.

問題二：如何再次構造新函數，實現“二次求導”

在求導的過程中，常常會發現導函數大于0或小于0時對應的自變量取值無法確定，這時可考慮再次構造新函數，從而實現 “二次求導”.

評注：本題通過轉化，使求解a的取值范圍問題轉化為求函數的值域問題，再利用函數的連續性，進而轉化為函數的最值問題.在對本題解法的探究中，轉化是關鍵，構造函數是途徑，“二次求導”是方法和策略.

綜上所述，通過構造函數再利用導數這一研究函數的有力工具，能夠使解題思路自然流暢、過程清晰，正是應用化歸與轉化這一重要數學思想在解題中具有普遍指導意義的有力體現。其中構造函數的方式、方法是實現轉化的重要途徑，雖是“小構造”但體現了解題的“大智慧”.平時教學中，特別是高考總復習中，應加強化歸與轉化思想的滲透，強化訓練，從而有效地提高學生解題的能力.

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