淺談初中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的思想和方法

文/陳鋒

在函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，學(xué)生不僅要在函數(shù)知識(shí)上下功夫，而且還應(yīng)該追求解決問(wèn)題的“常規(guī)方法”——基本函數(shù)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)。

一、注重歸納的學(xué)習(xí)思想

歸納就是在實(shí)踐中，人們總是跟一個(gè)個(gè)具體的事物打交道，首先獲得這些個(gè)別事物的知識(shí)，然后在這些特殊性知識(shí)的基礎(chǔ)上，概括出同類事物的普遍性知識(shí)。歸納也是從特有到普通的探索研究問(wèn)題的思想方法。歸納是人類探索真理和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具之一，在數(shù)學(xué)上也不例外。在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式的學(xué)習(xí)中尤為重要。

例如，一次函數(shù)解析式的學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先是通過(guò)列具體的實(shí)例的解析式，(1)一種計(jì)算成年人標(biāo)準(zhǔn)體重G(單位:kg)的方法是:以厘米為單位量出身高值h，再減常數(shù)105，所得差是G的值。(2)某城市的市內(nèi)電話的月收費(fèi)額y(單位:元)包括月租費(fèi)22元和撥打電話x min的計(jì)時(shí)費(fèi) (按0．1元/min收取)。這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解析式分別是G=h－105和y=0．1x+22，它們都形如y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)，從而，一般的，我們把都形如y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)然一次函數(shù)中也包括當(dāng)b=0時(shí)y=kx的特殊一次函數(shù)——正比例函數(shù)。

二、注重類比的學(xué)習(xí)方法

類比法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中最常用、最有效的方法之一，它在科學(xué)的發(fā)展史上起過(guò)重大作用，當(dāng)然在初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)，采用類比的方法不但省時(shí)、省力，還有助于學(xué)生的理解和應(yīng)用。通過(guò)觀察函數(shù)解析式的類型或圖形的樣式就能判斷是那一類型的函數(shù)，從而用相應(yīng)的代數(shù)性質(zhì)解決學(xué)習(xí)中面臨的實(shí)際問(wèn)題。

例如在學(xué)習(xí)一次函數(shù)y=kx+b的圖象時(shí)，繪制出的y=2x+3、y=2x、y=－2x+3、y=－2x和y=5x－3、y= －5x+3的函數(shù)圖象通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)是一條直線，那么得出的結(jié)論就是一次函數(shù)的圖象是一條直線，并且發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x+3、y=2x、y=5x－3的圖象都是自左向右上升的直線，y=－2x+3、y=－2x、y=－5x+3的函數(shù)圖象都是自左向右下降的直線，從而得到一次函數(shù)y=kx+b的圖象，當(dāng)k＞0時(shí)直線自左向右上升，當(dāng)k＞0時(shí)直線自左向右下降，這樣就可以通過(guò)觀察圖象得到函數(shù)的一些代數(shù)性質(zhì)。在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)利用類比方法就可以快速、準(zhǔn)確的找出相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

三、注重學(xué)習(xí)中多觀察

數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)結(jié)論的形成，無(wú)不都依賴與觀察。當(dāng)然，在觀察的同時(shí)，應(yīng)伴有分析推理和歸納的猜想。初中學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)當(dāng)然也應(yīng)該是通過(guò)多觀察，然后總結(jié)歸納出相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如學(xué)習(xí)二次函數(shù)其中一種解析式y(tǒng)=ax2+bx+c的性質(zhì)時(shí)，函數(shù)y=3x2+x+1和函數(shù)y=2x2+3的圖象 (拋物線)開(kāi)口向上、y=－2x2+3x+1和y=－5x2+2x+1的圖象 (拋物線)開(kāi)口向下，那么學(xué)生就可以得到當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口向上、當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口向下。

四、注重“數(shù)形結(jié)合”思想

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法中一個(gè)重要的學(xué)習(xí)思想。數(shù)量關(guān)系和空間形式是初等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，因而數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換。許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化;而一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式，既可使幾何問(wèn)題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問(wèn)題得到解決。所以初中學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)之初就應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

在注重“數(shù)形結(jié)合”思想的學(xué)習(xí)中，要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，主要是三種步奏:坐標(biāo)聯(lián)系、審視聯(lián)系、構(gòu)造聯(lián)系。坐標(biāo)聯(lián)系既通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系達(dá)到數(shù)形互化;審視聯(lián)系既用幾何的眼光分析解析式，例如，y=2x+5或y=3x它們形如y=kx+b和y=kx，就可以直接聯(lián)想到圖象直線;構(gòu)造聯(lián)系既通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形達(dá)到數(shù)形的互相轉(zhuǎn)化。

五、注重函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題是很常見(jiàn)的一類題型，也在中考試卷中占有較大分值，并且這一類問(wèn)題的解決可以很大的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)。而解決實(shí)際問(wèn)題既應(yīng)用題的過(guò)程中，函數(shù)是一個(gè)很重要的思想和方法。函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中主要注重以下幾個(gè)問(wèn)題。

(1)分析問(wèn)題

了解問(wèn)題的實(shí)際情況。例如是行程問(wèn)題、銷售問(wèn)題、工程效率問(wèn)題還是其他生活中常見(jiàn)的問(wèn)題。

(2)假設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)

在實(shí)際問(wèn)題中往往體現(xiàn)的是兩個(gè)變化的數(shù)量之間的關(guān)系既函數(shù)關(guān)系，學(xué)生應(yīng)該根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并用恰當(dāng)?shù)摹⒕_的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述，也就是假設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。

(3)建立數(shù)學(xué)關(guān)系式 (解析式)

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用已學(xué)的函數(shù)知識(shí)、數(shù)學(xué)工具來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

(4)求解并檢驗(yàn)

對(duì)已列出的函數(shù)解析式求解，并將結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題相比較，已此來(lái)檢驗(yàn)解析式的準(zhǔn)確性。如果結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題不相符，則應(yīng)該修改解析式重復(fù)以上過(guò)程。

(5)分析

如果函數(shù)解析式與實(shí)際問(wèn)題吻合，則對(duì)計(jì)算的結(jié)果給出相應(yīng)的實(shí)際含義，同時(shí)進(jìn)行解釋。