淺談數學語言在數學的教與學中的作用

孫林　苗杰

【摘 要】數學語言是認識數學的基礎，是培養數學思維能力、形成解決數學問題的能力和鞏固數學表達能力的重要手段，這一切都是通過數學語言來實現的。數學語言分為三類：文字語言、符號語言和圖表語言，三類語言之間相輔相成，在數學語言學習中占有重要地位。本文根據數學語言的特點，討論了在數學教學過程中應充分展現數學語言的重要性，并進而總結數學語言的教學策略和方法。

【關鍵詞】數學語言 分類 特點 教學策略

數學語言是認識數學的基礎，是培養數學思維能力、形成解決數學問題的能力和鞏固數學表達能力的重要手段。敘述數學的能力，也就是掌握數學語言的能力，與數學學習、研究、應用、傳播等數學活動，特別是數學的教與學有著密切的聯系。數學不但是一門學科，而且是一門語言，新課程標準相應地要求教師在教學中創造情境，讓“人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷經歷直觀感知、觀察發現歸納類比空間想象、符號表示等過程”。數學的教與學過程包括數學語言的聽說讀寫能力培養，在近幾年，數學語言越來越受到教育者的重視，不斷地被教育者作為單獨的研究對象進行分析和討論，從而更有效地進行數學活動。事實上，關于數學語言學習目標，現行數學課程大綱中已有明確要求。2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，“數學語言具有精確、簡約、形式化等特點，能否恰當地運用數學語言及自然語言進行表達與交流也是評價的重要內容”，要注意“提高數學表達和交流的能力”。

1 數學語言的特點

數學語言是以數學符號為主要詞匯，以數學公理、定理、公式等為語法規則的一種有別于自然語言的科學語言。數學語言是伴隨著數學自身的發生和發展而逐漸成長起來的，是儲存、傳承和加工數學思想信息的工具。正如美國數學家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數學）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細的、外延的語言很少聯系到課堂外的生活。”我們主要討論其以下兩個特點。

1.1 數學語言的精確性及確定性

較之自然語言，數學語言的精確性表現在自身不存在歧義的現象。例如，向量空間中個向量的線性相關的定義。如果存在數域中不全為零的數，使得，那么就說線性相關。由此定義，可以準確嚴密地推知個向量線性無關的概念，即，僅當時，上述線性表示式才成立，那么就說，個向量線性無關。由此定義，定義中的關鍵字“不全為零的數”和“僅當”，簡短而有力地說明了以下兩種情形都是錯誤的。第一種情形：如果線性相關，那么其中每一個均不為零；第二種情形：如果當時，，那么線性無關。

數學語言的準確性克服了自然語言在描述對象過程中含糊不清等缺陷，便于快速而又深刻地認識事物的本質屬性。但是，切記數學的精確性和所謂的模糊數學是沒有任何沖突的，模糊數學是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具，其在模式識別、人工智能等方面有廣泛的應用。

1.2 數學語言的通用性和統一性

隨著全球化的加速，數學的發展也逐漸形成了國際化的趨勢，數學語言的民族性、地域性程度越來越低，而統一性、通用性程度越來越高，這是不爭的事實。數學知識的產生、傳播以及被接納的過程，不會因為國度的不同、民族的不同、語言的不同而有所阻礙。例如，數學分析中數列極限的概念可以表示為“”，不論在哪個國家，也不論所面對的學習者持有什么語種為母語，只要學習者具備在一定基礎，這個式子就足以表達數列極限的概念。當然這種特性主要來自于數學語言的分類——符號語言。

2 數學語言的分類

從表述形式看，數學語言可歸結為文字語言、符號語言和圖形語言三類。文字語言嚴格地確定和明晰了數學對象及其相互內在的關系，高度抽象和概括了數學對象的特性，進而深刻地揭示了數學對象的本質。例如“兩個等價的線性無關的向量組含有相同個數的向量”，“一個向量空間本身和零空間叫作這個空間的平凡子空間”，“一個矩陣中不等于零的子式的最大階數叫作這個矩陣的秩”，“矩陣變換的性質：初等變換不改變矩陣的秩”和“線性方程組可解的判別法：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數矩陣與增廣矩陣有相同的秩”等等。作為數學語言通用性和統一性的基本載體，符號語言是數學中一種最常用的且具有高度抽象性的語言，符號是簡縮思維、提高思維效率的根本。例如，“”，“”，“”，“”，“極限的唯一性：若則”等等，都是通過符號語言闡述數學對象的特性。圖表語言是指用各種圖或表來表達一定的數學信息，可劃分為圖形語言（幾何圖形、統計分析圖、集合文氏圖等）、圖象語言（函數圖象或統計線圖等）和表格語言（統計數據表、分析表、框圖等）。

三種數學語言各有其優點和不足之處：文字語言雖然更符合大家的接觸和接受各種書本知識的習慣，但是較強的邏輯性要求，使得文字敘述較為繁雜，不易表露知識的內在結構；數學符號雖然高度抽象，但精準簡潔，描述起來給人以較強的結構感；圖表語言更形象直觀，容易形成表象且易理解。一種數學思想內容的表述通常是由以上三種專業語言和自然語言的優勢相互補充進而有機結合的過程。

3 數學語言的教學策略

數學語言在數學的教與學互動過程中起著至關重要的作用，否則授課和聽課豈不是“對牛彈琴”的節奏。同時掌握一定程度的數學語言，對于自身的終身數學學習都有著深遠的影響。

3.1 教師在備課和授課過程中充分應用文字語言、符號語言和圖表語言的優點

數學語言的不同類型各有自己的特點，從認知結構中再現概念的表現形式是多樣的：提到“一條線段的中點”時，人們腦子里出現的往往不是文字的定義，而是線段中間的那個點；看到“克萊因瓶”往往會聯想到其相應的歐拉公式或圖形；提到“一個集合的平凡子集”，就會想到“空集和自身”這幾個字。一個數學問題，根據其中的數學對象的特點，在人們的腦海里喚起的不同的數學語言——文字語言、符號語言和圖表語言，使得人們瞬時重組腦海中數學語言具體的信息，從而加深理解和靈活應用。

例：對函數定義的描述。滿射函數：（文字語言）設是到的一個映射。如果，那么就稱是到上的一個映射，這時也稱是一個滿射。

（符號語言），，且，使得。

（圖像語言）

總之要靈活運用數學語言將問題轉換，使學生從不同角度多個側面去了解、熟悉所要學習的概念，幫助其加深理解數學知識的含義。所以，為了讓學生學會充分利用各種數學語言的優點，教師就必須以身作則，充分備課，在課堂上用多種語言給學生解釋數學對象的特點和內涵，以言傳身教來影響學生，從而有效地進行教與學的數學活動。

3.2 培養學生通過數學語言進行交流

數學交流是數學教與學的過程中必備的一個環節。為了提高數學語言運用水平，可結合課堂教學內容進行擬定，制定相應的數學語言“規范化”訓練的目標和方案。比如開設討論班、對學生進行一定難度的新知識講解等豐富多彩的數學活動，用自己掌握的數學語言說出已有和自身產生的數學知識、思想方法及解決問題的過程與策略等。在“說”數學的過程中梳理自己的解題思路及方法，把不連續的散亂的思維理清、理順，鼓勵和表揚他們所表達的數學思想和方法，從而建立自信心。例如，在講解函數在某一點的連續性對“函數在點處連續”，把這個文字語言轉換為符號語言，盡量將極限的唯一性和左右極限都考慮進去，“”。

另外，應當加強數學閱讀指導。語言來自于大量的閱讀，這是不爭的事實。重視數學閱讀，培養閱讀能力，符合現代“終身教育，終身學習”的教育思想。我們教師在授課的過程中，一定要謹記“授人以魚，不如授人以漁”。因此，為了提高整個民族的數學素質，必須從數學閱讀起步，有層次地、階段性地將數學閱讀充分在數學教學過程中展開。

【參考文獻】

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