關于如何培養數學思維的研究

云南省宣威市教師進修學校 秦 敏

一、文化特征

數學是思維的工具。數學思維具有邏輯嚴謹性、高度抽象性和概括性，以及豐富的直覺與想象等。從思維科學的角度看，數學思維是以理性思維為核心的，包含多種思維類型在內的完整的思維空間。數學思維不僅包括邏輯思維，還包括直覺思維、想象力思維和潛意識思維。從較低級的數學直覺、數學經驗到較高級的數學悟性與數學審美，其間排列著數學推理、數學運算、數學直覺、數學猜想、數學類比、數學歸納、數學想象、數學靈感等形式，它表征著人類思維從簡單、隱約、模糊、直觀、感性到復雜、清晰、明朗、抽象、理性的巨大跨度和演變進程。正如美國當代數學家M·克萊因所說，“在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完美的程度。亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活，試圖……”

數學在人類文明中一直是一種主要的文化力量。數學不僅在科學推理中具有重要的價值，在科學研究中起著核心的作用，在工程設計中必不可少。數學自誕生時起就成為描繪世界圖式的一種極其有效的方式。數學是關于模式的科學的見解，現已獲得廣泛的認可。其基本過程是對現實世界原型、現象和各門科學原理進行數學化處理的結果。作為一系列抽象、概括、符號化、形式化、建立模式的結晶，通過現實對數學真理的選擇，數學的真理價值轉化為其社會價值。數學作為探索真理的事業，還造成一種人文化的獨特的人格氣質，一種極負責的人文精神——不懈地探索真理、勇于堅持真理、為真理而獻身。它包含尊重事實、實事求是的求實精神，勇于懷疑、自我否定的批判精神，勇于創新、超越現狀的創造精神等。

數學具有高滲透性和擴散性，數學模式在其他學科運用產生了很多邊緣學科，數學思想、方法、精神的滲透，使很多領域，如現代經濟、科技、文化呈現數學化的趨勢。在信息社會，數學的方法論性質也產生了變遷。從傳統的以推理論證為主的研究范式逐步擴展為包括計算機實驗在內的新型研究方法，數學除了其基礎理論日益龐大的多學科滲透之外，隨著數學方法在多學科領域的拓展，特別是與計算方法有關的數學方法的廣泛應用，數學越來越呈現出其高技術的特點。

數學是一門藝術。數學的研究對象在很大程度上可以被看成是思維的“自由想象和創造”，所以，美學因素在數學研究中占有特別重要的作用。數學的美是科學美的有機組成部分和典范，如果數學的真表征著數學的科學價值，數學的善表征著數學的社會價值，那么，數學的美則表征著數學的藝術價值。數學美學在語言、體系、結構、模式、形式、思維、方法、創新、理論等各方面都具有豐富的美學意蘊和表現形式。數學美有探索數學自身的科學結構演變和知識發展與進化規律性的目的，數學的美學特征能夠在科學與藝術之間架起一座橋梁。

二、數學文化與數學教學

數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中，使得學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴。為了更好地體現數學課程的文化目的，應對數學內容的選取進行改革。數學知識、數學思想方法、數學課程如何呈現數學文化？使其反映文化傳遞功能？文化傳統對數學課程的作用機制如何？等等這些問題已引起人們的思考。

M·克萊因說：“數學不僅是一種方法、一種藝術或一種語言，更主要的是數學是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對于自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；甚至可能有時以難以覺察到的方式但毋庸置疑地影響著現代歷史的進程。”這段話與其說是定義，不如說是描述，有助于我們對數學的認識。