如何突破初中幾何變換概念理解困難的教學策略

劉麗微

（吉林省第二實驗高新學校）

一、旋轉變換

旋轉變換是平面到它自身的變換，使原點O 變換到它自身，其他任何點X 變到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），則稱這樣的變換為旋轉變換，O 稱為旋轉中心，旋轉變換后保持圖形不變，但圖形方位可能有變化（與旋轉角度有關）。學習旋轉變換過程中，可以先從中心對稱變換入手學習，中心對稱變換是旋轉變換的特例，可以更直觀地讓學生理解旋轉變換的概念，但是中心對稱變換又不同于軸對稱變換：中心對稱的對稱中心是一點，而軸對稱的對稱中心是一條直線，一個實現圖形的旋轉，一個實現圖形的翻轉，但是兩者的共同點是圖形都不變。在幾何解題中，旋轉的作用是使原有圖形的性質得以保持，但改變其位置，使能組合成新的有利論證的圖形。例如，△ABC 通過中心對稱變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過圖形發生了旋轉，角度是180°，方向有所改變。通過中心對稱變換，我們也可以設定一個角度，讓學生通過自己的理解與操作來完成旋轉變換圖形。

二、翻折變換

翻折變換是平面到自身的變換，若存在一條直線l，使對于平面上的每一點P 及其對應點P′，其連線PP′都被定直線l 垂直平分，則稱這種變換為翻折變換，定直線l 稱為對稱軸。翻折變換有如下性質：

（1）把圖形變為與之全等的圖形。

（2）關于l 對稱的兩點連線被l 垂直平分。

例如：△ABC 通過軸稱變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過圖形發生了翻轉，得到的直線AA′，BB′，CC′被對稱軸垂直平分。

為了讓學生更直觀地理解旋轉變換和翻轉變換的異同，可以針對同一個三角形在坐標軸中以y 軸做翻轉變換，以中心點O 做旋轉變換，通過在一個平面中進行比較分析，更能讓學生理解兩者的概念。進而通過將三角形換成其他不規則圖形，學生也知道該怎么變換而不能混淆兩者的概念。如果證題過程中使用翻轉變換，既可保留原有圖形的性質，又使原來分散條件相對集中，有利于問題的解決，并培養學生的數學發散思維。

通過下面兩個案例題對平面圖形變換進行分析：

【“軸對稱變換”教學片段】X、Y 分別為△ABC 的AB 邊和AC邊上的兩個定點，在BC 邊上，求作一點Z，使△XYZ 的周長最短。上述問題我們可以用“軸對稱”來解析，能讓學生更直觀地感受到變換的存在，是解決問題的方法。

通過上面例題的演變，假設牧馬營地在P 處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地吃草，再到河邊飲水（草地和河邊在營地的兩側），然后回到營地P 處，設計出牧馬人放牧最短的路線。

這個問題就也可以用“軸對稱”來完成，即“點到直線垂直距離最短”，讓學生可以在數學學習中切實感受到數學就在我們身邊。

對上述問題的解決方案的給出，通過對平面變換的應用，使學生找到適合自己的解題思路，不僅可以訓練學生的思維能力，而且可以通過知識聯想，同一個知識點通過不同的方式得到練習與鞏固，并在此基礎上延伸到其他知識點的學習。

通過對平面幾何變換形式的介紹，由知識的延展性到知識的關聯性加強學生對幾何變換的理解，通過引用生活中的實例有助于解決學生對幾何變換理解困難的問題。

林靜.淺談幾何變換在初中平面幾何教學的探究［J］.福建論壇：社科教育版，2013（04）.