高中數學數列教學的數學思想分析

江蘇省鄭集高級中學 孟軍軍

數列作為對客觀規律描述的基本數學模型和特殊函數類型，其在實際生活中的運用較為廣泛。由于作為重要數學模型的數列能夠對社會實際問題進行反映，例如等差、等比數列在銀行儲蓄以及分期付款中的廣泛運用，因此高中數學教師需要重視高中生的數列教學。數列教學不僅符合時代要求而且符合學生綜合發展的需要，由此，本文以蘇教版教材為例，就數列教學的重要性進行分析，并就如何切實提高高中數學數列教學的教學效率進行分析。

一、高中數學數列教學的重要性

數列知識屬于高中數學教學中一項重要內容，由于其自身蘊涵的數學邏輯思維以及方法較為豐富，如產品規格的設計、房屋貸款和工資選擇等，因此，可以作為一種高中階段學生需掌握的重要數學模型。對高中學生來說，數列知識的學習不僅能在一定程度上對其邏輯推理能力進行培養，還能在一定程度上提高其運算能力，由此可見，高中數學教師重視學生數列教學具有重要作用。在高中數學數列教學的過程中，教師需要不斷創新和探究教學方法以實現強化掌握數列知識的目的。此外，數學教師對數列教學的高度重視可對學生數學學習形成一定的緊迫感，可引起學生對數列知識足夠重視并激發其學習數列知識的興趣。

二、數學數列教學中數學思想的應用

1.函數思想的應用。

多數學生對部分數列問題難以直接下手，考慮其原因在于學生對多個細節的過分重視而忽視整體考慮，即多數學生無法靈活運用數列公式。就函數定義而言，數列屬于一種較為特殊的函數，因此充分運用函數思想對數列問題進行探究是數列問題解決的本質。函數要求學生具備整體思想，其主要表現為從整體角度出發對問題進行分析，尤其在題意不明以及難以直接找尋解題方法的題目中表現顯著。分析等差數列求和公式Sn＝na1＋n（n－1）d/2＝An2＋Bn，發現該公式與二次函數的形式較為契合，可以利用二次函數的思想進行探究。

例如：某一個等差數列中，Sn＝m 是前n 項和，Sm＝n 是前m 項和（m 不等于n），以此為基礎條件，求前Sm＋n。分析該題可知，Sm＋n＝(m＋n)×a1＋(m＋n)(m＋n－1)d/2＝[a1＋（m＋n－1）d/2]（m＋n），發現求解Sm＋n需要求出a1＋(m＋n－1)d/2的值。利用函數思想和整體思想并結合等差數列求和知識、圖像經過點（0，0）進行解題，考 慮Sm＝（m－1）md/2＋ma1＝n 以 及Sn＝（n－1）nd/2＋na1＝m，兩式相減，可得Sm－Sn=（m-n）a1＋（m＋n－1（)m+n）d/2＝－1，得到數列前Sm＋n＝-m-n。

2.遞推思想的應用。

數學中常用的一種思想方法是遞推思想，此類思想多用于解答復雜的通項問題，遞推思想中常用的兩種方法是累加法和累積法。其中將數列中的各項進行累計求和以尋求問題的突破口為累加法，累加法能在一定程度上簡化解題步驟。如果所求數列中的通項滿足f（n）=an－an－1，而（fn）可以進行裂項，該通項式可以采取累加法進行求和。例如：數列｛an｝的首項a1＝1，當n≥2時，an＝an－1＋1/n（n＋1），求該數列通項公式。本題中，若n≥2，則an＝1/n（n＋1）＋an－1，求出an－an－1＝－1/（n＋1）+1/n，采取累加法思想進行求解。可得an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝3/2－1/(n＋1）。累積法的思想類似于累加法，若g（n）＝an/an－1存在一定關系時，可以采用an＝an/an－1×an－1/an－2×…×a2/a1×a1d 這一公式求解an。

3.方程思想的應用。

數學解題思想中的另一種常用方法是方程思想，其主要是采用方程組形式對未知量進行求解，數列中的常用量為n，a1，an，d（q）以及Sn，實際求解時可采用當中三個已知量與方程進行結合，對其他的兩個未知量進行求解。例如：等差數列｛an｝中的公差是一個正數，其中a3與a7的乘積為－12，和為-4，而a4和a6的和等于a3與a7的和，求該數列前n 項和。根據題意可知，a3×a7＝－12，a3＋a7＝a4＋a6＝－4，結合方程思想可知，a3與a7是方程x2＋4x－12＝0中的兩個解，由于公差d＞0，可得a7＝2，a3＝－6。將上述兩個答案代入關系式，可得a1＋2d＝－6和a1＋6d＝2這個方程組，求解方程組可知a1＝－10，d＝2；隨后將上述結果代入到等差數列求和公式中，可得Sn＝n（n－1）-10n。

新課程背景下教師需將教學理念以及教學設計意圖落實到教學中，以真實課堂為中心展開教材研究、培訓。新課改對教學素質教育的高要求影響著數學教學，數列知識教學在數學教學中占據基礎性地位，因此，教師需要采取有效教學模式對授課方式予以研究和創新，在激發學生學習興趣的同時提高課堂教學效率。此外，教師通多指導學生將所學知識在實際生活中進行實踐，可在一定程度上達到鞏固課堂所學知識的目的。

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