讓“數(shù)學(xué)思想”在課堂中綻放
——《實(shí)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

劉 菲

（河南省商丘市第一中學(xué)）

一、實(shí)數(shù)的課堂教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念以及實(shí)數(shù)的分類(lèi)，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

能力目標(biāo)：

1.經(jīng)歷對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)意識(shí)。

2.感受實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，增進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

情感目標(biāo)：

1.通過(guò)活動(dòng)探究體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充對(duì)人類(lèi)發(fā)展的作用。

2.善于觀察、勇于探究，并能有意識(shí)地運(yùn)用已有知識(shí)解決新問(wèn)題。

二、教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)一：折紙游戲（數(shù)形結(jié)合思想）

利用邊長(zhǎng)為2 的正方形，通過(guò)折疊你能得到一個(gè)面積為2 的正方形嗎？

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手折疊得到面積為2 的正方形。

活動(dòng)二：（類(lèi)比思想）

觀察：下列各數(shù)是有理數(shù)嗎？它們有什么特征？

通過(guò)學(xué)生觀察、討論回顧有理數(shù)的概念，即整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，認(rèn)識(shí)有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩整數(shù)比的形式。

提問(wèn)：如果上面的數(shù)多表示為小數(shù)形式你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

由學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充。

得出結(jié)論：任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式。

通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的存在，體會(huì)為這一類(lèi)數(shù)命名的必要性。

引出新知：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

類(lèi)比有理數(shù)發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)不可以寫(xiě)成兩整數(shù)比的形式。

無(wú)理數(shù)命名的來(lái)歷：

說(shuō)法一：“rational number”這個(gè)單詞，日本翻譯家把它譯做了有理數(shù)。我們又從日本譯成了中文。在這里，譯者只知道“rational”的最常用的意義：有理的，合乎情理的。一般字典上也只有這個(gè)譯法。但“rational”還有另外一個(gè)意思：此“rational number”是指“可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)”。

說(shuō)法二：公元前500 年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希勃索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)）。這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無(wú)限直線同等看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，對(duì)以后2000 多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽。

不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜，得不到正確的解釋，兩個(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15 世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá)·芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”，17 世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。

然而，真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無(wú)理數(shù)”——這便是“無(wú)理數(shù)”的由來(lái)。

想一想：

1.有理數(shù)都是帶根號(hào)的數(shù)。

2.帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。

通過(guò)思考讓學(xué)生加深對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)。

判斷：

1.實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)。（ ）

2.無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。（ ）

練習(xí)：

三、教學(xué)反思

在這節(jié)課中，利用折紙游戲?yàn)閷W(xué)生營(yíng)造一個(gè)激發(fā)探索潛能的氛圍，讓學(xué)生輕松愉快地參與課堂，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程”。折紙游戲很好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也可以促進(jìn)學(xué)生相互交流、溝通和學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、實(shí)踐參與能力和分工合作能力。教師由單一的數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授者的角色，向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者轉(zhuǎn)變。

學(xué)生在對(duì)所學(xué)過(guò)的數(shù)進(jìn)行盤(pán)點(diǎn)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)的一個(gè)重要特征：“可以表示為兩個(gè)整數(shù)比”。發(fā)現(xiàn)不能表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)，將新知識(shí)水到渠成地引入課堂，學(xué)生參與了無(wú)理數(shù)的探索發(fā)現(xiàn)全過(guò)程，繼而通過(guò)向?qū)W生介紹有關(guān)無(wú)理數(shù)命名的來(lái)歷，讓學(xué)生知道“無(wú)理數(shù)”只是一種命名，并非“無(wú)理”而是實(shí)際存在的不能寫(xiě)成整數(shù)比的數(shù)，它和有理數(shù)一樣，都是現(xiàn)實(shí)世界中客觀存在的量的反映。

縱觀本節(jié)課，貫穿了類(lèi)比思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想，這三種數(shù)學(xué)思想，猶如數(shù)學(xué)王國(guó)的三劍客，擁有了他們便可以在數(shù)學(xué)王國(guó)中策馬奔騰、縱橫馳騁。