基于可壓縮氣輔的聚合物擠出成型非等溫黏彈數(shù)值分析

任重，黃興元，柳和生，鄧小珍，何建濤

（1 南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2 江西科技師范大學(xué)光電子與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330038）

引 言

在聚合物加工生產(chǎn)中，傳統(tǒng)擠出方式容易出現(xiàn)擠出脹大[1-2]、熔體破裂[3]和表面凹凸[4]等影響擠出制品質(zhì)量的問(wèn)題。氣輔擠出成型技術(shù)[5-7]是一種新型的聚合物加工成型技術(shù)，在氣體輔助作用下將聚合物流體在口模流道內(nèi)的無(wú)滑移轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆茢D出，使得聚合物熔體呈柱塞狀擠出。已有研究表明[8-10]，氣輔擠出可以大大降低口模出口處剪切速率和法向應(yīng)力差，使得擠出脹大和擠出變形等影響擠出制品品質(zhì)的因素得到了較好的克服。但是，在以往的聚合物氣輔擠出研究中[11-14]，氣體輔助擠出均是以壁面完全滑移條件設(shè)定的，而不是把氣體作為一相流體對(duì)待，這種理想的簡(jiǎn)化雖然在一定程度上可以得到較好的計(jì)算效果，但是完全忽略了氣體流動(dòng)對(duì)聚合物熔體擠出成型的影響。雖然文獻(xiàn)[15]的研究中對(duì)含氣體層的氣輔擠出進(jìn)行了等溫有限元模擬，但是該氣體層卻簡(jiǎn)單地視為等同于聚合物流體一樣為不可壓縮流體。而氣體動(dòng)力學(xué)和實(shí)驗(yàn)研究表明[16-18]，在氣輔擠出過(guò)程中輔助氣體是具有可壓縮性的，流動(dòng)過(guò)程中在不同時(shí)間和空間的壓力或溫度等因素影響下其壓力、流速、溫度等物理場(chǎng)和密度均為變化的。

為了清楚地了解可壓縮氣體輔助聚合物加工成型過(guò)程以及探明在氣體輔助作用下氣體的可壓縮性對(duì)聚合物熔體擠出成型的影響機(jī)理，本研究提出了可壓縮氣體輔助聚合物擠出的概念，并對(duì)基于可壓縮氣體的聚合物氣輔擠出成型進(jìn)行了二維非等溫黏彈有限元數(shù)值模擬，通過(guò)數(shù)值模擬分析可壓縮性氣輔聚合物熔體擠出流場(chǎng)中的流變行為，并且從速度、壓力、密度、剪切速率、法向應(yīng)力差等物理場(chǎng)分布的角度揭示不同壓力和溫度下的可壓縮氣體對(duì)聚合物熔體擠出成型的影響。本研究可以為可壓縮氣輔擠出提供佐證，并為發(fā)展氣輔擠出數(shù)值模擬和實(shí)際聚合物加工生產(chǎn)提供一定的理論和技術(shù)指導(dǎo)。

1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)值計(jì)算

1.1 幾何模型和有限元網(wǎng)格

氣輔擠出口模加工時(shí)，在口模流道內(nèi)每側(cè)面預(yù)留了寬度為0.1 mm 的氣體流道，口模內(nèi)徑和熔體制品的橫截面分別為邊長(zhǎng)20.2 mm 和20 mm的正方形結(jié)構(gòu)。圖1（a）為整個(gè)氣輔擠出流場(chǎng)的軸向1/2二維幾何模型，圖中OCDA為口模內(nèi)聚合物熔體區(qū)域，ADEB為口模內(nèi)氣體層區(qū)域，CFGD為口模外聚合物熔體自由區(qū)域，OF為對(duì)稱軸。聚合物熔體從OA進(jìn)入，從口模出口處CD流出到口模外自由區(qū)域；輔助氣體從AB進(jìn)入，從DE出口流出。圖中OA寬度為10 mm，AB寬度為0.1 mm，口模流道長(zhǎng)度OC為20 mm，口模外自由區(qū)域長(zhǎng)度CF為20 mm。有限元網(wǎng)格如圖1（b）所示，為了提高計(jì)算準(zhǔn)確度，網(wǎng)格在邊界處進(jìn)行適當(dāng)加密，網(wǎng)格總數(shù)為2000。對(duì)于傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出，只需要將氣體層模型刪去即可，而聚合物熔體層幾何模型和有限元網(wǎng)格數(shù)保持不變。

1.2 控制方程

氣輔擠出成型中的流體為聚合物熔體和氣體。根據(jù)氣輔擠出成型中聚合物熔體和氣體在口模內(nèi)的流動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行如下假設(shè)：① 聚合物熔體視為不可壓縮非牛頓黏彈流體；② 由于氣體黏度很小，流動(dòng)時(shí)基本不受剪切速率影響，而且氣體的密度易受壓力和溫度影響，故將氣體視為可壓縮牛頓流體；③ 聚合物熔體和氣體均為穩(wěn)態(tài)層流，而且由于聚合物熔體的高黏彈性和空氣質(zhì)量極其微小，忽略慣性力和重力對(duì)兩種流體流動(dòng)的影響；④ 忽略氣體分子對(duì)熔體的滲透作用。

圖1 氣輔擠出幾何模型和有限元網(wǎng)格Fig.1 Geometric model and finite element mesh of gas-assisted extrusion

基于以上合理假設(shè)和簡(jiǎn)化，并根據(jù)聚合物加工流變學(xué)和氣體動(dòng)力學(xué)原理，其連續(xù)方程、動(dòng)量方程、能量方程和狀態(tài)方程等控制方程如下：

連續(xù)方程

動(dòng)量方程

能量方程

式中，?為哈密頓算子；ρ為流體密度，kg·m-3；k為傳熱系數(shù)，W·m-1·K-1；cp為比熱容，J·kg-1·K-1；T為流體溫度，K。

由于聚合物熔體為黏彈流體，本研究采用能很好反映黏彈流體特性且應(yīng)用較多的 Phan-Thien- Tanner(PTT)微分黏彈本構(gòu)方程[19]描述聚合物熔體流動(dòng)特性，本構(gòu)方程如下

式中，τ1為偏應(yīng)力張量中的彈性分量，τ2為偏應(yīng)力張量中的純黏張量；ηr=η2/η為黏度比，η1為流體的非牛頓黏度，η2為流體的牛頓黏度，η為流體的總黏度；λ為聚合物熔體松弛時(shí)間；ε為與聚合物熔體拉伸特性有關(guān)的材料參數(shù)；ξ為與熔體剪切黏度有關(guān)的材料參數(shù)；和分別為偏應(yīng)力張量τ1的上隨體和下隨體導(dǎo)數(shù)；D為形變速率張量。

由于氣體為牛頓流體，其本構(gòu)方程滿足式（8）。

氣體狀態(tài)方程

式中，R為氣體常數(shù)，R=287 J·kg-1·K-1。

由于聚合物熔體黏度和氣體的密度受溫度影響較大，考慮采用Arrhenius 能量方程，即

式中，η0為參考溫度T0時(shí)的黏度；α為流體活化能，kJ·mol-1。

聯(lián)立求解方程組式（1）～式（10），即可獲得各相流場(chǎng)中速度、壓力、溫度、密度、剪切速率等物理場(chǎng)值及分布情況。

1.3 邊界條件

用fn和fs分別表示邊界面的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，用vn和vs分別表示邊界面的法向速度和切向速度。根據(jù)圖1(a)，對(duì)該有限元模型設(shè)置流動(dòng)和溫度邊界條件如下。

（1）入口邊界。OA和AB分別為聚合物熔體和氣體入口邊界，假設(shè)入口處熔體和壓縮空氣為完全發(fā)展流，即滿足如下關(guān)系：?vX/?X=0,vY=0（其中vX、vY分別為流體在X和Y方向的流速）。熔體入口流率設(shè)為0.5×106m3·s-1。壓縮氣體入口AB采用壓力入口邊界條件，其入口壓力為111325 Pa。根據(jù)氣輔擠出實(shí)驗(yàn)[8,18-21]，熔體與口模溫度為190℃，即溫度熔體入口邊界OA溫度設(shè)為463.15 K，而且實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)氣體溫度（200℃）略高于熔體溫度較易形成穩(wěn)定的氣體層，故空氣入口邊界AB的溫度設(shè)為473.15 K。

（2）壁面邊界。BE為口模壁面，假設(shè)氣體與口模壁面無(wú)任何滑移，故滿足關(guān)系：vn=vs=0。口模壁面BE的溫度與熔體溫度相同，為463.15 K。

（3）對(duì)稱邊界。OCF為熔體對(duì)稱邊界，由于對(duì)稱邊界流動(dòng)和溫度的連續(xù)性，滿足的流動(dòng)邊界條件為：fs=0,vn=0；溫度條件滿足：Ti=Tj（i、j分別為對(duì)稱軸兩邊距離對(duì)稱軸無(wú)限小區(qū)域）。

（4）氣輔交界面邊界。忽略氣體與聚合物熔體之間的相對(duì)滑移及表面張力對(duì)流體流動(dòng)的影響，交界面兩側(cè)應(yīng)力保持平衡，而且流體流動(dòng)沒(méi)有穿透交界面，即滿足動(dòng)力學(xué)條件為：（其中上角標(biāo)1、2 分別表示熔體和氣體，n為法向單位向量）。由于交界面溫度的連續(xù)性，滿足溫度條件同對(duì)稱邊界。

（5）自由邊界。DG為擠出口模后的熔體自由邊界，滿足的動(dòng)力學(xué)邊界條件為：fn=0,fs=0 和vn=0。由于自由邊界與外界直接接觸而產(chǎn)生熱對(duì)流交換，溫度邊界設(shè)置為熱通量（heat flux）條件，忽略熔體熱輻射影響。

（6）末端邊界。FG為熔體末端邊界，在無(wú)外力牽引下滿足：fn=0 和vs=0。DE為氣體末端邊界，采用出口（outflow）邊界條件。由于出口溫度為未知量，設(shè)置為溫度出口（outflow）條件。

1.4 物性參數(shù)及工藝條件

本研究采用的聚合物為聚丙烯（型號(hào)：5018T，臺(tái)灣永嘉）。實(shí)驗(yàn)用壓縮空氣由上海佳力士機(jī)械有限公司生產(chǎn)的單螺桿風(fēng)冷系列空壓機(jī)（型號(hào)：0G06F）、高壓儲(chǔ)氣罐（型號(hào)：1V-3/8，容積0.4 m3）、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、壓力控制器、氣體加熱裝置和輸氣管路等構(gòu)成，其中空壓機(jī)的排氣量可達(dá)0.8 m3·min-1，最大氣壓可達(dá)0.7 MPa；氣體加熱裝置由熱電偶和溫度控制儀相連接，實(shí)現(xiàn)氣體溫度控制。實(shí)驗(yàn)中先開(kāi)啟擠出機(jī)、加熱口模和氣體，待熔體、口模和氣體溫度達(dá)到各自預(yù)定值后，將氣壓設(shè)定在合理范圍內(nèi)，先開(kāi)啟氣輔裝置使加熱的氣體進(jìn)入口模，再啟動(dòng)擠出機(jī)進(jìn)行熔體擠出，觀察擠出情況，并調(diào)節(jié)氣壓和溫度，直至形成穩(wěn)定的氣輔擠出。本研究數(shù)值模擬中聚合物熔體物性參數(shù)[20]和壓縮氣體物性參數(shù)見(jiàn)表1，其中壓縮空氣的物性參數(shù)為對(duì)應(yīng)1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（101325 Pa）下經(jīng)查表得到。

表1 聚合物熔體與壓縮氣體物性參數(shù)Table 1 Material parameters of polymer melt and compressible gas

2 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

2.1 速度場(chǎng)分析

2.1.1X方向速度分析 圖2（a）、（b）分別為傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出和可壓縮氣輔擠出的X方向速度分布云圖；圖2（c）、（d）分別為兩種擠出方式在熔體入口處徑向上[圖1（a）中OA直線]和軸向上[圖1（a）中OF直線]的X方向速度分布曲線。對(duì)于徑向上的X方向速度分布而言，從圖2（a）～（c）可以看出，無(wú)氣輔擠出方式中熔體在口模流道中徑向上存在明顯的X方向速度梯度，中間流速最大，越靠近口模壁面流速越小，在口模壁面處流速為0，即為壁面無(wú)滑移擠出；有氣體層的可壓縮氣輔擠出，在口模流道徑向上熔體在流道中間速度較均勻，而在靠近氣體層處，在氣體作用下熔體的X方向流速稍大于內(nèi)部熔體的流速。對(duì)于軸向上的X方向速度分布而言，從圖2（a）、（d）可以看出，無(wú)氣輔擠出方式沿軸向上的X方向速度開(kāi)始時(shí)在口模內(nèi)緩慢減小，在靠近口模出口以及離開(kāi)口模后則迅速減小，其原因是傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出在流道內(nèi)隨壓力逐漸減小流速也隨之減小，熔體擠出口模后又由于擠出產(chǎn)生的徑向脹大，大大減小了軸向上的速度；有氣體層的可壓縮氣輔擠出，從圖2（b）、（d）可以看出軸向X方向速 度逐漸增大至恒定值，究其原因是氣體對(duì)熔體具有一定的拖拽作用，使得口模內(nèi)熔體流速逐漸增大，而擠出口后流速保持恒定。從圖2（d）可知，當(dāng)擠出制品出口模穩(wěn)定后，可壓縮氣輔擠出X方向速度比傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出的X方向速度大近1 倍，這將有助于提高擠出產(chǎn)量。

圖2 兩種擠出方式的X 方向速度分布Fig.2 X velocity distributions of two extrusion methods

圖3 兩種擠出方式的Y 方向速度分布Fig.3 Y velocity distribution of two extrusion methods

2.1.2Y方向速度分布 圖3（a）、（b）分別為傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出和可壓縮氣輔擠出的Y方向速度分布云圖；圖3（c）、（d）分別為兩種擠出方式在熔體入口處徑向上[圖1（a）中OA直線]和出口處徑向上[圖1（a）中CD直線]的Y方向速度分布曲線。對(duì)于無(wú)氣輔擠出方式，從圖3（a）、（c）和（d）中可以看出入口處不存在徑向的Y方向速度，而在口模出口靠近壁面處存在明顯的Y正方向速度，說(shuō)明在口模出口處熔體存在Y正方向的流動(dòng)，即徑向膨脹運(yùn)動(dòng)。對(duì)于有氣體層的可壓縮氣輔擠出方式而言，從圖3（b）～（d）可以看出，在靠近氣體層的入口處由于氣體流速的作用，熔體產(chǎn)生了微小的反徑向Y方向速度梯度，由于這個(gè)反徑向的Y方向速度與熔體流動(dòng)方向的角度為銳角，在一定程度上促進(jìn)了熔體軸向的流速逐漸增大；而在口模出口處不存在Y方向速度分布，擠出熔體沒(méi)有發(fā)生擠出脹大現(xiàn)象。

2.2 壓力場(chǎng)分析

圖4（a）、（b）分別為兩種擠出方式的壓力分布云圖和在口模壁面及氣體交界面沿?cái)D出方向[圖1（a）中AD直線]的壓力分布曲線。從圖中可知，無(wú)氣輔擠出方式入口壓力最大，沿著熔體擠出方向壓力呈線性減小。在口模出口處（X=20 mm）附近，壓力先是出現(xiàn)一個(gè)壓力正尖峰，接著出現(xiàn)壓力負(fù)尖峰，擠出口模后壓力逐漸減小至0，這種在口模出口附近出現(xiàn)的正負(fù)壓力尖峰是擠出脹大效應(yīng)引起的。而對(duì)于可壓縮氣輔擠出而言，氣體層對(duì)熔體的壓力分布一定會(huì)產(chǎn)生影響，從圖4（a）、（b）可以看出，在氣體壓力影響下熔體在氣體層入口交界面和口模流道內(nèi)存在一定的壓力降分布，但是與無(wú)氣輔擠出產(chǎn)生的入口壓力降相比較而言這個(gè)壓力降顯得較小，并且這個(gè)壓力降在流道內(nèi)很快就下降至0，這將可以大大提高熔體的擠出效率。

2.3 溫度場(chǎng)分析

圖5（a）、（b）分別為兩種擠出方式的溫度場(chǎng)分布云圖和在口模流道內(nèi)徑向的溫度分布曲線。從圖中可知，兩種擠出方式的溫度分布存在較大差異。兩種擠出方式相比較而言，無(wú)氣輔擠出在靠近口模壁面的溫度與熔體內(nèi)部溫度相差不大；對(duì)于可壓縮氣輔擠出方式，由于存在氣體層溫度的影響（氣體 溫度高于熔體和口模的溫度）以及氣體與熔體摩擦生熱效應(yīng)，熔體溫度在靠近氣體層界面處有所升高，而熔體溫度的升高使得靠近氣體層的熔體黏度下降，進(jìn)而促進(jìn)了熔體分子鏈的解纏和取向效應(yīng)，因此在一定程度上有利于熔體的擠出。

2.4 密度場(chǎng)分析

圖6（a）、（b）分別為可壓縮氣輔擠出中可壓縮氣體層密度場(chǎng)云圖和沿流道方向密度分布曲線。從圖中可知，可壓縮空氣在整個(gè)流道內(nèi)的密度不是一成不變的（而不可壓縮氣輔中的密度為恒定值），而是隨空間位置、壓力和溫度等的不同而不同，密度隨壓力下降也呈逐漸下降趨勢(shì)，而且從圖6（a）可知整個(gè)流道的可壓縮氣體密度場(chǎng)分布與溫度場(chǎng)分布呈反比例關(guān)系，這樣的規(guī)律正好與可壓縮氣體的狀態(tài)方程表述一致。

2.5 法向應(yīng)力差分析

圖7（a）、（b）分別為兩種擠出方式的第一法向應(yīng)力差（N1=τxx-τyy）的分布云圖和靠近口模壁面或氣體層交界面處的分布曲線。從圖中可知，傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出在口模出口處產(chǎn)生了很大的第一法向應(yīng)力差，這使得熔體在擠出口模后極易發(fā)生擠出膨脹 現(xiàn)象。而可壓縮氣輔擠出，由于考慮了真實(shí)氣體層及氣體對(duì)熔體作用力的影響，口模出口處不存在法 向應(yīng)力差，但是在入口處的交界面上卻產(chǎn)生了一定的第一法向應(yīng)力差，熔體出現(xiàn)了小幅度的收縮。而且在此處的法向應(yīng)力差會(huì)隨可壓縮氣體入口壓力的增大而增大，當(dāng)這個(gè)第一法向應(yīng)力差達(dá)到一定值時(shí)會(huì)產(chǎn)生擠出熔體表面凹凸不平等現(xiàn)象，而當(dāng)超過(guò)熔體所能承受的最大法向應(yīng)力時(shí)最終會(huì)造成熔體破裂現(xiàn)象的發(fā)生，這也是在實(shí)際生產(chǎn)中需要避免的。

圖5 兩種擠出方式的溫度場(chǎng)分布Fig.5 Temperature distribution of two extrusion methods

圖6 可壓縮氣體密度場(chǎng)分布Fig.6 Density distribution of compressible gas

圖7 兩種擠出方式的第一法向應(yīng)力差分布Fig.7 First normal stress differences of two extrusion methods

2.6 氣體壓力對(duì)熔體形貌的影響

圖8 不同入口壓力下熔體擠出形貌Fig.8 Melt extrusion profiles under different inlet pressures

圖8為可壓縮氣體不同入口壓力條件下熔體擠出形貌。為了對(duì)比不同氣體入口壓力對(duì)熔體形貌造成的影響程度，本研究采用收縮率進(jìn)行表征，即B=[(S0-S1)/S0]×100%。其中，B為收縮率；S0為原面積，即圖1（a）中四邊形OAGF的面積；S1為 收縮變形后的面積。從圖中可知，在熔體流率一定條件下，隨可壓縮氣體入口壓力的增大熔體收縮率增大，即擠出收縮的程度增大。在氣輔擠出實(shí)際操作中，當(dāng)入口壓力超過(guò)一定值時(shí)將出現(xiàn)擠出熔體表面凹凸不平、出現(xiàn)氣槽甚至沖破熔體的現(xiàn)象。因此，在實(shí)際生產(chǎn)加工過(guò)程中，已經(jīng)形成穩(wěn)定的氣輔擠出時(shí)，應(yīng)該盡可能使氣體入口壓力減小。

3 可壓縮氣輔擠出實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證可壓縮氣體對(duì)聚合物擠出成型的影響，本課題組進(jìn)行了聚合物氣輔共擠實(shí)驗(yàn)[17,20-21]，實(shí)驗(yàn)用聚合物原料為聚丙烯（大慶石化產(chǎn)的T30S和臺(tái)灣永嘉產(chǎn)的5018T）。分別進(jìn)行了傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出、穩(wěn)定氣輔擠出和不穩(wěn)定氣輔擠出實(shí)驗(yàn)。圖9（a）為傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出結(jié)果，從圖中可以看出產(chǎn)生了明顯的擠出脹大和偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象；圖9（b）為氣體壓力約為0.1 MPa 時(shí)形成的穩(wěn)定氣輔擠出結(jié)果，從圖中可知擠出效果較理想；圖9（c）為氣體壓力約為0.2 MPa 時(shí)的擠出結(jié)果，從圖中可知擠出制品表面出現(xiàn)了較明顯的凹凸波紋；圖9（d）為氣體壓力繼續(xù)增大至0.3 MPa 時(shí)的擠出結(jié)果，從圖中可知在共擠出交界面出現(xiàn)了明顯的氣槽，如果繼續(xù)增大氣體壓力，將會(huì)把熔體吹開(kāi)，造成熔體破裂。

圖9 傳統(tǒng)無(wú)氣輔和可壓縮氣輔擠出實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experimental results of traditional extrusion and compressible gas-assisted extrusion

4 結(jié) 論

（1）從氣輔擠出中氣體層的密度場(chǎng)分布來(lái)看，可壓縮氣體的密度并不像不可壓縮流體是恒定不變的，而是在整個(gè)流道內(nèi)隨空間位置、壓力和溫度的分布不同而不同。沿氣體流動(dòng)方向，密度隨壓力減小而減小，而整個(gè)氣體層密度分布又與溫度分布呈反比例關(guān)系。

（2）與傳統(tǒng)無(wú)氣輔擠出技術(shù)相比，可壓縮氣輔擠出技術(shù)在速度、壓力、溫度、法向應(yīng)力差分布上均存在較大差異，而這些差異正是由于壓縮氣體對(duì)熔體擠出的影響造成的。

（3）在可壓縮氣輔擠出中，熔體擠出成型形貌隨可壓縮氣體入口壓力增大呈擠出收縮趨勢(shì)，這是由于過(guò)大的氣體壓力產(chǎn)生了較大的剪切速率和應(yīng)力，使得氣體產(chǎn)生較大波動(dòng)而偏向熔體一側(cè)擠壓導(dǎo)致的，當(dāng)入口壓力超過(guò)一定值時(shí)將導(dǎo)致熔體破裂現(xiàn)象，因此在實(shí)際加工中需要控制好氣體入口壓力值。

（4）可壓縮氣體對(duì)氣輔聚合物熔體的流變行為和成型會(huì)造成一定的影響，故在進(jìn)行氣輔聚合物成型數(shù)值模擬時(shí)需要考慮氣體層及氣體的可壓縮性。

符 號(hào) 說(shuō) 明

D——熔體形變速率張量，m·s-1

fn,fs——分別為某個(gè)邊界的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，Pa

p——熔體靜壓力，Pa

v,vn,vs——分別為流體速度矢量、某個(gè)邊界的法向速度和切向速度，m·s-1

vX,vY,vZ——分別為熔體在X、Y、Z方向的流速，m·s-1

ε,ξ,s——分別為與熔體拉伸、剪切黏度特性有關(guān)的材料參數(shù)

η,η1,η2——分別為熔體的總黏度、非牛頓黏度、牛頓黏度，Pa·s

λ——熔體松弛時(shí)間，s

τ,τ1,τ2——分別為總偏應(yīng)力張量、偏應(yīng)力張量彈性分量、偏應(yīng)力張量純黏張量，Pa

下角標(biāo)

n——法向方向

s——切向方向

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