強阻尼非線性波動方程的解半群存在吸收集

班愛玲

強阻尼非線性波動方程的解半群存在吸收集

班愛玲

（池州學院數(shù)學與計算機學院，安徽池州247000）

無窮維動力學統(tǒng)在非線性科學中極為重要，而波動方程是一類重要的無窮維動力系統(tǒng)，本文討論具有臨界增長指數(shù)的強阻尼非線性波動方程的解所確定的解半群存在有界吸收集.

強阻尼；波動方程；吸收集

DOI：10.13420/j.cnki.jczu.2015.06.005

1　引言

設Ω是R3中的一個有界開子集，且邊界?Ω充分光滑，考慮下面波動方程的初邊值問題：

其中u=u（x，t）是Ω×［0，+∞）上的一個實值函數(shù)，α＞0稱為強阻尼系數(shù)，h∈C′（R；R），g（x）∈L2（Ω），非線性項f∈C′（R；R）具有臨界增長指數(shù)，且f（0）=0.

存在常數(shù)c1＞0，?u∈R，使得

本文主要討論系統(tǒng)（1）的解所確定的解半群存在一個有界吸收集.

2　預備知識

由文獻［1］中的結(jié)果知，在（2）-（4）的條件下，系統(tǒng)（1）存在唯一的連續(xù)解u（t），滿足對，系統(tǒng)（1）定義了一族解映射且是E上的一個連續(xù)算子半群.

3　有界吸收集的存在性

為了下面問題研究帶來方便，在E中定義一種加權(quán)內(nèi)積和范數(shù)，

選取

其中β1，β2是兩個正常數(shù)，滿足

設φ=（u，v）T，v=ut+εu，其中

則系統(tǒng)（1）可以化為以下初值問題：

其中

引理［3］對?φ=（u，v）T∈E，有

其中

定理存在一個正常數(shù)r0＞0，對于E中的任意有界集B，存在T0（B）＞0，使得對于φ（0）∈B，系統(tǒng)（6）的解φ（t）=（u（t），v（t）T，滿足：證明：設，用φ=（u，v）T與方程（6）兩邊作內(nèi)積（·，·）μ，E得，

由條件（2），（3）得，

存在兩個正常數(shù)l1，l2≥0，使得

由（7），（9），（11）得，

由Gronwall不等式得，

因此，有

由（4）知，存在正常數(shù)c3，使得

因此，存在c6=c6（r），使得

因而系統(tǒng)（6）的解φ（t）=（u（t），v（t）T，φ（0）∈B滿足：

定理得證.

［1］Carvalho A N and Cholewa J W.Local well posedness for strongly damped wave equation with critical nonlinearities［J］.Bull. Austral.Math.Soc.，2002，66：443-463.

［2］Temam.R，Infinite-dimensional Dynamical Systema in Mechanics and Physics［M］//Appl.Math.Sciences 6.2nd Edition.New York：Springer-Verlag，1997.

［3］Zhou S F.Global attractor for strongly damped nonlinear wave equations［J］.Functional Differential Equations，1999（6）：451-470.

［責任編輯：桂傳友］

O175

A

1674-1102（2015）06-0017-02

2015-03-23

池州學院自然科學研究項目（2013ZRZ006）。

班愛玲（1982-），女，安徽巢湖人，池州學院數(shù)學與計算機學院講師，研究方向為微分方程與動力系統(tǒng)。