某類解析函數的Fekete-Szego¨不等式

宋　園，郭　棟

某類解析函數的Fekete-Szego¨不等式

宋園，郭棟

（滁州職業技術學院基礎部，安徽滁州239000）

研究了正規化解析函數H的子類N（β，λ，α）的Fekete-Szego¨不等式，對于任意的f（z）=z+a2z2+a3z3+···∈N（β，λ，α）及任意的復參數μ，應用正實部函數的，得到了的精確上界.

N（β，λ，α）函數；從屬；Fekete-Szego¨不等式

DOI：10.13420/j.cnki.jczu.2015.06.006

1　引言

設f（z）和F（z）都在U內解析.若存在U內滿足||ω（z）≤||z的解析函數ω（z），使得f（z）≡F（ω（z），則稱f（z）從屬于F（z），記作f（z）?F（ω（z）.

于1933年證明了如下結果Fekete和Szego¨［1］。

定理A設f（z）∈S，f（z）由（1）式給出，0≤μ＜1則

且對每個μ等號都成立.

定義：令0＜λ＜1，β∈C，α＜1，定義

其中的冪指數取主值。

此函數類是文獻［2］中引入的解析函數類，顯然N（-1，λ，0）是文獻［3］中討論的non-Bazileviv函數類.

一些作者［4-7］對于S或H的某些子類討論了它們的Fekete-Szego¨問題。文獻［6］研究了N（β，λ，α）的Fekete-Szego¨不等式，本文用不同于文獻［6］的方法研究N（β，λ，α）的Fekete-Szego¨問題，該結果包含了文獻［3］中的一些結論.

為了導出我們的主要結果，我們需要如下引理。

引理1.1［7］如果p（z）=1+c1z+c2z2+···是內具有正實部的解析函數，則對任意的復數ν，有.等號在函數或者時成立.

引理1.2［8］如果p（z）=1+c1z+c2z2+···是內具有正實部的解析函數，則對任意的實數ν，有

2　主要結果及證明

定理2.1設f（z）由（1）式給出，f（z）∈N（β，λ，α），μ為復數，則

且對所有的μ等號都能成立.

證明：因為f（z）∈N（β，λ，α），所以存在p（z）=1+p1z+p2z2+···∈P，使得

將f（z），p（z）的冪級數展開式代入（2）式，并比較恒等式兩邊的z和z2兩項的系數，可得

所以

因此：

1.1可得定理2.1，

（1）λ≠0時相應的極值函數為：

（2）λ=0時相應的極值函數滿足：

注釋：定理1.1就是文［6］中的定理1，不過證明方法簡單多了.

由式（4）及引理1.2我們可得下面的定理2.2：定理2.2設f（z）由（1）式給出，f（z）∈N（β，λ，α），β≥0，μ為實數則

且對所有的μ等號都能成立。

類似于定理2.1的證明，我們可得下面的定理2.3。

且對所有的μ等號都能成立.

由于Dn（f）=（f?g）（z）∈N（β，λ，α），其中b2=n，b3=n（n+1）則由定理2.3可得：

且對所有的μ等號都能成立。

［1］Fekete M，SzegO¨G.Eine Bermerkung uberungerade schlichte funktionen［J］.J London Math Soc，1933，（8）：85-89.

［2］Wang Zhigang，Liao Mao xin.On certain generalized class of non-bazilevicˇfunctions［J］.Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis.2005，21：147-154.

［3］Nikola Tuneski，Maslina Darus.Fekete-szego¨functional for nonbazilevCˇfunctions［J］.Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis.2002（18）：63-65.

［4］郭棟，劉名生.關于解析函數類的Fekete-Szego¨問題［J］.華南師范大學學報：自然科學版，2007（2）：33-38.

［5］郭棟，李宗濤，楊家穩.一類解析函數類的Fekete-Szego¨問題［J］.華南師范大學學報：自然科學版，2012，44（4）：32-34.

［6］郭棟，李宗濤.某類解析函數的Fekete-Szego¨不等式［J］.江漢大學學報：自然科學版，2012，40（1）：8-9.

［7］Ravichandran V，Metin Bolcal，Yasar Polatoglu，Sen A.Certain subclasses of starlike and convex functions of complex order［J］. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics，2005，34：9-15.

［8］周從會.γ-星函數類的Fekete-Szego¨不等式［J］.安徽理工大學學報：自然科學版2010，30（2）：75-78.

［責任編輯：桂傳友］

O174

A

1674-1102（2015）06-0019-02

2015-01-23

安徽高校自然科學重點研究項目（KJ2015A372）。

宋園（1982-），女，安徽滁州人，滁州職業技術學院基礎部講師，碩士，主要研究方向為矩陣理論。