“多想少算”思想下對立體幾何問題的解答

☉江蘇省江浦高級中學 劉金勇

對考生分析問題、解決問題能力的考查是高考重要考查點之一，考試說明中明確要求：解題中能選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設問進行獨立思考與探究，建設性地解決問題.本文以立體幾何問題為例說明“多想少算”思想的運用，以期對同學們解題有所幫助.

一、構造特殊模型，化抽象為直觀

例1 （2015年北京西城一模）如圖1，四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長均為1，記四面體ABCD的體積為F（x），則函數F（x）的單調增區間是_____；最大值為______.

解：聯想特殊幾何模型，該四面體可視為菱形ACBD（其中∠CAD=60°）沿對角線CD折疊而成.

評析：本解法通過構造特殊模型，將復雜的運算孕于簡單的推理之中，符合高考命題“小題小做”“多想少算”的理念.

二、還原于規則幾何體，化隱為顯

例2 如圖2，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為________.

分析：由于本題中多面體ABCDEF為非規則幾何體，不能直接求其體積，因此可以考慮用分割法，使其分割為兩個體積相等的三棱錐與一個直三棱柱.

評析：某些問題中所給出的幾何體雖然并不規則，但通過深思不難發現其都有規則之處，即這些幾何體都可以視作由規則的幾何體即長方體或正方體切割而得，進而使其隱含的性質得以直觀體現，使問題簡潔得解.

拓展：本題還可以這樣來分割：取EF的中點P，則多面體ABCDEF分割成正四面體ADEP、正四面體PBCF和正四棱錐P-ABCD，也易于計算.

三、空間化平面，三維降二維

例3 如圖3，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發，沿著圓錐的側面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）.

評析：對空間想象能力的考查，是考試大綱提出的對考生能力點的考查之一.圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.本解法將三維化二維，有效降低了對空間想象能力的要求，將幾何量隱含的關系直觀顯現出來.

四、動中有靜，尋找不變量

例4 如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=，M是BC1的中點，N是MC1的中點，若異面直線AN與CM所成的角為θ，距離為d，則dsinθ=__________.

解：取CC1的中點K，則KN∥CM，故∠ANK為異面直線AN與CM所成的角或其補角.

因為AB⊥面BCC1B1，CM⊥BC1，所以CM⊥AN.又KN∥CM，所以KN⊥AN，即θ=90°.

因為CM∥KN，所以CM∥平面ANK，故異面直線AN與CM的距離等于直線CM與平面ANK的距離，即等于點M到平面ANK的距離.而平面AKN⊥平面BCC1，所以點M到平面ANK的距離等于點M到直線AN的距離.

評析：長方體中不僅包含了所有的數學思想方法，密切了與中學數學中其他內容的聯系，更體現著從靜到動，從單一到多方面，從長方體本身應用問題到利用長方體去解決問題的發展變化.仔細研究這些變化對學好空間幾何無疑是有裨益的.

五、化動為靜，以直代曲

例5 如圖6，已知正四棱錐V-ABCD可繞著AB任意旋轉，AB?平面α.若AB=2，VA=，點V在平面α上的射影為O，則CO的最大值為______.

要求CO的最大值，可以轉化為先求OF的最大值.

OC2=CF2+OF2≤CF2+（OM+MF）2=，當且僅當O、M、F三點共線時取到等號，所以CO的最大值為

評析：本題中除了固定不變的長度、線線、線面、面面關系外，還滲透了一些“動態”的點、線、面元素，給靜態的立體幾何題賦予了活力，使題意更加新穎，解法更加靈活，思維更加廣闊.也正因為某些點、線、面位置的不確定，成為學生進行常規思考、轉化的障礙；但又因為其是可變的、開放的，更有助于學生空間想象能力及綜合能力的培養.只有多方著力，尋求轉化，才能摸索出解決動態立體幾何問題的基本策略.

綜上，對學生數學解題能力的培養，是高中數學教學目標之一，教學中教師應注意從解題思路的尋找上多下功夫，如此題如何解，為什么這樣解，這種解法是如何想到的等，建立知識間的有效關聯，進而在解題中迅速尋找到簡潔的解題途徑.