潤物細無聲——談數學教學中的思維訓練

☉江蘇省西亭高級中學 王 進

我們都聽過一句名言：數學是思維的體操.其實這句名言最早是由十八世紀俄國元帥蘇沃洛夫——一位軍事家說的，后來不斷被前蘇聯教育家引用至今.我們很納悶：為什么這句話首先是一位軍事家想到的呢？其實，在軍事作戰中不斷需要使用各種思維辨解、判斷，需要極強的邏輯分析能力，可以這么說，軍事家都是不折不扣的數學大師.無獨有偶，我國古代軍事家孫子所著的《孫子兵法》正是對數學思維訓練的一種體現！其雖然所講的是對敵作戰的用兵之道，但是也可以將它活用為教師對學生課堂思維訓練培養之術，從“善戰”與“謀略”巧妙地研究思維規律，到“知彼知己，百戰不殆”與“待敵者佚”正確形成思維定勢；從“深入則專，主人不克”進一步提高思維品質，將會出奇制勝，使學生越學越聰明，何樂而不為呢？

我們設計和組織的教學過程，不應該僅僅是傳授知識、形成技能的教學過程，它應該是在進行“雙基”教學的同時，既是學生學會學習的過程，又是開發智力、培養能力的過程，也是發展學生個性品質，給以教養的過程.因此，數學教學是思維活動的教學.那么如何在數學教學過程中提高思維品質、發展思維能力呢？筆者以孫子兵法之謀略結合案例給予說明.

一、“善戰”與“謀略”研究思維規律，提高課堂教學質量

孫子曰：“見勝不過眾人之所知，非善之善者也；戰勝而天下曰善，非善之善者也.”孫子認為戰爭是一門復雜的綜合藝術，它需要指揮員全面掌握戰爭取勝之道.苦戰贏來的勝利，雖值得稱道，但也難得稱之為“善戰”.所以真正“善戰”者，必須是有較強的實力和充分的準備，且在知己知彼的情況下大獲全勝.孫子揭示的這一現象，不僅是揭示戰爭的普遍規律，也是批判傳統教學，重視了“雙基”，重視了演繹論證能力的訓練，這是必要的.但是現階段數學教學，筆者也發現這樣的現象：我們一直偏重知識性的訓練、熟練程度的訓練，卻忽視對學生思維方向的訓練，這也是受限于應試的影響.筆者始終認為：對學生思維的培養與應試不存在必然的不可兼得性，因為有了扎實的基本功，所以會追求更深層次的問題，必然加深學生對深層次問題的思考，促進了其思維的發展；反之，有了深刻思維的發展，使學生考慮問題的全面性、深刻性、反思性等都有了長足的進步，這也加深了學生對數學問題解決和應試的促進作用.

因此，“謀略”即要豐富聯想，加強思維能力培養，為“善戰”做準備.但必須提高認識：現階段數學教學是一種思維化的教學活動，在這樣的教學活動中要努力提高學生數學思維的可塑性，加強知識發生、整合、發展、聯系的全過程.那么思維的過程是怎樣進行的呢？筆者以解題為例，做簡單剖析.

案例1：求函數y=2sin2x+sin2x的值域.

孫子曰：“夫未戰而廟算勝者，得算多也；未戰而廟算不勝者，得算少也.多算勝，少算不勝，而況于無算乎.吾以此觀之，勝負見矣.”孫子主要講的是“謀略”，其強調的是戰爭前的預測，強調對敵情的判斷，不對戰情進行預測，不對戰情加以了解，一般不可能取得勝利.由此筆者分析上述解題的思考過程，經過審題，我們同時從題給條件和結論中獲得有關信息——條件信息和目標信息.在獲得信息的過程中，“聯想”（即“謀略”）已經在起作用：數學符號和數學概念的相互轉化和翻譯；由條件信息進一步發散眾多的結果，這里聯想又一次起作用：由有關數學概念和性質，推導、演變出更多的結果；條件信息和目標信息聯系起來思考，初步設想解題方向，我們稱之為思維定向（即“吾以此觀之，勝負見矣”），這里更離不開豐富的聯想（即“謀略”）.可以將從孫子用兵中得到的解決問題的數學思維活動用框圖表示如下：

可以這么說，在解題過程中思維的定向并不見得一次完成，它往往是由大到小，由粗到細，逐步完成的.從上述思維過程的分析可以看出：聯想（即“謀略”）在思維活動中占據著重要的地位.

二、“知彼知己，百戰不殆”與“待敵者佚”形成思維定勢，發展思維能力

人們的思維活動離不開豐富的聯想.當一個學生獲得信息之后，能否產生豐富的廣闊的聯想，一是取決于該學生大腦中儲存的思維定勢的質量，二是取決于該學生的思維品質，特別是思維的深刻性和靈活性.

孫之曰：“知彼知己，百戰不殆；不知彼而知己，一勝一負；不知彼，不知己，每戰必殆”，即了解敵人，又了解自己，百戰都不會有任何危險.因此，如果在教學中，概念一帶而過，結論和盤拖出，靠反復練習建立“條件反射”，這種條件反射式形成的思維定勢，就容易起負遷移的作用，即形成不知彼而知己.相反地，在教學中如果注意知識發生過程的教學，使學生在積極參加思維活動中，盡可能主動地獲得思維的成果——概念、公式、定理等，這樣形成的思維定勢，就能較好地起正遷移作用，即知己知彼，對整個知識體系的形成過程了如指掌，運用自如，百戰而不殆.

這個結果也很漂亮.只不過書本上并沒有把它作為公式.因此，不要把教學停留在摳題型、對套路，只講小巧、不要大巧的講解解題術的水平上，企圖通過強化解題模式，形成眾多的定勢來對付考試，會破壞人的靈感，使人呆板.當然，數學離不開做題.加深概念的理解，領會公式的實質，都要通過反復練習來進行.但是思維的問題是一個教師如何教，怎樣講，不能僅限于大量試題的重復訓練.

三、潤物細無聲般滲透思維訓練

上述談到怎么教，怎么講，筆者認為，通過數學試題去滲透思維訓練需要一種多角度，并且是慢調細語式的訓練.心理學家德諾普說過：對于思維訓練，從心理認知來看，是一種新、舊知識的碰撞和沖突，當這種沖突漸漸向舊知靠攏時，思維的含量就漸漸被提升起來，但是這種過程必須是依賴受教者自身不斷的認知基礎，外界強加的力量并不能使其真正領悟.因此，筆者認為潤物細無聲般的滲透是對思維訓練比較好的方式，這需要教師提供足夠的思考空間和時間.

案例3：高一學生解一元二次方程時，教師會涉及換元法.精選出一組例題，解下列方程：

一種教法是一道道地講授如何通過換元把它們轉化為一元二次方程求解，然后總結：“凡是遇到無理方程、倒數方程，可以考慮用換元法.”但筆者認為，要培訓思維，可以采用另一種教法即“奇道”.

師：同學們看看方程（1），這是個什么方程？

生1：一元四次方程.

師：我們學過這樣的方程的解法嗎？我們會解哪些方程？

生2：我們學過一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程組的解法.

師：那么怎么解這個四次方程？

生3：想辦法變成我們會解的方程就好了.

師：同學們看看方程（1），在構造上有什么特點（將方程（1）寫成：（x2）2-2（x2）-8=0）.

生4：可以把x2看成一個未知量y，即令y=x2，方程可以變成一元二次方程y2-2y-8=0.

師：四次方程雖然沒有學，我們注意到它構造的特殊性——雙二次結構，于是可采用變量替換的辦法，即用換元法將它化成我們熟悉的一元二次方程來解決.利用類似的思想和方法，大家能不能解方程（2）、（3）、（4）呢？（此處不贅述）

師：這些方程的解決都是借助換元法.同學們想一想：為什么要換元？換元有什么好處？

生5：通過換元，把生疏的方程轉化為我們熟悉的一元二次方程，從而能夠解出這些方程.

師：換元法即通過變量替換，達到化繁為簡、化“生”為“熟”的目的.這種轉化問題的思想、化歸的意識是我們處理問題的常用數學思維.

對于思維訓練，正如后一種教師的教法，使學生體會到為什么要用換元法，使用換元法的好處是什么.其思維最大訓練正是體現了數學中最重要的思想——轉化與化歸思想.

總之，本文用于無聲處聽驚雷的方式闡述了思維訓練的幾個方式.既講了問題解決的方向性策略，又引導了思維訓練中定勢思維在解決一般性問題中的用處，結合案例做了一些淺顯的分析，不足之處請讀者海涵.

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學出版社，2005.

2.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學數學，2013（7-8）.

3.朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和應用［J］.中學數學（上），2008（2）.