芻議“構造法”在中學數學教學中的應用

☉江蘇省南京市金陵中學 嚴 飛

現今的高中生數學的學習偏重于演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，忽視數學知識形成、發生、發展過程中生動活潑的一面，以及包含著大量的可進行創造性理解的素材，把數學思維能力的培養基本上局限于邏輯推理上，無形中造成了對數學思維的偏見，這不僅不利于數學創造性思維能力的培養，而且也削弱了數學教學的作用.數學不但要培養學生的思維能力，還要培養學生的數學素質，培養學生靈活運用知識的能力，培養學生的創造性思維能力.高中數學的構造法是一種培養學生創造性思維的教學方法.構造法的內容十分豐富，形式多樣.它主要將數學中普遍性與現實性的問題特殊化，抽象性的問題實質化，并根據具體的數學問題采取相應的解決辦法，進而激發學生的學習熱情.

一、高中數學構造式解題教學應遵循的原則

（一）要求通過構造教學模式將所要解決的數學問題的本質形象直觀地顯示出來，縮短學生的思維過程，引導學生逐步建立模式識別的方法，提高教學效率.

（二）在教師的引導下使學生能夠順利實現問題的轉化，創設的問題符合學生的認知水平，提高學生的解題能力.

（三）合理運用直覺、化歸等方式，找到問題的“相似結構”的原型，對現有問題進行聯想并作出判斷，從綜合分析層面引導學生解決數學難題.

二、高中數學構造式解題教學培養學生創造性思維能力的途徑

通過構造教學模式培養學生的創造性思維能力的途徑有：（1）深入觀察，洞察實質；（2）善于聯想，促進遷移；（3）著意類比，啟發直覺；（4）縱橫延伸，廣泛聯系.

1.構造時深入觀察，洞察實質

仔細觀察問題，有可能發現問題的突破口，想出某種解決問題的方法.對某些數學問題，觀察題設和結論的結構、解析式或圖形的變化規律、題目所給出的數據關系等顯信息，以及問題所聯系的背景知識和隱含條件等隱信息，有利于洞察數量關系和結構關系，進行跳躍性思維，縮減某些推理環節，增強直覺意識，為創造思維能力的發揮奠定基礎.

（1）構造函數與方程.

用構造方程法解題培養學生的觀察能力是一種新型的教學理念，因為方程是學生解題中最常用的模式，也是學生如何將新的問題化歸為已學知識的一種途徑，這將有助于培養學生的直觀思維能力.方程與函數有必然的聯系，是數學的兩種解題形式.例如，函數y＝f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標就是方程f（x）＝0的解.在解數學題時，若要確定函數中變化的某些量，可以將其轉化為求出這些量滿足的方程，通過構造函數圖像將要解決的函數問題形象地展現出來，然后解方程得到最終解，提高解題效率.

（2）構造幾何圖形.

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.

分析： 從函數的表達式上來看，函數（fx）的幾何意義是：單位圓上的點M與定點P（-3，-2）的連線的斜率.如圖1，設單位圓x2+y2=1過定點P（-3，-2）的切線PM的斜率為k，則切線PM的方程為y+2=k（x+3），即kx-y+3k-2=0.

（3）構造新數列.

在高中數學中，數列的通項公式的求法有多種，但利用構造新數列把非特殊數列轉化為等差、等比兩種典型的特殊數列是最為重要的.構造新數列需要比較靈活的變形技巧，可以培養學生的創新能力.

例3 設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，求數列{an}的通項公式.

故數列{an}的通項公式為：

求由an=pan-1+f（n）·rn確定的數列的通項公式，一般可以通過左右兩邊同除以rn，消除不和諧的rn.

2.構造時善于聯想，促進遷移

聯想是由此及彼的思考方法.聯想要以一定的數學知識、解題經驗及技能為基礎.對于某些數學問題，若能聯想一些形式相同的、思考方法相似的、結構類似的數學問題或常規問題，通過遷移將會悟出解決問題的思路.心理學家認為：把不同事物聯系起來思考，是人類進行創造性思維活動的重要形式.創造性聯想就是由一個事物聯想到另一個事物的思維過程.各種不同屬性的事物反映在頭腦中，并形成了各種不同的聯想.常見的聯想方式有：類比聯想、相似聯想、對比聯想、化歸聯想、屬性聯想、反向聯想和因果聯想等.聯想是創造性思維的一種常用思考方法.

例4 求函數y=的最小值.

分析：若用代數方法求解本題，較難入手.

思路1：聯想到兩點間的距離公式，將函數解析式改寫為y=，則此函數表達式的幾何意義是x軸上的動點P（x，0）到兩定點A（4，1）、B（-2，-5）的距離之和，而A、B分布于x軸的上下兩側，則ymin=|AB|=

思路2：聯想到向量，構造向量.

設a=（4-x，1），b=（x+2，5），則a+b=（6，6）.

根據向量不等式|a|+|b|≥|a+b|，得y=

3.構造時著意類比，啟發直覺

類比是一種推理形式，是聯想的一種特殊形式和常用的推理方法.類比的具體形式有：問題形式類比（提出新問題）、結構類比（發現新解法）等.通過類比，調動大腦中貯存的信息，進行知識組塊，啟迪思維，出現“頓悟”，頓悟的出現是解決問題的關鍵，頓悟是創造性思維的一種表現形式.數學研究的對象主要是數和形，兩者往往有著緊密的聯系.俗話說：“數離形時少直觀，形離數時難入微”.因此，對數學問題的直觀理解是非常重要的.引導學生通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用數形直觀誘發直覺，對培養直覺思維的敏感性和提高其準確性，對誘發創造性思維的產生，大有益處.

例如，函數的單調性與函數的奇偶性是函數的兩個最基本的性質，將這兩個性質結合起來研究，學生都能理解：若函數f（x）是偶函數，且f（x）在x≥0時是單調增（減）函數，則函數f（x）在x≤0時是單調減（增）函數，即偶函數在對稱軸的兩側有相反的單調性.通過觀察函數f（x）=x2的圖像，可以發現函數f（x）=x2的圖像的形狀像一個喇叭，像這樣的函數，我們不妨形象地給它一個名字——“喇叭型函數”.“喇叭型函數”的特點是：函數的圖形有對稱軸，在對稱軸的兩側函數有相反的單調性.不難證明，滿足f（a-x）=f（a+x），且在x≥a時單調的函數f（x）是“喇叭型函數”.當“喇叭”的開口向上（左減右增）時，距對稱軸距離相等的點縱坐標相等，即函數值相等；距對稱軸距離大的點縱坐標也大，即函數值也大；距對稱軸距離小的點縱坐標也小，即函數值也小.反之，當“喇叭”的開口向下（左增右減）時，距對稱軸距離相等的點縱坐標相等，即函數值相等；距對稱軸距離大的點縱坐標卻小，即函數值?。痪鄬ΨQ軸距離越小的點縱坐標卻大，即函數值大（如圖2所示）.

4.構造時縱橫延伸，廣泛聯系

知識的更新和擴充，在于對所學知識的延伸，在于當前知識與已學知識的廣泛聯系.構造教學中應引導學生在更廣、更深的領域內挖掘知識的內在聯系，探究問題的縱橫延伸，從而在實施轉化的過程中培養學生思維的廣闊性，達到培養學生創造性思維的目的.

例5 當0＜a＜1時，試判斷sin（1+a）與sin（1-a）的大小.

這樣，代數函數的性質在三角函數的領域內就有了應用的可能，既體現了知識的系統性，又培養了學生的擴散思維，使學生嘗到了創造的滋味，親身體驗到了創造的意義，使創造性思維的形成成為可能，以致必然.

三、高中數學構造式解題教學應避免為講構造法而人為構造

在教學中對學生的思維能力應有正確的認識，用構造法要達到化繁為簡、化難為易的目的，應避免在教學時為了講構造法而人為構造，增加學生對數學的畏懼感和挫折感.

例6 設a、b、c是三角形的三邊長，證明不等式2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

用構造法證明：因為a、b、c是三角形的三邊長，所以a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b.不妨設0＜a≤b≤c＜a+b，則a＜4b.

令（fc）=c2-2（a+b）c+a2+b2-2ab（b≤c＜a+b）.

則f（b）=b2-2（a+b）b+a2+b2-2ab=a2-4ab=a（a-4b）＜0.

又因為y=f（c）為開口向上的拋物線，且a+b為拋物線的頂點的橫坐標，所以當b≤c＜a+b時，恒有f（c）＜0，即c2-2（a+b）c+a2+b2-2ab＜0，所以2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

本題一經構造反而讓學生感覺數學深不可測，沒有達到化繁為簡的目的，反而讓學生更糊涂了.事實上，由a、b、c是三角形的三邊長，得到a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，且a＞0，b＞0，c＞0，于是有ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，三式相加即得2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

四、結束語

有一些問題看似簡單，但真正處理起來非難則繁，如能合理、巧妙地構造一些情境，不但易使問題“柳暗花明”，而且其新穎獨特的解題模式讓人深刻感受到數學思想的美妙.但我們的教學不應是在追求美妙上下功夫，更主要的是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生.運用構造方法解題也是這樣，不應為了講解構造法而人為構造，更應啟發學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯想，從而獲得許多構思巧妙、新穎獨特、簡捷有效的解題方法.通過解題活動加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力.

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