黑體熱輻射光譜的寬度與對稱性研究及其應用＊

楊 鑫

（西安電子科技大學物理與光電工程學院 陜西 西安 710075）

盧文全

（中國電子科技集團公司34所 廣西 桂林 541004）

1 引言

眾所周知，黑體熱輻射規律遵循如下普朗克定律［1］

其中C1，C2為常量

函數eb（λ，T）是黑體在溫度T（K）時的單色輻出度，λ（μm）是熱輻射出的電磁波波長.在確定溫度下，eb（λ，T）與λ 的關系曲線即如圖1（a）或 （b）所示的傳統黑體熱輻射光譜圖.

圖1 國內外使用的黑體熱輻射光譜圖

從圖1可見，由于溫度變化使這種光譜圖縱向與橫向坐標的數值跨度非常之大，無論是圖（a）的橫向用對數坐標，還是圖（b）用的等分坐標，在溫度范圍300～6 000K內，都難以顯示曲線的整體形態；維恩位移定律的表達也顯模糊.

在文獻［4］分析的基礎上，本文延伸給出了一種比圖1更加清晰的歸一化黑體熱輻射光譜圖，對該圖加以進一步分析和描述，可望構成一種新的測溫方法和新的溫度標準.下面將依次敘述其原理與結果.

2 歸一化黑體熱輻射光譜圖的特性

2.1 理論分析

在任何溫度下，引入一個與λ和T無關，取值范圍在0～1之間的歸一化系數η.這樣，式（1）可以化為

式（2）右邊是η與輻出度峰值之積.再令

經簡單變換即可將式（2）演化為

式（5）中的xm應該是式（3）中與峰值波長λm對應的x值，需要按照微分學中求極值原理，由式（1）導出的如下超越方程獲得［3］

經編程計算求解方程式（6），精度保持與前述C2一致，取到小數點后4位得xm＝4.965 1.把此值代入式（5）得到A（xm）＝21.201 4，再把該A（xm）值代入式（4），便獲得一個關于x的如下歸一化普朗克方程

在式（7）中，對η取不同的值便可得到一系列超越方程.通過求解這些方程，即可以畫出一種歸一化黑體熱輻射光譜曲線圖.

2.2 數值計算結果

為了判斷方程（7）根的數目，首先繪制η取如圖2所示3個值時的函數曲線圖.圖中顯示，對于每一個η值，曲線與x軸都有兩個交點，這表明超越方程（7）有兩個根.

圖2 方程（7）中η ＝0.8，0.85和0.9的圖解結果

把方程（7）里每一個η值對應的兩個根記為xηs和xηl（xηl＜xηs）.依照式（3），這兩個根分別對應著給定η值時，光譜曲線峰值左右短波邊與長波邊的波長ληs和ληl.經過編程求解方程（7），得到了表1中所列各η值對應的xηs與xηl及xm.如有必要，可以針對任意給定的η值求解式（7），以獲得相應的xηs與xηl及xm值.表1里的RWηt與RSFηt是后面2.3小節定義相對寬度和對稱性因子的理論結果.圖3（a）和（b）是把表1中的xηs和xηl，RWηt和RSFηt與η的關系分別繪制成曲線的結果.顯然，這都是一些簡單的單調函數關系.

表1 由式（7）解出不同η值所對應的xηs與xηl數據

圖3 方程（7）的解與η的關系曲線

圖4 歸一化黑體熱輻射光譜曲線

根據表1中的數據即可繪制出一種全新的黑體輻射光譜圖.事實上，把表里各個η值對應的xηl和xηs和xm代入式（4），對于給定的溫度，可以計算出η與λ的數據關系，由此即可繪制出不同溫度下如圖4所示的η－λ關系曲線，這些曲線可以被定義為歸一化黑體熱輻射光譜圖.利用圖中曲線上的各個η及λm與前述C1和C2值，通過式（3）右端即可計算出任意溫度所對應單色輻出度的值.

2.3 光譜曲線的寬度和對稱性描述

為了描述黑體熱輻射歸一化光譜的特性，取圖4中的任一曲線，用測量出的波長ληs，λm和ληl，可以定義曲線的相對寬度RWηm和對稱性因子RSFηm為

另一方面，根據式（3），又可以依照下面式（10）和式（11）來表述純理論的光譜相對寬度RWηt和對稱性因子RSFηt

表1中的RWηt與RSFηt便是利用表中相應xηs與xηl和xm數據，按照式（10）和式（11）計算得出的理論結果.

3 應用分析

3.1 原理說明

前面式（8）和式（9）定義的光譜相對寬度與對稱性因子，可以通過實驗測量出ληs與λm和ληl計算出來；另一方面，式（10）和式（11）完全是由黑體熱輻射理論導出的結果.這樣，當實驗與理論一致時，在規定相對誤差r和k范圍內，光譜的相對寬度RWη和對稱性因子RSFη便可以用以下式（12）和式（13）來表示

只要式（12）與（13）里的r與k的大小滿足一定要求，就可說明實驗所用載體符合黑體要求且實驗系統可靠.因此，把實驗獲得的ληl與ληs及λm和相應的xηs與xηl和xm以及C2值代入式（3），即可以依照下列式（3a）、式（3b）和式（3c）計算出實驗中黑體的實際溫度.

因為是對同一對象進行的測量，只要在規定相對誤差g范圍之內，由式（3a）～（3c）計算出的溫度應該就是待測體的溫度T

公式（14）說明，利用黑體與寬帶光譜儀組成實驗系統，可以建立一種波長測溫方法.而且，取不同η值進行實驗，可以對式（14）進行充分驗證.所以，如果實驗誤差g足夠小，由式（14）確認的溫度可望作為溫度標準來使用.

3.2 實際驗算

考慮到光譜儀的帶寬限制，僅以η＝0.9為例進行計算.實驗中，首先是用光譜儀掃描測量出被測體輻射的峰值點功率ebm和波長λm，其次是把光譜儀調到λm左右，當功率降至0.9 ebm時，讀取λ0.9s和λ0.9l，實際觀測獲得的數據列于表2.表2中的相對寬度、對稱性因子和溫度，是按照式（8）～（11）和式（3a）～（3c）計算獲得的；r，k和g則是根據一般誤差處理方法，由平均差值除以平均值而得出.表2里的數據說明，實驗與理論符合得很好.

表2 驗算實例數據

4 討論與結論

在導出歸一化普朗克方程（7）并由此獲得圖4所示歸一化黑體熱輻射光譜圖的基礎上，本文首次定義了光譜相對寬度和對稱性因子這樣兩個參數來對光譜特征加以定量描述.由于這兩個參數既可以從實驗上加以測量，又有表1中列出純理論結果，因此，文中表2里的參數r與k越小，說明被觀測對象越接近于黑體，這比早年的實驗驗證方法［5］要更加簡潔.

在r與k達到一定值，即滿足黑體要求的前提下，本文提出了一種波長測溫方法.從表2里列出的例子可見，這一方法的測量精度可以達到萬分之幾.由普朗克定律式（1）中溫度的物理本質可以認為，只要表2里的g值足夠小，例如達到萬分之一，這一溫度應該可以作為溫度標準來使用.

此外，波長測溫法涉及的關鍵設備是寬帶光譜儀，由于熱輻射的波譜范圍極為寬廣，因此，研究開發波帶盡可能寬的光譜儀，對推動熱輻射科技發展具有十分重要的意義.

最后，必須指出的是，本文所有結果與結論，僅實用于理想黑體或近似性很好的實際黑體，而對于非黑體熱輻射特性的認識，就必須從基爾霍夫定律［3，5］出發進行更深入廣泛地研究了.

1 安毓英，劉繼芳，李慶輝.光電子技術.北京：電子工業出版社，2002

2 大越孝敬.光纖傳感器.東京（日）：歐姆株式會社，昭和61年7月

3 程守洙，江之永.普通物理學（第五版）（第三冊）.北京：高等教育出版社，1998

4 陳廣生，盧文全，蔡如華，丁渲浩.黑體熱輻射的光波長定義域研究.大學物理，2004，23（11）：58～60

5 王少杰，顧牡.大學物理學（下冊）（第二版）.上海：同濟大學出版社，2003