巧用『倒帶』原理解決行程類應用題

曹宣

(常州市新北區實驗中學)

一般行程類應用題的解決都是按照行程的先后順序或列表分析，或畫線段圖分析，但有些題目因數量關系復雜，利用“倒帶”原理解決起來更加簡捷。所謂“倒帶”就是把行程問題中的研究對象由終點向起點進行逆向運動，猶如電影播放中的倒帶模式，從中獲取更多的題目信息，進而解決應用題。

問題1.(第十屆時代學習報數學文化藝術節)甲、乙兩船分別從A、B兩港同時出發，勻速相向而行，上午8點在途中相遇，上午9點甲船抵達B港，中午12點乙船抵達A港，兩船出發時間是_________________。

分析：本題中只有三個時間點8時、9時、12時，因甲、乙兩船的速度和A、B兩港之間的路程都未知，造成相關量表示困難，等量關系也不明顯。原行程“倒帶”為：中午12點乙船從A港出發，3個小時后(9點)甲船從B港出發，勻速相向而行，1個小時后(8點)兩船相遇，相遇后繼續前行，兩船同時到港。“倒帶”形成的逆向運動呈現出行程問題中的典型的“相遇問題”，由此可以得到第一個等量關系：乙船4個小時行駛的路程+甲船1個小時行駛的路程=兩港之間總路程。并且因逆向運動中兩船同時到達，不容易因中途的相遇而把每艘船的整體運動割裂開來，有利于發現其中所蘊含的類似于“工程問題”中把總路程設為單位1，可以借助行駛時間表示兩船的速度，由乙船提前3小時出發可以發現第二個等量關系：乙船行駛整個路程的時間=甲船行駛整個路程的時間+3。

解：設甲船行駛整個路程的時間為x小時，則乙船行駛整個路程的時間為(x+3)小時，把兩港之間總路程看做1，則甲船的速度為，乙船的速度為。

解方程得：x=3。

答案：原題中兩船出發的時間為上午6點。

問題2.張老師騎摩托車的速度為每小時45千米，學生步行的速度是每小時5千米，學校與車站相距15千米，如果兩名學生要在55分鐘內從學校到車站，請張老師用摩托車送，但摩托車的后座只能坐一人，學生不能駕車，請你設計一個方案(學生只能步行或坐摩托車，上下摩托車的時間不計)使兩名學生能在最短時間內全部到達車站，并用方程的知識求出這個最短時間。

分析：為了使兩名學生在最短時間內到達車站，方案如下：張老師帶甲同學騎摩托車，乙同學步行，同時從學校出發，張老師將甲同學送到距離車站一定距離的地方返回，與乙同學相遇后再帶上乙同學駛向車站，最后與步行前進的甲同學同時到達車站。為了實現摩托車與甲同學能同時到達車站，放下甲同學的地方必須選擇恰當，而正是這個地點的未知，再加上兩個同學步行的時間與摩托車“去—回—去”三段行駛的時間交雜在一起，造成本題解決起來非常麻煩。原行程“倒帶”為：張老師帶乙同學騎摩托車，甲同學步行，同時從車站出發，張老師將乙同學送到距離學校一定距離的地方返回，與甲同學相遇后再帶上甲同學駛向學校，最后與步行前進的乙同學同時到達車站。我們發現倒帶行程與原題的行程完全一模一樣，也就意味著兩個同學所走的路程是相等的，即點B到車站的路程與點A到學校的路程是相等的(如下圖)，所以甲、乙兩同學的步行時間是相等的。

解：設甲同學步行的時間為x分鐘，在此期間，張老師從學校M—B—A，則乙同學步行的時間也是x分鐘。

根據等量關系：x分鐘張老師行駛的路程(MB+AB)+甲同學步行路程(MA)+2×乙同學步行路程(BN)=2×15

列方程得45x+5x+10x=30

由此可見，通過行程問題“倒帶”形成的逆向運動中可以呈現出原題中不易覺察的數量關系，由此提供更多的題目信息，幫助我們解決問題。